文档内容
专题1.17 中点四边形专题（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中
点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，若E、F、G、H分别是BD、BC、
AC、AD的中点，顺次连接E、F、G、H四点，得到四边形EFGH，则下列结论不正确的
是（ ）
A．四边形EFGH一定是平行四边形 B．当AB=CD时，四边形EFGH是菱形
C．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形D．四边形EFGH可能是正方形
3．在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
EG2＋FH2的值为（ ）
A．72 B．64 C．48 D．36
4．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S，中点四边形EFGH的面积记为S，则S 与S 的数量
1 2 1 2
关系是（ ）
A．S=3S B．2S=3S C．S=2S D．3S=4S
1 2 1 2 1 2 1 2
5．如图，点 、 、 、 分别是四边形 边 、 、 、 的中点，则
下列说法：
①若 ，则四边形 为矩形；
②若 ，则四边形 为菱形；
③若四边形 是平行四边形，则 与 互相垂直平分；
④若四边形 是正方形，则 与 互相垂直且相等.
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都
为20cm，则四边形EFGH的周长是( )
A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm
7．如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC=BD时它是矩形
8．顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（ ）．
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
9．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC
的中点，则对四边形EFGH表述最确切的是（ ）
A．四边形EFGH是矩形 B．四边形EFGH是菱形
C．四边形EFGH是正方形 D．四边形EFGH是平行四边形
10．如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的点，
对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是
A．当M，N，P，Q是各边中点，四边MNPQ一定为平行四边形
B．当M，N，P，Q是各边中点，且 时，四边形MNPQ为正方形
C．当M，N、P，Q是各边中点，且 时，四边形MNPQ为菱形
D．当M，N、P、Q是各边中点，且 时，四边形MNPQ为矩形
二、填空题11．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加_____条件，就
能保证四边形EFGH是菱形．
12．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA
的中点，则EG2+FH2=______．
13．如图，四边形 ABCD是菱形， E、F、G、H分别是各边的中点，随机地向菱形
ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是__________．
14．如图，▱ABCD中，AC＝8，BD＝6，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边
形的周长是_____．
15．如图，已知矩形ABCD中， ， ，E，F，G，H分别是AB，
BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_____cm．16．如图，H是△ABC内一点，BH⊥CH，AH＝6，CH＝3，BH=4，D、E、F、G分别
是AB、AC、CH、BH的中点，则四边形DEFG的周长是______．
17．如图，四边形 为正方形，点 分别为 的中
点，其中 ，则四边形 的面积为________________________．
18．如图，四边形ABCD的对角线 ，E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD
的中点，若在四边形ABCD内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为
_____________．
19．如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，EF
＝2EH，则AB与EH的数量关系是AB＝_____EH．20．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线
段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：
存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形； 存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；
①存在无数个中点四边形MNPQ是矩形； 存在②两个中点四边形MNPQ是正方形．所有
③正确结论的序号是_____． ④
三、解答题
21．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、
FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 ，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足 条件时，四边形EFGH是菱形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？
22．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？23．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中
点，中点四边形EFGH是 ．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝
∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的
形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点
四边形EFGH的形状（不必证明）．
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的
中点，顺次连接E、G、F、H．
（1）求证：四边形EGFH是菱形．
（2）当∠ABC与∠DCB满足什么关系时，四边形EGFH为正方形，并说明理由．
（3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三个角之间的关系，并证明你的猜想是成立的．25．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，在四边形 中，点 ， ， ， 分别为边 ， ， ，
的中点，中点四边形 是_______________．
（2）如图2，点P是四边形 内一点，且满足 ， ，
，点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点．猜想中点四
边形 的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使 ，其他条件不变，直接写出中点
四边形EFGH的形状（不必证明）．参考答案
1．C
【分析】
原四边形ABCD是矩形时，它的对角线相等，那么中点四边形 是菱形（平行四
边形相邻的两边都相等）．
解：连接AC和BD
、 分别是 、 的中点，
是 的中位线，
，
同理， ， ， ．
四边形 是平行四边形．
四边形 是矩形时，
，则 ，
平行四边形 是菱形
故选：C.
【点拨】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点．
2．C
【分析】
根据三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
解：∵E、F分别是BD、BC的中点，
∴EF∥CD，EF= CD，
∵H、G分别是AD、AC的中点，∴HG∥CD，HG= CD，
∴HG∥EF，HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，A说法正确，不符合题意；
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴FG= AB，
∵AB=CD，
∴FG=EF，
∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形，B说法正确，不符合题意；
当AB⊥BC时，EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，C说法错误，符合题意；
当AB=CD，AB⊥BC时，四边形EFGH是正方形，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】此题考查中点四边形、三角形中位线定理，掌握平行四边形、矩形、菱形、
正方形的判定定理是解题的关键．
3．B
【分析】
作辅助线，构建四边形EFGH，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等
式，再利用中位线性质等量代换可得结论．
解：连接EF、FG、GH、EH，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC， ，
∴EF∥HG，
同理EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC=BD，∴EF=FG，
∴平行四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥FH，EG=2OG，FH=2OH，
∴EG2+FH2=（2OE）2+（2OH）2=4（OE2+OH2）=4EH2= ,
故选：B．
【点拨】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有
机结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线
段的平方和可以利用勾股定理来证明．
4．C
【分析】
根据题意由E为AB中点，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到 BEK与 ABM相
似， AEN与 ABM相似，利用面积之比等于相似比的平方，得到 EB△K面积与△ ABM
面积△之比为1：△4，且 AEN与 EBK面积相等，进而确定出四边形△EKMN面积为△ABM
的一半，同理得到四边△形MKF△P面积为 MBC面积的一半，四边形QMPG面积为△DMC
面积的一半，四边形MNHQ面积为 AD△M面积的一半，四个四边形面积之和即为△四个三
角形面积之和的一半，即为四边形A△BCD面积的一半．
解：设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，
∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM， AEN∽△EBK，
△
∴ ，S =S ，
AEN EBK
△ △
∴ ，同理可得 ， ， ，
∴ ，
∴四边形ABCD的面积为S，中点四边形EFGH的面积记为S，则S 与S 的数量关
1 2 1 2
系是S=2S ．
1 2
故选C．【点拨】此题主要考查了中点四边形以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练应用
三角形中位线的性质是解题关键．
5．A
【分析】
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根
据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
解：∵E、F分别是边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，
同理可知，HG∥AC，HG= AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
若AC=BD，则四边形EFGH是菱形，故①说法错误；
若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形，故②说法错误；
若四边形 是平行四边形，AC与BD不一定互相垂直平分，故③说法错误；
若四边形 是正方形，AC与BD互相垂直且相等，故④说法正确；
故选：A．
【点拨】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，掌握三角形
中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
6．B
解：利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC，或BD的一半，进而
求四边形周长即可．
7．C
解：连接AC，BD，
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG= AC，EH=FG= BD，∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，
当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，
当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH可能是轴对称图形，
故选C．
【点拨】本题考查中点四边形；平行四边形的判定；矩形的判定；轴对称图形．
8．D
【分析】
利用连接四边形各边中点得到的四边形是正方形，则结合正方形的性质及三角形的中
位线的性质进行分析，从而不难求解．
解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形．
∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形．
∴EF=EH，EF⊥EH，
∴BD=2EF，AC=2EH，EF//BD，EH//AC
∴AC=BD，AC⊥BD，
即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，
选项D满足题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的数量
关系和位置．熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．
9．B
【分析】根据三角形中位线定理得到EH= BC，EH∥BC，得到四边形EFGH是平行四边形，
根据菱形的判定定理解答即可．
解：∵点E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH= BC，EH∥BC，
同理，EF= AD，EF∥AD，HG= AD，HG∥AD，
∴EF=HG，EF∥HD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AD=BC，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
故选B．
【点拨】本题考查的是中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、菱形的判
定定理是解题的关键．
10．B
【分析】
连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到 ， ， ，
，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
解：连接AC、BD交于点O，
M，N，P，Q是各边中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
四边MNPQ一定为平行四边形，A说法正确，不符合题意；时，四边形MNPQ不一定为正方形，B说法错误，符合题意；
时， ，
四边形MNPQ为菱形，C说法正确，不符合题意；
时， ，
四边形MNPQ为矩形，D说法正确，不符合题意.
故选B．
【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定
理、三角形中位线定理是解题的关键．
11．AC＝BD
【分析】
根据中位线的性质易得四边形EFGH为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，
而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．
解：∵E、F为AD、AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF BD，EF= BD，
同理可得GH BD，GH= BD，FG AC，FG= AC，
∴EF GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴当EF=FG时，四边形EFGH为菱形，
∵FG= AC，EF= BD，EF=FG
∴AC=BD，
故答案为：AC＝BD．
【点拨】本题考查菱形的判定，四边相等的四边形是菱形和中位线定理，解题的关键
是了解菱形的判定定理，难度不大．
12．36
【分析】
连接EF，FG，GH，EH，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，得到
EH，EF，FG，GH分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，根据三角形中位线定理得到EH，FG等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=6，得到
EH=EF=GH=FG=3，根据四边都相等的四边形是菱形，得到EFGH为菱形，然后根据菱形
的性质得到EG⊥HF，且EG=2OE，FH=2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得到
OE2+OH2=EH2=9，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4=22，把等式进行
变形，并把EG=2OE，FH=2OH代入变形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值
解：如图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH= BD=3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF=GH= AC=3，FG= BD=3，
∴EH=EF=GH=FG=3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG=2OE，FH=2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36，
∴（2OE）2+（2OH）2=36，
即EG2+FH2=36．
故答案为36．
【点拨】此题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理以及等式的
基本性质，本题的关键是连接EF，FG，GH，EH，得到四边形EFGH为菱形，根据菱形
的性质得到EG⊥HF，建立直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
13．解：则根据菱形的性质可得菱形ABCD的面积= AC·BD，
根据E、F、G、、H为各边中点可得四边形HEFG为矩形，
根据中点可得HE=FG= BD，HG=EF= AC，
则矩形HEFG的面积= BD· AC= AC·BD，
即四边形HEFG的面积是菱形ABCD面积的一半，
则可得概率为 ．
故答案为； ．
14．14
【分析】
根据三角形的中位线定理得出EF＝GH＝ ＝3，EH＝FG＝ ＝4，代入四边形
的周长式子求出即可．
解：∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF＝GH＝ ＝3，EH＝FG＝ ＝4，
∴EF+FG+GH+EH＝3+4+3+4＝14，
故答案为14
【点拨】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能熟练运用性质求出
EF+GH+EH+FG=AC+BD是解此题的关键．
15．20
【分析】
连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG，GF，EF，EH的长，再求出四边形
EFGH的周长即可.
解：如图，连接AC、BD，四边形ABCD是矩形，
AC＝BD＝8cm，
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
HG＝EF＝ AC＝4cm，EH＝FG＝ BD＝4cm，
四边形EFGH的周长等于
4＋4＋4＋4＝16cm.
【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的
长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于
第三边的一半.
16．11
【分析】
根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到ED=FG= BC，EF=DG=
AH，而△CHB为直角三角形，可求出BC，再求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可
求出四边形EFGH的周长．
解：∵BH⊥CH，BH=4，CH=3，
由勾股定理得：BC= =5，
∵D、E、F、G分别是AB、AC、CH、BH的中点，
∴ED=FG= BC，EF=DG= AH，
∵AH=6，
∴EF=DG=3，ED=FG= ，
∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（2.5+3）=11．故答案为11．
【点拨】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能
根据三角形的中位线定理求出EF、DG、ED、FG的长是解此题的关键．
17．4.
【分析】
先判定四边形EFGH为矩形，再根据中位线的定理分别求出EF、EH的长度，即可求
出四边形EFGH的面积.
解：∵四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴△AEH、△BEF、△CFG、△DGH都为等腰直角三角形，
∴∠HEF、∠EFG、∠FGH、∠GHE都为直角，
∴四边形EFGH是矩形，
边接AC，则AC=BD=4，
又∵EH是△ABD的中位线，
∴EH= BD=2，
同理EF= AC=2，
∴四边形EFGH的面积为2×2=4.
故答案为4.
【点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理.
18． ##0.5
【分析】
先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得
平行四边形EFGH是矩形．
解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AD，AB，BC，CD的中点，
∴EH、FG分别是 ACD、 ABC的中位线，EF、HG分别是 ABD、
BCD的中位线， △ △ △
△
根据三角形的中位线的性质知，EF∥BD，GH∥BD且EF= BD，GH=
BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积=EF•FG= AC•BD，
∵四边形ABCD的面积= AC•BD，
∴这一点落在图中阴影部分的概率为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了几何概率，中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判
定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
19．
【分析】
连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根据三角
形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．
解：连接AC、BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，
∴EH＝ BD，EH∥BD，GH＝ AC，GH∥AC，
∵EF＝2EH，
∴OA＝2OD，
∴AB＝ ＝ OD，
∴AB＝ EH，
故答案为： ．【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关
键．
20． ．
【分①析】②③④
连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ∥AC，PQ= AC，MN∥AC，MN=
AC，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
解：①当AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形；
故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；
②当AC与BD相等且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形；
故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；
③当AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形；
故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；
④如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形．
故存在两个中点四边形MNPQ是正方形．
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定
理、三角形中位线定理是解题的关键．
21．（1）平行四边形，证明见分析；（2）AC=BD；（3）矩形
【分析】
（1）连接BD、AC，利用三角形的中位线性质和平行四边形的判定定理即可解答；（2）根据菱形的判定定理即可解答；
（3）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可．
解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形，
证明：连接BD、AC，
∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，
∴ ， ，
∴四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足AC=BD条件时，四边形EFGH是菱形，理由：
∵BD=AC， ， ，
∴ ，
∴四边形EFGH是菱形，
故答案为：AC=BD；
（3）由于矩形的对角线相等，且由（1）（2）结论知，矩形的中点四边形是菱形．
【点拨】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、三角形的中位线性
质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
22．（1）平行四边形，理由见分析；（2）平行四边形；理由见分析；（3）菱形、矩
形、正方形．理由见分析．
【分析】
（1）连接BD，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证；
（2）连接AC，DB，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证；
（3）利用（1）的判定方法，再根据三角形的中位线定理和矩形、菱形、正方形的判
定方法来判定，即可求证．
解：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下：
已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，如图1：
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴ ， ，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴ ， ，
∴EH∥GF，EH =FG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下：
已知平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接
AC，DB，如图2：
∵E，F分别是DA，DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF= ，
∵M，N分别是BC，AB的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，MN= AC，
∴EF∥MN，EF=MN，
∴四边形MNEF是平行四边形；（3）如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形，理由如下：
已知矩形ABCD，H，E，F，G分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，
DB，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH= BD，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF= BD，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF= AC，
∵G是CD的中点，H是AD的中点，
∴GH是△ACD的中位线，
∴GH= AC，
又∵AC=BD，
∴EF=GF=EH=GH，四边形EFGH是菱形；
如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形，
理由如下；已知菱形ABCD，E，F，G，H分别是AB，，BC，CD，AD的中点，
连接BD，AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD， ，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF∥BD， ，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥EH，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形；
如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形，理由如下：
已知正方形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，
AC，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，EH= BD，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF∥BD，GF= BD，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥EH，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF= AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是正方形．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定
和性质，正方形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．（1）平行四边形；（2）菱形，见分析；（3）正方形
【分析】
（1）连接BD，根据三角形中位线定理证明EH∥FG，EH=FG，根据平行四边形的判
定定理证明即可；
（2）证明△APC≌△BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据
菱形的判定定理证明结论；（3）证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可证明
∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质证明∠EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即
可．
解：（1）如图1，连接BD，
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH= BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG= BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）结论：四边形EFGH是菱形，
理由：如图2，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD，
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF= AC，FG= BD，
∴EF=FG，
由（1）知中点四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是菱形；
（3）结论：四边形EFGH是正方形，
理由：如图2，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠DOC=90°，
由（2）知中点四边形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．
【点拨】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的
判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加
常用辅助线．
24．（1）见分析（2）当∠ABC＋∠DCB＝90°时，四边形EGFH为正方形（3）
∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°
【分析】
（1）根据三角形中位线的性质得到EG＝ AB，EH＝ CD，HF＝ AB，EG AB，
HF AB，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根据平角的定义得到
∠GFH＝90°，于是得到结论；
（3）由平行线的性质得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根据平角的定义即可得
到结论．
解：（1）∵E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，∴EG＝ AB，EH＝ CD，HF＝ AB，EG AB，HF AB，
∴四边形EGFH是平行四边形，EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形；
（2）当∠ABC＋∠DCB＝90°时，四边形EGFH为正方形，
理由：∵GF CD，HF AB，
∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，
∵∠ABC＋∠DCB＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴菱形EGFH是正方形；
（3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°，
理由：∵GF CD，HF AB，
∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，
∵∠BFG＋∠GFH＋∠HFC＝180°，
∴∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°．
【点拨】本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，正方形的判定，三角形中位线
的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
25．（1）平行四边形；（2）四边形 是菱形，证明见分析；（3）四边形
是正方形．
【分析】
（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理可得：EH∥FG， ，然后利
用平行四边形的判定定理即可证明；
（2）四边形EFGH是菱形．先证明 ，得到 ，再利用三角形中
位线定理可得 ，根据菱形的判定定理即可证明；
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明 ，利用 ，得
，即可证明 ，然后根据正方形的判定定理即可得出结
论．
解：（1）证明：如图1中，连接BD，∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD， ，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD， ，
∴EH∥FG， ，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：如图2中，连接 ， ，
∵ ，
∴
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴∵点 ， ， 分别为边 ， ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形；
（3）四边形EFGH是正方形，
证明：如图2中，设AC与BD交于点O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点
N．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点拨】题目主要考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理及三角形的中位线的性
质，熟练掌握知识点并作出相应辅助线是解题关键．
