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专题 2.3 函数的奇偶性与周期性
思维导图
知识点总结
知识点一 函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数
f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数
f(x)就叫做奇函数．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
知识点四 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]
上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点五 奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单
调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相
反的单调性．
典型例题分析
考向一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
反思感悟 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
考向二 利用函数的奇偶性求解析式
例2 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析
式．反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此
时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，
即可得所求区间上的解析式．
考向三 构造方程组求函数的解析式
例3 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
反思感悟 f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，
从中解出f(x)和g(x)．考向四 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例4 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－
3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)<f(－3)<f(－2)
D．f(π)<f(－2)<f(－3)
反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然
后利用单调性比较大小．
基础题型训练
一、单选题
1．已知函数 是定义在R上的偶函数， 时， ，那么 的值是多少
（ ）.
A． B． C． D．
2．已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2．3．已知函数 与函数 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
，则
A．1 B．2 C．0 D．-1
4．已知非空集合A，B满足： ， ，函数 ，对于下
列两个命题：①存在唯一的非空集合对 ，使得 为偶函数；②存在无穷多非空集
合对 ，使得方程 无解.下面判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①､②都正确 D．①､②都错误
5．已知定义在 上的函数 是偶函数，且在 上单调递增，则满足
的 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数 同时满足:
①对于定义域上的任意 ,恒有 ；
②对于定义域上的任意 ,当 时,恒有 ；
则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1） （2） （3）
，其中能被称为“理想函数”的有（ ）个.A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．已知 ，设函数 ， ， ，若 的最大值为 ，最
小值为 ，那么 和 的值可能为（ ）
A．4与1 B．5与2 C．5与3 D．6与4
8．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．当 时，
C． 是 图象的一条对称轴
D． 在 上单调递增
三、填空题
9．函数 为偶函数，当 时， ，则 时， ________．
10．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
______．
11．已知定义在 的偶函数 在 是增函数，且 ，则不等式
的解集是______．
12．已知 是R上的偶函数，且 ，当 时，，则 __________.
四、解答题
13．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；
14．已知偶函数 定义域为 ，当 时， .
（1）求函数 的表达式；
（2）用函数单调性的定义证明：函数 在区间 单调递减，并解不等式
.
15．已知函数 是定义在 上的奇函数.
(1)求函数 的解析式；
(2)判断函数 的单调性并证明；
(3)解不等式 .
16．已知函数 为奇函数，且
(1)求a，b的值；
(2)判断函数 在区间 上的单调性，并用定义加以证明；
(3)求 在区间 上的值域.提升题型训练
一、单选题
1．已知一个奇函数的定义域为 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．1
2．已知偶函数 在区间 上单调递减，那么下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是
A． B．
C． D．
4．已知函数 ，若 ，则实数 ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．3
5．已知定义在 上的函数 满足 ．若函数 与 的图像
的交点为 ， ，…， ，则 （ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．狄利克雷函数为F(x) .有下列四个命题：①此函数为偶函数，
且有无数条对称轴；②此函数的值域是 ；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点 ，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命题
正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
二、多选题
7．某数学兴趣小组对函数 进行研究，得出如下结论，其中正确的结论是
（ ）
A． 是偶函数 B． 的值域为
C． 有且只有1个零点 D．
8．已知函数 ， ，若存在实数m，使得对于任意的 ，都有 ，则
称函数 ， 有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意
的 ，都有 ，则称函数 ， 有上界，M为其一个上界.若函数
， 既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.下列说法正确的是（ ）
A．若函数 在定义域上有下界，则函数 有最小值
B．若定义在 上的奇函数 有上界，则该函数一定有下界
C．若函数 为有界函数，则函数 是有界函数
D．若函数 的定义域为闭区间 ，则该函数是有界函数
三、填空题9．函数 为偶函数，则实数a的值______.
10．已知 是定义域为 的奇函数，且函数 为偶函数，当 时，
，则 ______．
11．已知函数 ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数m的取值范围是______.
12．定义函数 如下:对于实数 ,如果存在整数 ,使得 ,则 .则下列结论:
① 是实数 上的递增函数;② 是周期为1的函数;③ 是奇函数;④函数 的
图像与直线 有且仅有一个交点.则正确结论的序号是______.
四、解答题
13．判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
14．已知函数 ，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；（3）求不等式 的解集.
15．设设函数 .
(1)若 ，判断函数 在区间 上的单调性，并用定义法证明；
(2)若函数 为奇函数， ，且 对 恒成立，求 的取
值范围.
16． 是定义在 上的函数，对一切 都有 且
（1）求 ；
（2）判断函数 的奇偶性
