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专题1.16 中点四边形专题（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．顺次连接菱形四边的中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对
2．如果顺次联结矩形各边中点，那么所围成的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形
3．任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC=20cm，
BD=30cm，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
4．四边形ABCD是边长为16的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH（四
边形EFGH称为原四边形ABCD的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH的各边中点组
成第二个中点四边形，…，则按上述规律组成的第八个中点四边形的周长等于（ ）
A． B．1 C．4 D．8
5．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．则下
列说法：
①若 ，则四边形EFGH为矩形；
②若 ，则四边形EFGH为菱形；
③若AC与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH是正方形；
④若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各
边中点，得到四边形ABC D，再顺次连接四边形ABC D 各边中点，得到四边形
1 1 1 1 1 1 1 1
ABC D…，如此进行下去，得到四边形AnBn Dn．下列结论正确的有（ ）
2 2 2 2 n
①四边形A 2 B 2 C 2 D 2 是矩形； ∁②四边形ABC D 是菱形；
4 4 4 4
③四边形ABC D 的周长是
5 5 5 5
④四边形AnBn Dn的面积是 ．
n
∁
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
7．如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点
O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，
AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.（ ）
A． B． // C． D．
A B C D
1 1 1 1
9．如图，小宋作出了边长为2的第一个正方形 ，算出了它的面积．然后分别A B C D
取正方形 1 1 1 1四边的中点 、 、 、 作出了第二个正方形 ，算出了它
的面积．用同样的方法，作出了第三个正方形 ，算出了它的面积…，由此可得，
第六个正方形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，AC＝16，BD＝12，且AC⊥BD，连接四边形ABCD各
边中点得到四边形EFGH，下列说法错误的是（ ）
A．四边形EFGH是矩形 B．四边形ABCD的面积是92
C．四边形EFGH的面积是48 D．四边形EFGH的周长是28
11．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线
BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AB＝DC D．AB⊥DC
12．在四边形 中， ，E、F、G、H分别是 、 、 、 的
中点，则 的值为（ ）
A．18 B．36 C．48 D．64
13．如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，
对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°时，四边形MNPQ为正方形 B．当AC＝BD时，四边形MNPQ
为菱形
C．当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形D．四边形MNPQ一定为平行四边形
二、填空题
14．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得四边形叫做中点四边形，则任意一
个四边形的中点四边形是__________四边形．
15．已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，
若AB=x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为________．
16．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是______
17．如图是一张菱形纸板，顺次连接各边中点得到矩形，再连接矩形对角线．将一个
飞镖随机投掷到大菱形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是 __．
18．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是___．
19．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加_________，
才能保证四边形EFGH是正方形．
20．顺次连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，只要添加___
条件，就能保证四边形EFGH是矩形．
21．如图，在四边形 中， 于点 ，点 ， ， ， 分别为边 ，
， ， 的中点，顺次连接 ， ， ， ，则四边形 是______.
22．某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC=__cm
23．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是____．
24．任意四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四
边形ABCD满足条件______时，四边形EGFH是菱形．（填一个使结论成立的条件）
25．如图，矩形AB C D 的面积为4，顺次连结各边中点得到四边形AB C D，再顺
1 1 1 1 2 2 2 2
次连结四边形AB C D 四边中点得到四边形AB C D，依此类推，则四边形AB C D 的
2 2 2 2 3 3 3 3 n n n n
面积是 ．
三、解答题
26．已知：如图，四边形 四条边上的中点分别为 、 、 、 ，顺次连接
、 、 、 ，得到四边形 （即四边形 的中点四边形）．
(1)四边形 的形状是________，并证明你的结论．
(2)当四边形 的对角线满足________条件时，四边形 是矩形．
(3)在教材课本中你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？________
27．如图，在四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 分别是对角
线 ， 的中点，依次连接 ， ， ， ，连接 ， ．（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当 时， 与 有怎样的位置关系？请说明理由；
28．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、
HE，则四边形EFGH为________形．
（1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．
（2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．
（3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．
在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．
参考答案
1．C
【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形
EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直
角的平行四边形是矩形判断．
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E，F，G，H是中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，
∴EF⊥FG，
同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：C．
【点拨】本题考查菱形的性质与判定定理，矩形的判定定理以及三角形的中位线定理．
2．A
【分析】
因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等可
证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
解：如图，连接对角线AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH= BD，
同理FG= BD，HG= AC，EF= AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依
据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
3．D
【分析】
利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC，或BD的一半，进而求四
边形周长即可．
解：∵E，F，G，H，是四边形ABCD各边中点，
∴HG AC，EF AC，GF=HE BD．
又∵AC=20cm，BD=30cm，
∴四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE （AC+AC+BD+BD）
=AC+BD=50cm．
故选D．
【点拨】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边
形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两
条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据．
4．C
【分析】
根据题意可知第八个中点四边形的边长应是原来四边形 边长的 ，然后通过计
算即可解答．
解：如图所示，依题意可得第二个中点四边形的边长是原来四边形 边长的 ，
第四个中点四边形的边长是原来四边形 边长的 ，
……依此规律，
第八个中点四边形的边长应是原来四边形 边长的 ，
即其边长等于 .
第八个中点四边形的周长等于4．
故选C．
【点拨】本题考查了中点四边形找规律，找到规律是解题的关键．
5．A
【分析】
先根据三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形，矩形，正
方形的判定进行逐一判断即可．
解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴ ， ，
同理 ，
∴EH=GF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
①若AC=BD，则EH=GF=GH=EF，则四边形EFGH是菱形，故①错误；
②若AC⊥BD，则EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形，故②错误；
③若AC与BD互相垂直且相等，结合①②的判断可知四边形EFGH是正方形，故③正确；
④若四边形EFGH是平行四边形，并不能推出AC与BD互相平分，故④错误，
故选A．
【点拨】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，熟知中点四边形的知识是
解题的关键．
6．C
【分析】
①由两组对边平行，证明出ABC D 是平行四边形，再根据四边都相等，证明出是菱
1 1 1 1
形.
②由①知四边形ABC D 是菱形，根据中位线定理，四边形ABC D 是菱形.
2 2 2 2 4 4 4 4
③根据中位线性质得到每边长的关系，从而计算出周长.
④三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半.
解：①连接AC ，BD．
1 1 1 1
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形ABC D，
1 1 1 1
∴AD∥BD，BC ∥BD，C D∥AC，AB∥AC；
1 1 1 1 1 1 1 1
∴AD∥BC ，AB∥C D，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴四边形ABC D 是平行四边形；
1 1 1 1
∵AC丄BD，∴四边形ABC D 是矩形，
1 1 1 1
∴BD＝AC （矩形的两条对角线相等）；
1 1 1 1
∴AD＝C D＝C B＝BA（中位线定理），
2 2 2 2 2 2 2 2
∴四边形ABC D 是菱形；
2 2 2 2
故①错误；
②由①知，四边形ABC D 是菱形；
2 2 2 2
∴根据中位线定理知，四边形ABC D 是菱形；
4 4 4 4
故②正确；
③根据中位线的性质易知，AB＝ AB＝ × AB＝ × × AC，BC ＝
5 5 3 3 1 1 5 5
BC ＝ × BC ＝ × × BD
3 3 1 1
∴四边形ABC D 的周长是2× （a+b）＝ ；
5 5 5 5
故③正确；④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，
∴S ABCD＝ab÷2；
四边形
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一
半，
四边形AnBn Dn的面积是 ；
n
∁
故④正确；
综上所述，②③④正确．
故选C．
【点拨】本题考查了四边形综合性质，解题关键在于，理清题干给出的条件，从证明
什么类项的图形到面积和周长的计算.运用到的菱形证明定理是，四个边都相等的四边形为
菱形，运用到大中位线性质为，三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
7．A
【分析】
先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后求解即可．
解：如图，
∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是 ABD、 BCD的中位线，EF、HG分别是 ACD、 ABC的中
位线， △ △ △ △
根据三角形的中位线的性质知：
EF∥AC，GH∥AC且EF=GH= AC，EH=FG= BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH的周长是3，即EF+GH+EH+FG=3，
∴AC+BD=3，故选：A．
【点拨】本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形
EFGH是平行四边形是解题的关键．
8．A
【分析】
根据中位线的定义与性质可知四边形EGFH是平行四边形，然后找出邻边相等的条件
即可证明该四边为菱形．
解：由题意知 是 的中位线
∴ ，
是 的中位线
∴ ，
∴ ，
∴四边形EGFH是平行四边形
∵ 是 的中位线，
∴
当 时，
∴平行四边形EGFH是菱形
故选A．
【点拨】本题考查了中位线，菱形的判定．解题的关键在于对知识的灵活运用
9．A
【分析】
根据正方形的性质，下一个正方形的面积是上一个正方形的面积的 ，然后依次求解
即可．A B C D
1 1 1 1
解：正方形 的面积为4；
A B C D
顺次连接正方形 1 1 1 1中点得正方形 ，则正方形 的面积为正
方形A B C D 面积的一半，即 ；
1 1 1 1
顺次连接正方形 得正方形 ，则正方形 的面积为正方形
面积的一半，即 ；
顺次连接正方形 中点得正方形 ，则正方形 的面积为正
方形 面积的一半，即 ．
…
第六个正方形 的面积是 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的性质，熟记性质并判断出正方形中点四边形的面积等于
原正方形的面积的 是解题的关键．
10．B
【分析】
利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角
的平行四边形是矩形可判断选项A是否正确；由AC=8，BD=6，且AC⊥BD，可求出四边形
EFGH和ABCD的面积，由此可判断选项CD是否正确；题目给出的数据求出四边形EFGH
的周长，所以选项B不符合题意．
解：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF= AC，GH= AC，
∴EF=GH，同理EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形，故选项A正确，不符合题意；
∵AC=16，BD=12，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积= AC•BD=96，故选项B错误，符合题意；
∵四边形EFGH是矩形，且HG= AC=8，HE= BD=6，
∴四边形EFGH的面积6×8=48，故选项C正确，不符合题意；
∵EF= AC=8，HE= BD=6，
∴四边形EFGH的周长=2（6+8）=28，所以选项D正确，不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，
平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．
11．D
【分析】
由题意易得GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，则有四边形EGFH为平行四边形，由矩形的性
质可得∠GFH=90°，然后可得∠GFB+∠HFC=90°，最后问题可求解．
解：∵E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，
∴GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，
∴四边形EGFH为平行四边形，∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC，
若四边形EGFH为矩形，则有∠GFH=90°，
∴∠GFB+∠HFC=90°，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴AB⊥DC；
故选D．
【点拨】本题主要考查矩形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握矩形的性质与判
定及三角形中位线是解题的关键．
12．D
【分析】
作辅助线，构建四边形 ，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等
式，再利用中位线性质等量代换可得结论．解：连接 、 、 、 ，
∵E、F、G、H分别是 、 、 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∴ ；
故选：D．
【点拨】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形结
合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的
平方和可以利用勾股定理来证明．
13．A
【分析】
连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ∥AC，PQ＝ AC，MN∥AC，MN＝
AC，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
解：连接AC、BD交于点O，
∵M，N，P，Q是各边中点，∴PQ∥AC，PQ＝ AC，MN∥AC，MN＝ AC，
∴PQ∥MN，PQ＝MN，
∴四边MNPQ一定为平行四边形，D说法正确，不符合题意；
∠ABC＝90°时，四边形MNPQ不一定为正方形，A说法错误，符合题意；
AC＝BD时，MN＝MQ，
∴四边形MNPQ为菱形，B说法正确，不符合题意；
AC⊥BD时，∠MNP＝90°，
∴四边形MNPQ为矩形，C说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了特殊平行四边形的性质和判定，熟练掌握性质和判定定理是解题
的关键．
14．平行
【分析】
利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，
那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边
形．
解：如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，
DE，
根据三角形中位线定理可得：
EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，
根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．
故答案为：平行．【点拨】此题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性
质定理，为题目提供了平行线，为利用平行线判定平行四边形奠定了基础．
15．
【分析】
根据矩形的周长表示出边BC，再根据EFGH的面积等于矩形ABCD的面积的一半列
式整理即可得解．
解：∵矩形ABCD的周长为18，AB= ，
∴BC= ，
∵E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了中点四边形，矩形的性质，熟知中点四边形EFGH的面积等
于矩形ABCD的面积的一半是本题的关键．
16．对角线互相垂直．
解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠1=90°，
∴∠3=90°，
∴AC⊥BD，即原四边形ABCD的对角线互相垂直．
故答案是对角线互相垂直．
【点拨】1.三角形中位线定理2.矩形的判定．
17． ##0.25
【分析】
如图，连接EG、FH，设FH=2a，EG=2b，可得 ，再得到四边形MOPN
是矩形，可得 ，再根据概率公式，即可求解．
解：如图，连接EG、FH，
设FH=2a，EG=2b，
∵四边形EFGH是菱形，
∴ ，EG⊥FH，
∵点M、O、P、N分别为菱形EFGH各边的中点，
∴ ，OP∥FH，MN∥FH，MO∥EG，PN∥EG，
∴四边形MOPN是平行四边形，
∵EG⊥FH，
∴MO⊥OP，
∴四边形MOPN是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴飞镖落在阴影区域的概率是 ．故答案为：
【点拨】本题主要考查了求概率，菱形的性质，矩形的判定和性质，根据题意得到
， 是解题的关键．
18．50
【分析】
连接AC、BD，交于O点，根据三角形中位线性质得出EF∥AC，EH∥BG，由四边形
EFGH是矩形，即可得到AC⊥BD，进而即可得出四边形ABCD的面积S＝ AC•BD，设
EH的长为x，则相邻的边EF为（10﹣x），从而得到S＝ ×2x•2（10﹣x）＝﹣2x2+20x＝
﹣2（x﹣5）2+50，根据二次函数的性质即可求得结论．
解：连接AC、BD，交于O点，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴2EF＝AC，2EH＝BD，EF∥AC，EH∥BD，
∵四边形EFGH是矩形，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S＝ AC•BD，
∵四边形EFGH的周长为20，
设EH的长为x，则相邻的边EF为（10﹣x），
∴BD＝2x，AC＝2（10﹣x），
∴S＝ ×2x•2（10﹣x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴四边形ABCD的面积的最大值是50．故答案为：50．
【点拨】此题考查了三角形中位线的性质，四边形面积的求法，二次函数的最值等知
识，解题的关键是熟根据题意设出未知数表示出四边形ABCD的面积．
19．AC⊥BD，AC=BD## AC=BD， AC⊥BD
【分析】
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根
据正方形的判定定理即可得解．
解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形．
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，EH∥BD，EH= BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC⊥BD，AC=BD．
【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形的判定定理是解
题的关键．
20．
【分析】
根据中点四边形的性质和矩形的性质判断即可；
解：如图，连接AC，BD，
∵E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，∴四边形EFGH是平行四边形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形EFGH是矩形；
故答案是 ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，矩形的判定，准确
分析判断是解题的关键．
21．矩形
【分析】
首先根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三
边的 ，即可判定四边形EFGH为平行四边形，然后根据 ，可得出四边形EFGH
一个内角为90°，即可判定其为矩形.
解：∵点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点，
∴EF∥AC，FG∥BD，GH∥AC，EH∥BD，EF= AC，FG= BD，GH= AC，EH=
BD
∴EF∥GH，EF=GH，FG∥EH，FG=EH
∴四边形EFGH为平行四边形
又∵
∴∠ABO+∠BAO=90°
又∵∠ABO=∠AEH，∠BEO=∠BAO
∴∠AEH+∠BEO=90°
∴∠FEH=90°
∴平行四边形EFGH为矩形.
故答案为矩形.
【点拨】此题主要考查三角形中位线定理、平行四边形以及矩形的判定，熟练掌握，
即可解题.
22．20
解：∵等腰梯形的对角线相等，EF、HG、GF、EF均为梯形的中位线，∴EF=HG=GF=EF= AC．
又∵EF+HG+GF+EF=40cm，即2AC=40cm，则AC=20cm．对角线AC=20cm．
23．矩形
【分析】
作出图形，根据已知条件证明即可．
解：如图：∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是ΔABC的中位线，
∴EF//AC，EF= AC，
同理：GH//AC,GH= AC，
∴EF GH，EF GH
∴四边形EFGH是平行四边形，
又EH//BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形.
24．AB=CD．
试题分析：E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，
HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF且
EG=HF．因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH= CD，要
想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH，那么就需要AB、CD满足AB=CD的条件．
需添加条件AB=CD．
解：需添加条件AB=CD．
∵点E，G分别是AD，BD的中点，∴EG∥AB，且EG= AB同理HF∥AB，且HF= AB，
∴EG∥HF，EG=HF．
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG= AB，
又可同理证得EH= CD，
∵AB=CD，
∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形．
故答案为AB=CD．
【点拨】1.菱形的判定；2.三角形中位线定理．
25．
解：∵四边形AB C D 是矩形，
1 1 1 1
∴∠A =∠B =∠C =∠D =90°，AB =C D，B C =A D；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又∵各边中点是A、B 、C 、D，
2 2 2 2
∴四边形AB C D 的面积=
2 2 2 2
= × AD× AB ×4
1 1 1 1
= 矩形AB C D 的面积，
1 1 1 1
即四边形AB C D 的面积= 矩形AB C D 的面积；
2 2 2 2 1 1 1 1
同理，得
四边形AB C D= 四边形AB C D 的面积= 矩形AB C D 的面积；
3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1
以此类推，四边形AB C D 的面积= 矩形AB C D 的面积= ．
n n n n 1 1 1 1
故答案是： ．
26．(1)平行四边形，证明见分析(2) (3)矩形
【分析】（1）连接BD，然后根据三角形中位线可进行求解；
（2）根据矩形的判定定理可进行求解；
（3）由矩形的性质可进行求解．
(1)解：四边形 的形状是平行四边形，理由如下：
如图1，连结 ．
∵ 、 分别是 、 中点，
∴ ， ，
同理 ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
(2)解：当四边形 的对角线满足 时，四边形 是矩形；理由如下：
连结AC，如图所示：
由（1）可知四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
(3)解：由（1）可知四边形 是平行四边形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是菱形；
故答案为矩形．
【点拨】本题主要考查中点四边形、三角形中位线、矩形的性质与判定及菱形的判定，
熟练掌握中点四边形、三角形中位线、矩形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键．
27．（1）见分析；（2）当AB=CD时，EF⊥GH，理由见分析
【分析】
（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的一组对边平行且相等，即可
证得；
（2）根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．
解：（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG= CD，FG∥CD．HE= CD，HE∥CD．
∴FG=EH，FG∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：当AB=CD时，EF⊥GH，
理由：由（1）知四边形EGFH是平行四边形，
当AB=CD时，EH= CD，EG= AB，
∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三
角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
28．平行四边形；（1）AC＝BD，理由见分析；（2）AC⊥BD，理由见分析；（3）
AC＝BD且AC⊥BD，理由见分析；
【分析】
连接AC，BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段EF、
FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以证明
四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即
可得到答案.
解：四边形EFGH为平行四边形；连接AC，BD
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点
∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（1）AC＝BD，
理由：如图①四边形ABCD的对角线AC＝BD，
∵四边形EFGH为平行四边形，且 ， ，
∴EH＝GH，
∴平行四边形EFGH为菱形．
（2）AC⊥BD，
理由：如图②四边形ABCD的对角线互相垂直，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点
∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线
∴ ， ，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥HE，
∵四边形EFGH为平行四边形．
∴四边形EFGH为矩形．
（3）AC＝BD且AC⊥BD，
理由：如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，
综合（1）（2）可得四边形EFGH为正方形．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判
定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
