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专题1.18 《三角形的证明》全章复习与巩固（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（
）
A．36° B．60° C．72° D．108°
2．若 中， ，则 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
3．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（
）
A．50° B．100° C．120° D．130°
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果
AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
5．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加
以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
7．如图，已知 ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝
BC，则下列选项△正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若
∠EFB=65°，则∠AED′等于（ ）A．70° B．65° C．50° D．25°
9．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使
△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
10．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向
正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
二、填空题
11．等腰三角形的两条边长为2和5，则该等腰三角形的周长为_________．
12． ABC，AC=6，BC=8， 当AB=______时，∠C=90°．
△13．如图， ， 的垂直平分线 交 于点 ，若 ，则
________ .
14．如图， ， ，若 ， ，则D到AB的距离为________。
15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，
DF=DE，则∠E= 度．
16．已知 ，则以 ， ， 为边长的三角形是_____三角形.
17．如图， 中， ， ， 的垂直平分线交 于 ，交 于 ，
，则 __________．18．如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且
OD=2，△ABC的面积是________________.
19．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 =14cm，则阴影部分的面积是___cm2
20．如图，射线 是 的平分线， 是射线 上一点， 于点 ，若
是射线 上一点， 则 的面积是_______________________．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD⊥AC于D，则∠DBC=______度.22．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、
AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是_______.
23．如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB、CD分别表示超市一层、二层电梯
口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长约为12米，则乘电梯从点B到点C上升的高
度h约为________米．
24．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当
∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形．
三、解答题
25．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
26．如图，△ABC，△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上，求
证：△CDA≌△CEB．
27．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：
AD垂直平分EF。
28．如图，已知 ，点 分别在射线 上移动， 的平分线与
的外角平分线交于点 .
（1）当 时， .（2）请你猜想：随着 两点的移动， 的度数大小是否变化？请说明理由.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根
据三角形的外角的性质计算得到答案．
【详解】
解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选C．
2．B
【解析】
【分析】
根据三角形内角和180 ，求出最大角∠C，直接判断即可.
【详解】
解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：4．
∴设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°，
根据三角形内角和定理得到：x+2x+4x=180,
解得：x= ．
则∠C=4× = °，则△ABC是钝角三角形．
故选B.
【点拨】本题考查了三角形按角度的分类.
3．B
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠A，根
据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】
解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝50°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，
故选：B．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平
分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案．
【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE是解题关键．
5．B
【解析】
【详解】
试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角
为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°
或20°．
考点：等腰三角形的性质．6．D
【解析】
【详解】
试题分析：添加A可以利用ASA来进行全等判定；添加B可以利用SAS来进行判定；添
加C选项可以得出AD=AE，然后利用SAS来进行全等判定.
考点：三角形全等的判定
7．B
【解析】
【详解】
由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在
AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
故选B．
考点：作图—复杂作图
8．C
【解析】
【分析】
由平行可求得∠DEF，又由折叠的性质可得∠DEF=∠D′EF，结合平角可求得∠AED′．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=65°，
又由折叠的性质可得∠D′EF=∠DEF=65°，∴∠AED′=180°-65°-65°=50°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的
关键．
9．C
【解析】
【详解】
试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定：
A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项
不合题意；
B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不
合题意；
C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题
意；
D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项
不合题意．
故选C．
10．D
【解析】
【详解】
分析：依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，
∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，
∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．∴NP＝NM＝80海里．故选D．
11．12
【解析】
【分析】
因为已知长度为2和5两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】
解：当5为底时，其它两边都为2，
∵2+2＜5，
∴不能构成三角形，故舍去，
当5为腰时，其它两边为2和5，
5、5、2可以构成三角形，
∴周长为5+5+2=12．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题
目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，
这点非常重要，也是解题的关键．
12．10
【解析】
【分析】
由已知得，这是一个直角三角形，则根据勾股定理即可求解．
【详解】
∵∠C=90°，∴AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，
∴AB=10.
故答案为10.
【点拨】本题利用了勾股定理来求解，是基础知识比较简单．
13．29
【解析】
【分析】
利用垂直平分线的可得： ,因为 ,且 ,
所以 .
【详解】
解： DE为AD的垂直平分线,
利用垂直平分线的可得： ,
,且 ,
.
故答案为：29.
【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质，结合题意可以求出答案.
14．4.
【解析】【分析】
作DE⊥AB，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得到答案．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC-BD=4，
∵∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．：
【解析】
【分析】
根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的
度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．故答案为15．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.
16．直角
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出 ， ， 的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可.
【详解】
解:根据题意得，x-3＝0，y-5＝0，z-4＝0
解得x＝3，y＝5，z＝4
又 32+42=52
即x2+z2=y2
以 ， ， 为三边长的三角形是直角三角形
∴
答案为:直角
【点拨】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，
则每一个算式都等于0列式是解题的关键.
17．6
【解析】
【分析】
先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
垂足为E，可得BD=AD，由∠A=30°可知∠ABD=30°，故可得出∠DBC=30°，根据
CD=3cm可得出BD的长，进而得出AD的长．
【详解】
解：连接BD，∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，DE⊥AB，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠DBC=30°，
∵CD=2，
∴BD=2CD=4，
∴AD=4，
∴AC=6.
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度
不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．16
【解析】
【分析】
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=2，根
据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可作答．
【详解】
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=2，
∴△ABC的面积是：S +S +S
AOB AOC OBC，
△ △ △
= ×AB×OE+ ×AC×OF+ ×BC×OD，
= ×2×（AB+AC+BC），
= ×2×16=16，
故答案为16．
【点拨】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角的平分线上的点
到角的两边的距离相等．
19．
【解析】
【详解】
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°， =14cm，
∴AC= AB=7cm,
在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，∴CF=AC=7cm，
则阴影部分的面积是 (cm)
故答案为：
20．12
【解析】
【分析】
作PH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到PH=DP=6，根据三角形的面积公式计算，得
到答案．
【详解】
解：作PH⊥OB于点H，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=DP=6，
∴△OPE的面积= ×OE×PH= ×4×6=12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是
解题的关键．
21．20【解析】
【详解】
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+2∠ACB=180°，
又∵∠A=40°，
∴ ，即∠DCB=70°，
∵BD⊥AC，
∴在Rt△BDC中，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DBC=90°-∠DCB=90°-70°=20°.
故本题应填20.
22．9
【解析】
【详解】
∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC．
又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD．∴∠DBO=∠BOD．∴DO=DB．
同理，EO=EC．
又∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋
4=9
故答案为：9
23．6【解析】
【详解】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
在Rt BCE中，∵BC=12，∠CBE=30°，
△
∴CE= BC=6．
故答案是6．
点睛：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
24．30°或75°或120°
【解析】
【详解】
试题解析：当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，
当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°，
当点P为顶点时，∠A=30°，
故答案为30°或75°或120°．
25．证明见解析.
【解析】【分析】
要证 是 的中点，根据题意可知，证明 为等腰三角形，利用等腰三角形的高和
中线向重合即可得证．
【详解】
证明：连接 ，
在等边 ，且 是 的中点，
， ，
，
，
，
，
，
， 为等腰三角形，
又 ，
是 的中点．
【点拨】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边
三角形每个内角为 的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．
26．证明见解析．
【解析】【分析】
根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．
【详解】
解：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中， ，
∴△CDA≌△CEB．
【点拨】本题考查全等三角形的判定；等腰直角三角形．
27．见解析
【解析】
【分析】
由DE⊥AB,DF⊥AC，得出∠AED=∠AFD；因为AD是△ABC的角平分线，可得∠1=∠2，
DE=DF，推出△AED≌△AFD，即AE=AF，所以点A在EF的垂直平分线上，又DE=DF，
推出点D在EF的垂直平分线上，即可证明AD垂直平分EF；
【详解】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，DE=DF，∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，全等三角形的性质，
掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，全等三角形的性质是解题的关键.
28．（1）45°；（2）随着 两点的移动， 的度数大小不会变化，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的内角和和角平分线的性质即可得到答案；
（2）由于∠ABN是 AOB的外角，从而得到∠ABN=90°+∠BAO，再根据角平分线的性质
△
及三角形外角定理可得∠CBD=45°+ ∠BAO，∠CBD=∠ACB+ ∠BAO；接下来通过等量
代换可得即可得到∠ACB=45°，由此即可得到结论.
【详解】
（1） 因为 ， ，所以 ， ,
则根据角平分的性质可知 ， ,则有
；
（2）随着 两点的移动， 的度数大小不会变化.
理由如下：
∵ 平分∴
∵ 平分
∴
∵ 是 的一个外角
∴
∴
∵ 是 的一个外角
∴
∴
【点拨】本题考查角平分线的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的
性质和三角形外角定理.
