文档内容
专题1.13 《勾股定理》中考真题专练（培优篇）（专项练习）
（建议学习二次根式后再进行练习）
一、单选题
1．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，
D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为
（ ）
A． B．2 C．2 D．3
2．（2018·浙江温州·中考真题）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形
为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种
分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，
b=4，则该矩形的面积为（ ）
A．20 B．24 C． D．
3．（2013·黑龙江绥化·中考真题）已知：如图在△ABC，△ADE中，
∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，
BE，以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2015·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D
是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点
D作DC ⊥AC于点C ，以C A，C D为邻边作矩形AADC ，连接AC ，交AD于点O，过
1 1 1 1 1 1 1 1 1
点D作DC ⊥AC 于点C ，交AC于点M，以C A，C D为邻边作矩形AADC ，连接
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2
AC ，交AD于点O，过点D作DC ⊥AC 于点C ，交AC 于点M；以C A，C D为邻边
2 2 1 2 3 2 2 3 1 1 2 3 2 3
作矩形AADC ，连接AC ，交AD于点O，过点D作DC ⊥AC 于点C ，交AC 于点
2 3 3 3 3 2 3 4 3 3 4 2 2
M…若四边形AOC M 的面积为S，四边形AOC M 的面积为S，四边形AOC M 的面
3 1 2 1 1 1 2 3 2 2 2 3 4 3
积为S…四边形A OC M 的面积为S，则S＝__________．（结果用含正整数n的式
3 n﹣1 n n＋1 n n n
子表示）6．（2021·江苏南通·）如图，在 中， ， ，以点A为圆心，
长为半径画弧，交 延长线于点D，过点C作 ，交 于点 ，连接BE，则
的值为___________．
7．（2020·湖北武汉·中考真题）如图，折叠矩形纸片 ，使点 落在 边的点 处，
为折痕， ， ．设 的长为 ，用含有 的式子表示四边形 的面积
是________．
8．（2018·黑龙江伊春·中考真题）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高
AB 为边作等边三角形，得到第一个等边△AB C ；再以等边△AB C 的B C 边上的高AB
1 1 1 1 1 1 1 2
为边作等边三角形，得到第二个等边△AB C ；再以等边△AB C 的B C 边上的高AB 为
2 2 2 2 2 2 3
边作等边三角形，得到第三个等边△AB C ；…，记△B CB 的面积为S，△B C B 的面积
3 3 1 2 1 2 1 3
为S，△B C B 的面积为S，如此下去，则S=_____．
2 3 2 4 3 n9．（2012·湖北中考真题）平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(0，2)，半径为1，点N
在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为
___．
10．（2018·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方
形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角
三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样
的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为 ，
此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为 时，正方
形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．11．（2017·山东东营·中考真题）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二
丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看
作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而
上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_______尺.
12．（2016·贵州贵阳·中考真题）如图，∠BAC=45°，AB=8，要使满足条件的△ABC惟一
确定，那么BC的长度x的取值范围是_________．
三、解答题
13．（2018·江苏泰州·中考真题）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折
叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如
图②）
（1）根据以上操作和发现，求 的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸
片展开．求证：∠HPC=90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只
有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）14．（2016·贵州六盘水·中考真题）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如
图1，则有 ；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想： ，理由如下：
如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中， ，在
Rt△ADB中， ，∴ ．
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴ ，∴当△ABC为锐角三角形时 ．
所以小明的猜想是正确的．
（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时， 与 的大小关系．
（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．
（3）证明你猜想的结论是否正确．
15．（2015·贵州遵义·中考真题）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅
“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八
个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面
积分别为S、S、S ． 若正方形EFGH的边长为2，则S+S +S =________．
1 2 3 1 2 316．（2015·广西贵港·中考真题）已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的
直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+ ，PA= ，则：
①线段PB= ，PC= ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图
②给出证明过程；
（3）若动点P满足 ，求 的值．（提示：请利用备用图进行探求）参考答案
1．A
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来
进行计算即可．
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角
形是解答此题的关键．
2．B
【分析】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据矩形的
面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b的值，
得出x2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可.
解：设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得 ：2
（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,
化简得 ：ax+x2+bx-ab=0，
又∵ a = 3 ， b = 4 ，
∴x2＋7x=12;
∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.
故答案为B.
【点拨】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边
长是解题的关键.
3．C
解：试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即
∠BAD=∠CAE．
∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本结论正确．
②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．∴BD⊥CE．本结论正确．
③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．
∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．
④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．
∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE= AD，即DE2=2AD2．
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．
而BD2≠2AB2，本结论错误．
综上所述，正确的个数为3个．故选C．
4．D
解：试题分析：当EF⊥BC时，BM最短．根据题意可得：B、D、M三点共线，且点M和
点G重合，根据等边三角形的性质可得DM= ，BD=1，则BM=BD+DM= +1．
考点：等边三角形的性质．
5．
【分析】根据四边形ABCD是矩形，可得AC＝ ，运用面积法可得DC1＝ ＝
，进而得出DC ＝ ，得出S＝ ，……，S＝ ＝ × ＝
n 1 n
．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∵DC •AC＝AB•BC，
1
∴DC ＝ ＝ ＝ ，
1
同理，DC ＝ DC ＝（ ）2，
2 1DC ＝（ ）3，
3
……，
DC ＝（ ）n，
n
∵ ＝ ＝2，
∴CC ＝ DC ＝ ，
1 1
∵tan∠CAD＝ ＝ ＝ ，
∴AD＝AC ＝2DC ＝ ，
1 1 1
∴AM＝AC ﹣C M＝2DC ﹣ DC ＝ ×DC ＝ ，
1 1 1 1 1 1 1
同理，AM＝ ×DC ，
1 2 2
AM＝ ×DC ，
2 3 3
……，
A M＝ ×DC ，
n﹣1 n n
∵四边形AADC 是矩形，
1 1
∴OA＝OD＝OA＝OC ＝1，
1 1 1 1 1 1
同理∵DC •AC ＝AD•DC ，
2 1 1 1 1
∴DC ＝ ＝ ＝ ，
2
在Rt△DO C 中，OC ＝ ＝ ＝ ＝ DC ，
1 2 1 2 2
同理，OC ＝ DC ，
2 3 3OC ＝ DC ，
3 4 4
……，
OC ＝ DC ，
n n＋1 n＋1
∴
＝ ×AM×DC ﹣ ×OC ×DC
1 1 1 2 2
＝（ ﹣ ）
＝
＝ ，
同理，
＝ × ＝ ，
S＝ ＝ × ＝ ，
3
……，
S＝ ＝ × ＝ ．
n
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形性质，勾股定理，解直角三角形，三角形面积等，解题关键是通
过计算找出规律．
6． ．
【分析】连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF= ，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到
结论．
解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，
设AC=BC=a，
∵
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
设CE=x，则FE=
在Rt△AFE中，
∴
解得， ， （不符合题意，舍去）
∴
∵
∴∴
∴
在Rt△BGE中，
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，
正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
7．
【分析】首先根据题意可以设DE=EM=x，在三角形AEM中用勾股定理进一步可以用t表
示出x，再可以设CF=y，连接MF，所以BF=2−y，在三角形MFN与三角形MFB中利用共
用斜边，根据勾股定理可求出用t表示出y，进而根据四边形的面积公式可以求出答案.
解：设DE=EM=x，
∴ ，
∴x= ，
设CF=y，连接FM，∴BF=2−y，
又∵FN= y，NM=1，
∴ ，
∴y= ，
∴四边形 的面积为： = ∙1，
故答案为： .
【点拨】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.
8．
解：【分析】由AB 是边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B 为BC的中
1 1
点，求出CB 的长，继而可得△B CB 是有一个角为30度的直角三角形，同理可知
1 1 2
△B C B 、△B C B 、△B C B 、…、都是有一个角为30度的直角三角形，而且后一个的
2 1 3 3 2 4 4 3 5
斜边是前一个30度角所邻的直角边，由此即可求得S.
n
【详解】∵等边三角形ABC的边长为2，AB ⊥BC，
1
∴∠C=60°，CB =BB =1，
1 1
又∵∠B B C=90°，∴∠CB B =30°,
1 2 1 2
∴CB = ，B B = ，∴S= ，
2 1 2 1
同理，Rt△B C B 中，B C =B B = ，∴C B = × = ，B B = ，
2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 3
∴S= ，
2
同理，S=
3
…，∴S= ，
n
故答案为 ．
【点睛】本题考查了规律题，涉及等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的
性质、勾股定理等，有一定难度，熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质、勾股
定理等解本题的关键．
9．（ ，0）或（ ，0）
【解析】
分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析：
①⊙M与⊙N外切，MN=4+1=5， ，
∴圆心N的坐标为（ ，0）．
②⊙M与⊙N内切，MN=4﹣1=3， ，
∴圆心N的坐标为（ ，0）．
综上所述，圆心N的坐标为（ ，0）或（ ，0）
10．9或13或49.
【解析】
分析：共有三种情况：①当DG= ，CG=2 时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=
，可得正方形EFGH的面积为13；
②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为
49；
③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.
详解：①当DG= ，CG=2 时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG= ，可得正方形
EFGH的面积为13．
②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49；
③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.
故答案为9或13或49．
点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思
想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．25.
解：试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后
可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为
=25（尺）．
故答案为25．
考点：平面展开最短路径问题
12． 或x≥8．
解：试题分析：过B点作BD垂直于AC于D点，则三角形ABD是等腰直角三角形；再延
长AD到E点，使DE=AD，①当C点和D点重合时，三角形ABC是等腰直角三角形，
BC= ．这个三角形是唯一的；
②当C点和E点重合时，三角形ABC也是等腰直角三角形，BC=8，这个三角形也是唯一
的；
③当C点在线段AE的延长线上时，即x大于BE，也就是x大于8，这时，三角形ABC也
是唯一的；
综上所述，∠BAC=45°，AB=8，要使△ABC唯一确定，那么BC的长度x满足的条件是：
x= 或x大于或等于8．故答案为 或x≥8．考点：全等三角形的判定；分类讨论．
13．（1） ；（2）①证明见解析；②见解析.
解：分析：（1）依据△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE= BC，由图②，可得
CE=CD，而AD=BC，即可得到CD= AD，即 = ；
（2）①由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，进而
得出AP=BC，再根据PH=CP，∠A=∠B=90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），进而
得到∠CPH=90°；
②由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻
折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由∠BCE=∠PCH=45°，可得
∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，进而得到CP平分∠BCE，故
沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．
详解：（1）由图①，可得∠BCE= ∠BCD=45°，
又∵∠B=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴ ，即CE= BC，
由图②，可得CE=CD，而AD=BC，
∴CD= AD，
∴ = ；（2）①设AD=BC=a，则AB=CD= a，BE=a，
∴AE=（ ﹣1）a，
如图③，连接EH，则∠CEH=∠CDH=90°，
∵∠BEC=45°，∠A=90°，
∴∠AEH=45°=∠AHE，
∴AH=AE=（ ﹣1）a，
设AP=x，则BP= a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，
∴AH2+AP2=BP2+BC2，
即[（ ﹣1）a]2+x2=（ a﹣x）2+a2，
解得x=a，即AP=BC，
又∵PH=CP，∠A=∠B=90°，
∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），
∴∠APH=∠BCP，
又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，
∴∠APH+∠BPC=90°，
∴∠CPH=90°；
②折法：如图，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，
故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，
由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，
又∵∠DCH=∠ECH，
∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，
故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．
点睛：本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形
的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，对应边和对应角相等．解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对
称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列
出方程求出答案．
14．（1） ；（2）作图见解析；（3）正确．
【分析】（1）根据题意可猜测：当△ABC为钝角三角形时， 与 的大小关系为：
；
（2）根据题意可作辅助线：过点A作AD⊥BC于点D；
（3）然后设CD=x，分别在Rt△ADC与Rt△ADB中，表示出AD2，即可证得结论．
解：（1）当△ABC为钝角三角形时， 与 的大小关系为： ；
（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D；
（3）证明：如图3，设CD=x．在Rt△ADC中， ，在Rt△ADB中，，
∴ ．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0，
∴ ，
∴当△ABC为钝角三角形时， ．
考点：三角形综合题；勾股定理．
15．12
解：试题分析：由题意得，正方形AFGH的面积为4，则4个直角三角形的面积和为4-
，则正方形ABCD的面积为4+4- ，所以 =4+4- +4+ =12．
故答案为12．
考点：正方形的面积公式；图形的镶嵌．
16．（1）① ，2；② ；（2）证明见试题解析；（3） 或 ．
【解析】
试题分析：
（1）①由已知条件求出AB的长，再减去PA就可得PB的长；如图1，连接BQ，先证
△APC≌△BQC，可得：BQ=AP= ，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，
即可计算出PQ= ，从而根据△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；
②由①中的证明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；
（2）如图2，连接PB，先证△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得
△PBQ是直角三角形，从而可得：PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2，即（1）中所猜想结论仍然成
立；
（3）如图3，分点P在点A、B之间和在点A、B的同侧两种情况讨论即可；
试题解析：
（1）如图①：
①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+ ，∠ACB=90°，
∴AB= ，
∵PA= ，
∴PB=AB-PA= .
∵△ABC和△PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP= ，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ= ．
∴PC= PQ=2．
故答案为 ，2；
②如图1，猜想PA2+PB2=PQ2，理由如下：由①中证明可知：△APC≌△BQC，
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，
又∵∠CBA=45°，
∴∠CBQ+∠CBA=∠PCQ=90°，
∴BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.
（2）如图②：连接BQ，
∵△ABC和△PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°．
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠CBQ=∠ABQ=90°，
∴∠PBQ=90°，
∴在Rt△PBQ中，BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC可得：
AD=BD=CD= AB；设AB= ，则AD=BD=CD= ，①当点P位于点A、D之间的点P 处时．
1
∵ ，
∴PA= AB= DC= ，
1
∴PD= AD= ，
1
在Rt△CP D中，由勾股定理得：CP= ，
1 1
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= ，
∴ ；
②当点P位于点A和点B的同侧的点P 处时．
2
∵ ，
∴PA= AB=AD= ．
2
∴PD=PA+AD= ，
2 2
在Rt△CP D中，由勾股定理得：PC= ，
2 2
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= ，
∴ ；
综上所述， 的比值为 或 ．点睛：（1）本题第1小题②问和第2小题的解题要点是一致的，就是连接BQ，利用等腰
直角三角形的性质证得△APC≌△BQC，得到PA=QB，∠CBQ=∠CAP=45°，就可把PA、
PB、BQ三条分散的线段集中到Rt△PBQ中，由勾股定理就可得到三条线段间的数量关系；
（2）讨论本题第3小题时，需注意点P的位置存在两种情形，讨论时不要忽略了其中任何
一种.
