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专题1.16 角的平分线（培优篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、角平分线的性质定理及证明
1．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，
交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；
③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C．其中正确个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图所示,在 中， ，AD平分 ， 于点E，则下列结论：
①DA平分 ；②∠ =∠ ；③DE平分∠ ；④ ．其中正确
的有（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①②④
3．如图，在 中， ， 是 的平分线．若 ， 分别是 和 上的
动点，且 的面积为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
类型二、角的平分线的性质定理4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，
若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；
③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图所示，点 分别是 平分线上的点， 于点 ，
于点 ， 于点 ，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．点 是 的中点
D．图中与 互余的角有两个
6．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，
∠BCF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
类型三、角平分线的判定定理7．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结
论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知 和 都是等腰三角形， ， 交于点F，
连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ ．其
中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在 中，点D是BC边上一点，已知 ， ，CE平
分 交AB于点E，连接DE，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
类型四、角平分线的性质的实际应用
10．如图， 中， ， 、 的平分线交于 ， 是 延长线上一
点，且 ．下列结论：① ；② ；③ ．其
中所有正确结论的序号有（ ）．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．如图，在 ABC中，AD⊥BC，CE平分∠ACB，AD交CE于点F，已知 AFC的面积为
5，FD＝2，则△AC长是（ ） △
A．2.5 B．4 C．5 D．6
12．如图，在 ABC中，∠C＝90°，AD是 ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，
则点D到AB边△的距离为（ ） △
A．2 B．2.5 C．3 D．4
类型五、作角平分线
13．如图，在 中， ，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（
）
A． B．
C． D．
14． ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BA、
△BC于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于 MN为半径画弧，两弧交于点P，射线BP
交AC于点D，则图中与BC相等的线段有（ ）
A．BD B．CD C．BD和AD D．CD和AD
15．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点
M和N,再分别以M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交
BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°； ④点D在AB的垂直平分线上
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
类型一、角平分线的性质定理及证明
16．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点
M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______．
17．如图， 是 的平分线， 是 的平分线， 与 交于 ，若
， ，则 ________．18．如图，AC=BC，∠ACD=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC的延长线于F，且垂
足为E，则下列结论：①AD=BF；②BF=AF；③AB=BF；④AC+CD=AB；⑤AD=2BE．
其中正确的结论有________．
类型二、角的平分线的性质定理
19．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于
E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=_____°．
20．如图所示， 的外角 的平分线CP与 的平分线相交于点P，若
，则 _______．
21．如图，在 ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于
E，交AC于F△，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+ ∠A；
③点O到 ABC各边的距离相等；
△
④设OD=m，AE+AF=n，则 ．
其中正确的结论是____．（填序号）
类型三、角平分线的判定定理
22．如图,在 ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=60°，D为 ABC外一点，DA平分∠BAC，且
CBD=50°，则△∠DCB的度数是_______. △
23．如图， 和 分别是等边三角形， ，下列结论中（1） ，
（2） ，（3） ，（4） 平分 ，（5） 平分 ．
正确的有______（填序号）．
24．如图， ， 是 、 的角平分线交点， 是 、 外角平分
线交点，则 ______ ， _____ ，联结 ，则 ______ ，点 ____
（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线 上．类型四、角平分线的性质的实际应用
25．如图，在锐角 中， ， ， 平分 ， 、 分别是
和 上 的动点，则 的最小值是__________ ．
26．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的
交点，将△ABC分成三个三角形，则 ︰ ︰ 等于____．
27．如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是 的角平分线，
是 的角平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线，若
，则 ________， _______，若 ，则 为________．类型五、作角平分线
28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交
AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于
点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝
60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S ：S ＝1：3.其中正确的是
DAC ABC
△ △
__________________．(填所有正确说法的序号)
29．如图，在 中， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交
于点 和 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点
，连接 并延长交 于点 ，则下列说法① 平分 ；② ；③点
在 的垂直平分线上；④连接 ，则 ，其中正确的是__________．（填
序号）
30．如图， 中， ， ，以 为圆心， 为半径作弧，交 于点，分别以 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，射线 交 于点
，若 ，则 的长为______；
三、解答题
31．如图，在 OBC中，边BC的垂直平分线交∠BOC的平分线于点D，连接DB，DC，
过点D作DF⊥△OC于点F.
(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数；
(2)若∠BOC＝ ，则∠BDC＝ ；（直接写出结果）
(3)直接写出OB，OC，OF之间的数量关系.
32．在 ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且
∠EDF+△∠EAF=180°，求证DE=DF．
33．如图，已知A(-1,0),B(1,0),C为y轴正半轴上一点，点D为第三象限一动点，CD交AB
于F,且∠ADB=2∠BAC，(1)求证：∠ADB与∠ACB互补；
(2)求证：CD平分∠ADB；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如
果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数.
34．已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点，
，过 作 ， 为垂足．
求证：（ ） ．
（ ） ．
35．画图计算：
(1)已知△ABC，请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P，使得点P到AB和BC的距离
相等，且满足P到点B和点C的距离相等(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)如图2，如果点P是(1)中求作的点，点E、F分别在边AB、BC上，且PE＝PF．
①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度数；②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的长．
(3)如图3，如果点P是△ABC内一点，且点P到点B的距离是7，若∠ABC＝45°，请分别
在AB、BC上求作两个点M、N，使得△PMN的周长最小(不写作法，保留作图痕迹)，则
△PMN的最小值为______.
参考答案
1．B
【解析】
【详解】
解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正确；
②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正确；
③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°
+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正确．
故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念
以及三角形外角的性质是解题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，
选出正确的结果．【详解】
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠DAE
∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠E=90°
∵AD=AD
∴△DAC≌△DAE
∴∠CDA=∠EDA
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC
∴BE+AC=AB
∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC
∴②∠BAC=∠BDE正确．
故选D．
【点拨】考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题关键是灵活运用角平分
线的性质进行分析．
3．C
【解析】
【分析】
由题意可知，根据角平分线的性质，先确定当 取最小值时动点 、 的位置，再
利用三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】
过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 ，如图所示∵ 平分 ， 、 分别是 和 上的动点
∴ ， 与 关于 对称
∴此时，
∵ ，
∴
∴ 的最小值是
故选：C
【点拨】本题是轴对称最短路线问题，主要考查了角平分线的性质、对称的性质以及三角
形的面积公式，确定 是解题的关键．
4．A
【解析】
【详解】
∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中， ，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正
确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．全等三角形的判定与性质．
5．D【解析】
【分析】
根据角分线的定义，可证 ；
根据角平分线上的点到角两边距离相等可证 ；
通过证明 和 可得OD=OE=OC；
通过同角或等角的余角相等，可证明与 互余的角有四个.由此可判断.
【详解】
解：∵点A，B分别是∠NOF，∠MOF平分线上的点
∴
∴
即 ，故A正确；
又∵ 于点 ， 于点 ， 于点
∴
∴ ,故B选项正确；
在Rt AOD和Rt AOE中，
△ △
∴
∴OD=OE，∠OAE=∠OAD
同理可证OC=OE
∴OC= OD，即O为CD的中点，故C正确；
∵ 于点 ，
∴∠COB+∠CBO=90°，
又∵ ，
∴∠BOE+∠CBO=90°，
∵ ， 于点
∴∠BOE+∠AOE=90°，∠OAE+∠AOE=90°
∴∠BOE=∠OAE=∠OAD
∴∠OAE +∠CBO=90°，∠OAD +∠CBO=90°所以与∠CBO互余的角有四个，分别为∠COB，∠BOE，∠OAE，∠OAD，D选项错误；
故选D.
【点拨】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，
同角或等角的余角相等.熟记性质并结合图进行判断是解决此题的关键.
6．B
【解析】
【分析】
作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质得到FZ=FY，根据角平
分线的判定定理得到∠FCZ=∠FCY，根据题意得到答案．
【详解】
解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FW=FY，
∴FZ=FY．
∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故选B．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离
相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
7．D【解析】
【详解】
∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也
正确，∵①②③④都正确，故选D．
点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等
三角形的判定方法与性质是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得
∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分
别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平
分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合 即可判定．
【详解】
解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S =S ,
BAD CAE
△ △
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴ 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
∵ 平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知
识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
9．B【解析】
【分析】
过点E作 于M， 于N， 于H，如图，先计算出 ，则
AE平分 ，根据角平分线的性质得 ，再由CE平分 得到 ，
则 ，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分 ，再根据三角形外角
性质解答即可．
【详解】
解：过点E作 于M， 于N， 于H，如图，
， ，
，
平分 ，
，
平分 ，
，
，
平分 ，
，
由三角形外角可得： ，
，
，
而 ，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理，解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分 ．
10．D
【解析】
【详解】
分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出
∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的
延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG，再求出
∠BDF=∠CDG，然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边
相等可得BD=CD，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB，根据等角对等边可得
BD=DE，判断②正确，再求出B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，根据同
弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE，判断③正确．
详解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别为 、 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故①正确．
如图，过点 作 于 ， 的延长线于 ，
∵ 、 分别为 、 的平分线，
∴ 为 的平分线，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ， ．
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
根据三角形的外角性质，
，
∴ ，
∴ ，故②正确．
∵ ，
∴ 、 、 三点在以 为圆心，以 为半径的圆上，
∴ ，故③正确，
综上所述，正确结论有①②③，
故选 ．
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内
接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特
别是③的证明．
11．C
【解析】
【分析】
根据已知作FH⊥AC，先求出FH，再利用面积法，便可求出AC.【详解】
解：过F作FH⊥AC，
∵AD⊥BC，CE平分∠ACB，
∴FH＝DF，
∵FD＝2，
∴FH＝2，
∵△AFC的面积为5，
∴ AC•FH＝ ×2×AC＝5，
∴AC＝5，
故选：C．
【点拨】考查了角平分线性质和用面积法求三角形的低，也属于常考题目，希望重点掌握.
12．C
【解析】
【分析】
作DE⊥AB于E，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设
DE=DC=x，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.
【详解】
解：作DE⊥AB于E，如图，
在Rt△ABC中，BC＝ ＝8，
∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
设DE＝DC＝x，S ABD＝ DE•AB＝ AC•BD，
△
即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，
即点D到AB边的距离为3．
故答案为C．
【点拨】本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角
的两边的距离相等是解答本题的关键..
13．B
【解析】
【分析】
先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根
据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】
解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．
故选B．
【点拨】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确
理解尺规作图成为解答本题的关键．
14．C
【解析】
【分析】
由基本作图得到BP平分∠ABC，所以∠ABP=∠CBP=36°，则利用等腰三角形的性质得
∠C=∠ABC=72°，再利用三角形内角和定理计算出∠A=36°，于是得到AD=BD，然后计算
出∠BDC=72°，从而得到∠BDC=∠C，所以BD=BC.
【详解】解：由画法得BP平分∠ABC，则∠ABP＝∠CBP＝ ，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠A＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即BC＝BD＝AD．
故选C．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）.也考查了等腰三角形的判定与性质.
15．C
【解析】
【详解】
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；
②根据作图的过程可以判定出AD的依据；
③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；
④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质
可以证明点在AB的中垂线上.
解：如图所示，
①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；
故①正确；②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；
故②错误；
③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CBA=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.
故③正确；
④∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上.
故④正确；
故选C.
“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的
性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC的度数是解题的关键.
16．
【解析】
【分析】
根据三角形内角与外角的关系可得
由角平分线的性质可得
根据三角形内角和定理可得
易得∠M的度数．
【详解】
在 中， 是 的外角
∴
由三角形内角和定理可得
∵
∴
∵ 平分
∴
由三角形内角与外角的关系可得∵
∴
又∵
∴
∴
【点拨】本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
17．
【解析】
【分析】
首先连接BC，根据三角形的内角和定理，求出 ，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后
判断出 ，再根据BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出
；最后根据三角形的内角和定理，用 即可
求出∠A的度数.
【详解】
如下图所示，连接BC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠3=∠5，∠4=∠6，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【点拨】本题主要考查了三角形内角和的应用，熟练掌握相关角度的和差计算是解决本题
的关键.
18．①、④、⑤
【解析】
【分析】
利用ASA证明△ADC≌△BFC判断①正确；由AF>AD，推出BF AF判断②错误；利用角
平分线的性质及垂直的定义证明△AEB≌△AEF，得到AB=AF，BE=FE，即可判断③错误；
根据△ADC≌△BFC推出CF=CD，由AF=CF+AC判断④正确；由AD=BF，BF=2BE，判断
⑤正确.
【详解】
∵BF⊥AE，
∴∠AEF=∠BCF=∠ACD=90°,
∴∠F+∠FAE=90°，∠F+∠FBC=90°，
∴∠FAE=∠FBC，
又∵AC=BC，
∴△ADC≌△BFC，
∴AD=BF，故①正确；
∵AF>AD，
∴BF AF，故②错误；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∵AE=AE，
∴△AEB≌△AEF，
∴AB=AF，BE=FE，
∵BF AF，∴BF AB，故③错误；
∵△ADC≌△BFC，
∴CF=CD，
∵AF=CF+AC，
∴AB=CD+AC，故④正确；
∵AD=BF，BF=2BE，
∴AD=2BE，故⑤正确；
故答案为：①、④、⑤.
【点拨】此题考查角平分线的性质，垂直的定义，三角形全等的判定及性质，熟练掌握三
角形全等的判定定理并运用解决问题是解题的关键.
19．30
【解析】
【分析】
过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，根据角平分线的性质得到DF=DM，根据
邻补角的定义得到∠DAM=60°，根据角平分线的定义得到∠BAE=60°，推出DE平分
∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEB=90°，得到∠DEF=45°，根据三角形的外角的
性质即可得到结论．
【详解】
过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，∴DM=DN，
∴DF=DN,
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠ACB=30°，CD平分∠ACB，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=∠DEF -∠DCF=30°.
故答案为30．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、角平分线的定义，正确的作出
辅助线，熟练运用性质是解题的关键．
20．
【解析】
【分析】
如图（见解析），设 ，从而可得 ，先根据三角形的外角性质可求出
，再根据角平分线的性质可得 ，从而可得 ，然后
根据直角三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后根据平角的定义即可得．
【详解】
如图，过点P分别作 于点M， 于点N， 于点E，
设 ，则 ，
，
，
是 的平分线，
，
，
是 的平分线， ， ，
，
同理可得： ，
，在 和 中， ，
，
，即 ，
又 ，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定
定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．
21．①②③
【解析】
【分析】
由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形的
内角和定理，即可求出②∠BOC=90°+ ∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得
△BEO和△CFO是等腰三角形可得①EF=BE+CF正确；由角平分线的性质得出点O到
△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m，
AE+AF=n,则△AEF的面积= ，④错误.
【详解】
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°- ∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°，故②∠BOC=90°+ ∠A正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE,CF=OF,
∴EF=OE+OF=BE+CF，
即①EF=BE+CF正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于点N，连接AO，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，即③点O到△ABC各边的距离相等正确；
∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF= AE·OM+ AF·OD= OD·（AE+AF）= mn，故④错误；
故选①②③
【点拨】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.
22．60°
【解析】
【分析】
如图，延长AB到P，延长AC到Q，作DH⊥AP于H，DE⊥AQ于E，DF⊥BC于F．想办
法证明DE=DF，推出DC平分∠QCB即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AB到P，延长AC到Q，作DH⊥AP于H，DE⊥AQ于E，DF⊥BC于F．∵∠PBC=∠BAC+∠ACB=40°+60°=100°，∠CBD=50°，
∴∠DBC=∠DBH，
∵DF⊥BC，DH⊥BP，
∴DF=DH，
又∵DA平分∠PAQ，DH⊥PA，DE⊥AQ，
∴DE=DH，
∴DE=DF，
∴CD平分∠QCB，
∵∠QCB=180°-60°=120°，
∴∠DCB=60°，
故答案为60°．
【点拨】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
23．（1）（2）（4）
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
求出∠DAC=∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根据三角
形的内角和定理求出∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=60°，根据等边三角形性质得出
∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，
N．根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可，根据以上推出的结
论即可得出答案．
【详解】
解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE
=180°-∠ODB-60°-∠ADC
=120°-（∠ODB+∠ADC）
=120°-60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；
如图，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．
∵由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S ABE=S ADC，
△ △
∴ ，
∴AM=AN，
∴点A在∠DOE的平分线上，
即OA平分∠DOE，故④正确，⑤错误；
故答案为：（1）（2）（4）．
【点拨】本题考查了等边三角形性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，
三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24． 116 64 26 在
【解析】
【分析】
∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）, ∠BOC=180°-
（∠OBC+∠OCB），据此可求∠BOC的度数；
∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），由三角形
内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，据此可求∠BPC的度数；
作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH，
于是可证得AP平分∠BAC，据此可求∠PAB的度数；
同理可证OA平分∠BAC，故点 在直线 上．
【详解】
解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）
= （180°-∠A）
=90°- ∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-90°+ ∠A
=90°+ ∠A
=90°+26°
=116°；
如图，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），
∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得：
∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°- （∠A+180°）
=90°- ∠A
=90°-26°
=64°．
如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，
∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，
∴PG=PK，PK=PH，
∴PG=PH，
∴AP平分∠BAC，
∴ 26°
同理可证OA平分∠BAC，
点 在直线 上．
故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.
【点拨】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理
并正确作出辅助线是解题关键．
25．【解析】
【分析】
根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC
上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN
的最小值.
【详解】
解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）
∵ 平分 ，△ABC是锐角三角形
∴R必在AC上
∵N关于AD的对称点是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）
∵ ，
∴ =18
∴BE= cm
即BM+MN的最小值是 cm.
故答案为 .
【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认
真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.
26．6：8：3
【解析】【分析】
由角平分线性质可知，点P到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA边上
的高相等，利用面积公式即可求解.
【详解】
解：过点P作PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F
∵P是三条角平分线的交点
∴PD=PE=PF
∵AB=30，BC=40，CA=15
∴ ︰ ︰ =30∶40∶15=6∶8∶3
故答案为6∶8∶3.
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的
距离相等.
难度不大，作辅助线是关键.
27．
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠ABC= ∠ABC，∠ACD= ∠ACD，再根据三角形的一个外
1 1
角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD=∠A BC+∠A ，整理
1 1 1
即可得解 ，同理求出∠A，∠A，可以发现后一个角等于前一个角的 ，根据
2 3
此规律即可得解．
【详解】
∵A B是∠ABC的平分线，AC是∠ACD的平分线，
1 1
∴∠A BC= ∠ABC，∠ACD= ∠ACD，
1 1又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD=∠A BC+∠A ，
1 1 1
∴ （∠A+∠ABC）= ∠ABC+∠A ，
1
∴∠A = ∠A=32°，
1
同理可得∠A=16°，∠A=8°，
2 3
∵∠A=α．
同理可得∠A= ∠A= α，∠A= ∠A= α，
1 2 1
根据规律推导，
∴∠A = ，
2018
故答案为32°，8°， ．
【点拨】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．
28．4
【解析】
【分析】
①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出
∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD= AD，再由三角形的面积公式即可得出结
论．
【详解】
①连接NP，MP．在 ANP与△AMP中，∵ ，∴△ANP≌△AMP，则
△
∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；
②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，
故此选项正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；
④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD= AD，∴BC=BD+CD=AD+ AD= AD，S DAC=
△
AC•CD= AC•AD，∴S ABC= AC•BC= AC• AD= AC•AD，∴S DAC：S ABC=1：3，
△ △ △
故此选项正确．
故答案为①②③④．
【点拨】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
29．①②③④
【解析】
【分析】
①根据作图的过程可以判断 是 的角平分线；
②由 可以先求到∠BAC的度数，结合①可以求到∠CAD的度数，因为
∠C=90°即可求到∠ADC的度数；
③结合①和②可以求到 ，判断出 为等腰三角形即可解答；
④依题意直接由SAS判断出 ，即可得到DM=DN．
【详解】
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，
故①正确；
② 在 中， ，
，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴ ,,
故②正确；
③ ,
为等腰三角形，
∴顶点D在底边AB的垂直平分线上，
故③正确；
④如图，连接DN、DM，
由题意知AM=AN，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
故④正确；
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图，解题的时候，
要熟悉等腰三角形的判定和性质．
30．
【解析】
【分析】
先根据直角三角形的性质和得到AB=2BC、∠ABC=60°，再根据角平分线的作法可得
∠1=∠2=30°，进而得到∠1=∠A=30°，即BF=AF=4,然后再根据三角形的性质求得FC，最
后运用勾股定理解答即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴AB=2BC,∠ABC=60°
∵作图可知BC平分∠ABC，BC=BD∴∠1=∠2=30°
∴∠1=∠A=30°
∴BF=AF=4
∵ ， ，
∴BF=2FC，即FC=2
∴BC=
∴BD=BC= ．
．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分的作法、等腰三角形的性质以及勾股
定理的灵活应用，掌握含30°直角三角形的性质成为解答本题的关键．
31．（1）120°；（2）180°－α；（3）OB＋OC＝2OF
【解析】
【分析】
(1)首先过点D作DE⊥OB于E，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又
由∠EOF+∠EDF=180゜，即可求得答案；
(2)由（1），可求得∠BDC的度数;
(3) OB＋OC＝OE＋OF＝2OF
【详解】
解：(1)过点D作DE⊥OB，交OB延长线于点E，DF⊥OC于F，∵OD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt DEB和Rt DFC中，
△ △
∴△DEB≌△DFC（HL）
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠EOF+∠EDF=180゜，
∵∠BOC=60゜，
∴∠BDC=∠EDF=120゜．
（2）∵∠EOF+∠EDF=180゜，
∵∠BOC=α，
∴∠BDC=∠EDF=180゜-α．
故答案为：180゜-α．
（3）由（1）知OB＋OC＝OE＋OF＝2OF
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性
质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．32．证明见解析.
【解析】
【分析】
过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，继而可推导得
出∠MED=∠NFD，根据全等三角形的判定AAS推出 EMD≌△FND即可．
【详解】 △
过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
即∠EMD=∠FND=90°，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线性质），
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，
∴∠MED=∠NFD，
在 EMD和 FND中
△ △
，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE=DF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和角平分线性质的应用，解题的关键是正确作辅助
线，推出 EMD和 FND全等.
33．(1)证△明见解析；△(2)证明见解析；(3)∠BAC=60°.
【解析】
【分析】
(1)先判断△ABC是等腰三角形，然后在△ABC中利用三角形内角和定理以及
∠ADB=2∠BAC即可得到结论；(2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，运用“AAS”证明△CAM≌△CBN得
CM=CN，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，则可得CD=DP，证明△CAD≌△CBP，从而可得
△CDP是等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【详解】
(1)∵A(-1,0),B(1,0)，
∴OA=OB=1，
∵CO⊥AB，
∴CA=CB，
∴∠ABC=∠BAC，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∠ADB=2∠BAC，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
即∠ADB与∠ACB互补；
(2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，则∠AMC=∠ANB=90°，
∵∠ADB+∠AMC+∠DNC+∠MCN=360°，
∴∠ADB+∠MCN=180°，
又∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠MCN=∠ACB，
∴∠MCN-∠CAN=∠ACB-∠CAN，
即∠ACM=∠BCN，
又∵AB=AC，
∴△ACM≌△ABN (AAS)，
∴AM=AN．∴CD平分∠ADB(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)∠BAC的度数不变化，
延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，
∵CD=AD+BD，
∴CD=DP，
∵∠ADB+∠DBC+∠ACB+∠CAD=360°，∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠CAD+∠CBD=180°，
∵∠CBD+∠CBP=180°，
∴∠CAD=∠CBP，
又∵CA=CB，
∴△CAD≌△CBP，
∴CD=CP，
∴CD=DP=CP，即△CDP是等边三角形，
∴∠CDP=60°，
∴∠ADB=2∠CDP=120°，
又∵∠ADB=2∠BAC，
∴∠BAC=60°.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和定理，三角形内角和定理，
等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关
知识是解题的关键.
34．证明详见解析
【解析】
【详解】
分析：（1）根据角平分线的性质，得到∠ABD=∠CBD，然后根据SAS证得 ≌，然后根据全等三角形的性质和三角形的外角得到等腰△ACE，由此可证；
（2）过点 作 于点 ，根据三角形全等的判定“HL”证得 ≌ 和
≌ ，然后根据全等三角形的对应边相等，等量代换求解.
详解：证明：（ ）∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
（ ）过点 作 于点 ，
∵ 是 上的点， ， ，
∴ ，
∵在 和 中，，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵在 和 中，
，
≌ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
点睛：此题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，利
用了转化及等量代换的数学思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
35．(1)见解析；(2)①∠EPF＝120°；②BP＝ ；(3)7 .
【解析】
【分析】
（1）作∠ABC的平分线BM，线段BC的垂直平分线EF，直线EF交射线BM于点P，点
P即为所求；
（2）①由Rt PME≌Rt PNF（HL），推出∠EPM=∠FPN，推出∠EPF=∠MPN，即可解决
问题； △ △
②由Rt PMB≌Rt PNB（HL），推出BM=BN，由Rt PME≌Rt PNF（HL），推出
EM=FN△，推出BE△+BF=BM-EM+BN+NF=2BN=10，推出△BN=NM△=5，再利用勾股定理即可
解决问题；
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、
N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为 PMN的周长的最小值；
【详解】 △
解：(1)如图，点P即为所求；(2)①连接BP，作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．
∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM＝PN，
∵PE＝PF，∠PME＝∠PNF＝90°，
∴Rt PME≌Rt PNF(HL)，
∴∠E△PM＝∠F△PN，
∴∠EPF＝∠MPN，
∵∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠EPF＝120°．
②∵PB＝PB，PM＝PN，∠PMB＝∠PFB＝90°
∴Rt PMB≌Rt PNB(HL)，
∴BM△＝BN， △
∵Rt PME≌Rt PNF(HL)，
∴EM△＝FN， △
∴BE+BF＝BM﹣EM+BN+NF＝2BN＝10，
∴BN＝NM＝5，
∵BE＝2，PE＝5，
∴EM＝3，PM＝ ＝4，
∴BP＝ ＝ ．
(3)分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为 PMN的周长的最小值．
△
∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，
∴∠EBA＝∠PBA，∠FBC＝∠PBC，BE＝BF＝BP＝7．
∴EF＝ BE＝7
∴△PMN周长的最小值为7 ．
故答案为7 ．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，轴对称最
短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用
轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
