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专题 19 数列大题训练
题型一、等差、等比数列的应用
1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知 是各项均为正数的等比数列，
.
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)本题首先可以根据数列 是等比数列将 转化为 ， 转化为 ，再然后将其带入
中，并根据数列 是各项均为正数以及 即可通过运算得出结果；
(2)本题可以通过数列 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列 的通项公式，再通过数列 的
通项公式得知数列 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．
【详解】(1)因为数列 是各项均为正数的等比数列， ， ，
所以令数列 的公比为 ， ， ，
所以 ，解得 (舍去)或 ，
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列， ．
(2)因为 ，所以 ， ， ，
所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列， ．
【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求
和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．
2．已知等差数列 中， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列的 前n项和 .
【答案】(1) ；(2) .
n
【分析】（1）利用等差数列通项公式的基本量运算即得；
（2）利用求和公式即得.
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，因为 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1所以 ，解得 ，
所以 ；
（2） .
n
3．记数列 的前 项和为 ， ， ， .
(1)证明数列 为等差数列，并求通项公式 ；
(2)记 ，求 .
【答案】(1)证明见解析， ；(2)
【分析】（1）由 可得出 ，结合等差数列的定义可证明结论成立，确定数列 的首项和公
差，即可求得数列 的通项公式；
（2）求得 ，利用等差数列的求和公式可求得 的值.
【详解】（1）证明： ， ， ，则 ，即 ，解得 ，
所以， ，即 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，故 .
（2）解： ，
所以， .
4．（2023年云南省模拟考试数学试题）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)试求出所有的正整数 ，使得对任意正整数 ，均有 ．
【答案】(1) ；(2) 或10或11．
【分析】（1）利用基本量法可求首项与公差，故可求通项.
（2）求出 及其最小值，故可得关于 的不等式，据此可求所有的正整数 .
【详解】（1）设 的公差为 ，则 ，解得 ，
d
故 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2（2）由（1）可知， ．
当 时， 取得最小值-100．
由 恒成立，得 ，解得 ．
因为 ，所以 或10或11．
5．记等差数列 的前n项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；
(2)根据等比数列求和公式即可求解．
【详解】（1）由题可知 ，解得 ， ，
∴ ；
（2）∵ ，∴ ，
∴ 是首项为3，公比为9的等比数列，
∴ ﹒
6．（2023年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列 前 项和为 ，______， ．请从
条件① ， ；条件② ，且 ， ， 成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的
横线上，并完成下面的两个问题．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）若选①，根据等差数列性质可得 ，再计算等差数列基本量即可；
（2）代入可得 ，再根据等比数列求和证明即可.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3【详解】（1）若选①，由 ，得 ，
又因为 ，所以 ，则 ，解得 ；
故 ．
若选②，设等差数列 的公差为 ，∵ ，且 ， ， 成等比数列，
∴ ，即 ，解得： 或 （舍），
∴ ， ．
（2） ，所以 ．
∴ ，即得证.
7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设{a
n
}是等差数列，其前n项和为
S
n
(n∈N¿ )；{b
n
}是等比数列，公比大于0，其前n项和为 T
n
(n∈N¿ )．已知b
1
=1， b
3
=b
2
+2 ，
b =a +a
，
b =a +2a
．
4 3 5 5 4 6
S T
8．（Ⅰ）求 和 ；
n n
9．（Ⅱ）若
S
n
+（T
1
+T
2
+…+T
n
）=a
n
+4b
n
，求正整数n的值．
【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ)4.
【分析】（I）由题意得到关于 的方程，解方程可得 ，则 .结合题意可得等差数列
q
的首项和公差为 ，则其前 项和 .
n
（II）由（I），知 据此可得 解得 （舍），或 .则n的
值为4.
【详解】（I）设等比数列 的公比为q，由
b
1
=1
，
b
3
=b
2
+2
，可得 ．
因为 ，可得 ，故 ．所以， ．
设等差数列 的公差为d．由 ，可得 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4由 ，可得 从而 ，故 ，所以， ．
2×(1−2n
)
（II）由（I），有T +T +…+T =21 +22 +…+2n )−n= −n=2n+1 −n−2.
1 2 n 1−2
由
S +（T +T +…+T ）=a +4b
,
n 1 2 n n n
n(n+1)
可得
+2n+1 −n−2=n+2n+1
，
2
整理得 解得 （舍），或 ．所以n的值为4．
点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方
法和运算求解能力.
8．已知数列 的前n项和为 ，满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前100项的和 .
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】（1）利用 ，整理可得数列 是等比数列，求其通项公式即可；
b ,b ,b ,b
（2）求出 ，然后分组求和.
4k 4k−1 4k−2 4k−3
【详解】（1）当 时， ，
整理得 ，
又 ，得
则数列 是以-2为首项，-2为公比的等比数列.
则 ，
（2）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5当 时， ，
则
.
题型二、分组求和法
1．（2023届新高考Ⅰ卷调研模拟考试数学试题）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证：数列 为等比数列：
(2)若 ，求满足条件的最大整数 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)50
【分析】（1）两边取倒数，再同时减2，根据等比数列的定义，即可证明.
(2)利用等比数列求和公式求和，再根据函数单调性，即可求解.
【详解】（1）证明：由 ，可得 ，
又
故数列 为等比数列.
（2）由（1）可知 ，故 .
令 ，易知 随 的增大而增大， ，故满足 的最大整
数为50.
2．（2023届河北省一模数学试题）设数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系，即可求得数列 的通项公式；
（2）根据题意，由分组求和法结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得到结果.
【详解】（1）当 时， ，解得 ．
当 时， ，则 ，即 ，
从而 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ，
且当 时，也满足，
所以故 ．
（2）由（1）可得 ，则 ，
故
．
3．已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时，求数列 的前n项和为 ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）当 时可得 ，令 ，则 ，即可得到数列 是首项为 ，公比
为 的等比数列，从而求出 ，即可求出数列 的通项公式；
（2）利用分组求和法及等差数列前 项和公式求和即可；
【详解】（1）解：当 时， ，则 ，令 ，则 ，
又因为 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7所以 ，即 ，从而 ；
（2）解：因为 ，
所以
．
4．（2023届安徽省联盟二模数学试题）已知首项为3的数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据 ，得出 与 的关系，进一步变形得出等比数列；
（2）利用分组求和法及等比数列求和公式求得结果.
【详解】（1）由题意得， ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）知， ，即 ．
数列 的前 项和为 ，
n
数列 的前 项和为 ，
n
故 ．
5．已知数列 的前 项和为 ，且对任意的 有 .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8【分析】（1）令 可求得 的值，令 ，由 可得 ，两式作差可得出
，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）求得 ，利用分组求和法可求得 .
【详解】（1）证明：当 时， ，则 ；.
当 时，由 可得 .
两式相减得 ，即 ， .
因为 ，则 ， ，以此类推可知，对任意的 ， ，
所以，数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）解：由（1） ，故 ，则 .
所以，
.
6．已知等比数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求出结果即可．
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
由已知，得 ，解得 ，
；
（2）由（1）得 ，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9.
题型三、错位相减法
1．（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）记数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意 ， ，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由数列 与 的关系可得 ，再结合等比数列的通项可得解；
（2）利用错位相减法求出 ，结合范围即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，故 ，
且 不满足上式，
故数列 的通项公式为
（2）设 ，则 ，
当 时， ，
故 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10于是 ．
整理可得 ，所以 ，
又 ，所以符合题设条件的 的最小值为7．
m
2．（2023年安徽省模拟数学试题）已知数列 满足
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 ，求 的前 项和
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据题干条件构造出 ，结合等比数列定义证明结论；
（2）先求出 的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）知， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴
令
两式相减 ，
所以
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11又 ，
∴ .
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知 为等差数列，前n项和为
， 是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
【答案】（Ⅰ） . .（Ⅱ） .
【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程求出等差数列首项 和公差
及等比数列的公比 ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算
要准确.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .由已知 ，得
，而 ，所以 .又因为 ，解得 .所以， .
由 ，可得 .由 ，可得 ，联立①②，解得 ，由此可
得 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
（Ⅱ）解：设数列 的前 项和为 ，由 ，有
，
，
上述两式相减，得
.
得 .
所以，数列 的前 项和为 .
【考点】等差数列、等比数列、数列求和
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进
而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错
位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 124．（2023年渝琼辽（新高考2卷）名校仿真模拟联考数学试题）已知数列 的前n项和为 ，
，且 ． ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据对数运算得 ，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列 为等
差数列，建立方程求出公差，从而可得 的通项；
（2）利用错位相减法计算即可.
【详解】（1）∵ ，∴ ，则 ，所以 为等比数列，
又 ，得 ，所以 ，
由 知 是等差数列，且 ， ，
∴ ，得 ， ．∴ .
（2）因为 ， ，所以 ，
所以
则
上面两式作差得
，
∴
5．已知数列{a }为等差数列， ， ，数列{b }的前n项和为 ，且满足 ．
n n
(1)求 {a } 和 {b } 的通项公式；
n n
(2)若 ，数列{c }的前n项和为 ，且 对 恒成立，求实数m的取值范围．
n
【答案】(1) ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13(2)
【分析】（1）求解等差数列{a }通项公式，只需设参数 ，d列方程组即可求解，数列{b }通过已知前
n n
n项和 求解通项公式 ；
（2）需要先用错位相减法求得数列{c
n
}的前n项和为 ，代入不等式中对n分类讨论，转化为最值问题，
求出m范围即可．
【详解】（1）解：等差数列 {a } 中，设公差为d，
n
则
数列{ }中的前n项和为 ，且 ①
当 时， ，当 时， ②
②－①得：
故数列{ }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 .
（2）解：数列{c }中， .
n
则
所以
故
，所以
∵ 对 恒成立．
当 为奇数时， ，
n
当 为偶数时，
n
综上：实数m的取值范围为 ．
6．（2023届广西摸底测试数学（理）试题）设数列 的前 项和为 ，且满足
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14【答案】(1) ；(2)
【分析】(1) 型的数列，利用公式 来解决.
(2) ，等差数列与等比数列的积数列的求和，用错位相减法．
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，解得
当 ， 时， ，所以 ，得
即 ，可知数列 是首项为1，公比为5的等比数列，所以
（2）由（1）可知 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，
两式相减，可得 . ，
化简得
题型四、裂项相消法
1．已知数列 的前 项和为 ，且有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)递推一项作差即可求解；
(2)根据题意求出 ，利用裂项相消求和即可证明.
【详解】（1）由题 ，
当 时， ，∴ ；
当 时，由 ，
所以 ，两式相减，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15可得 ，∴ ．
当 时， 满足，∴ ．
（2）由题 ，
所以 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
2．设数列 的前n项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系即可求出数列的通项公式
（2） ，利用裂项相消法即可求出数列的和.
【详解】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ， ，
即 ，即 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 .
（2）由（1）知 ，
，
所以
.
3．（2023届山西省联考数学试题）已知等差数列 满足 ， ，公比不为 的等比数列
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16满足 ， .
(1)求 与 通项公式；
(2)设 ，求 的前n项和 .
【答案】(1) ， ，
(2) ，
【分析】（1）由等差数列、等比数列的定义计算基本量即可求通项公式；
（2）根据等比数列的求和公式及裂项相消求和即可.
【详解】（1）设 的公差为d，因为 ， ，
所以 ，解得 ，从而 ，
所以 ；
设 的公比为q，因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）由上可知： ，所以 ，
所以 ，
所以 ， .
4．（2023届广东省二模数学试题）已知数列 满足 ， .
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和 ，求证： .
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17【分析】（1）根据递推公式证明 为定制，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即
可得解；
（2）由 ，得 ，则 ，则
，再利用裂项相消法求出数列 的前 项和 ，即可得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 .
5．已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ，
(1)求
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18(2)求
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先令 求出首项，再由数列的递推公式，当 时， 代入并结合
等差数列的定义和通项公式求出 .
(2)由第一问 的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果
【详解】（1）根据题意可得 ，当 时， ，解得 ，
由 ， 代入得 ，整理后得
，即 ，根据等差数列的定义可知，数列
是首项为1，公差为1的等差数列，则 ，
（2）由(1)可知 ，
，
.
S {a }
6．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）） 为数列 的前 项和.已知 ＞
n n
0， = .
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
1
b =
（Ⅱ）设 n a a ,求数列 {b } 的前 项和.
n n+1 n
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a }的通项公式：
n
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 191
b =
（Ⅱ）求出 ，利用裂项法即可求数列 的前 项和．
n a a {b }
n n+1 n
【详解】解：（I）由a2 +2a =4S +3，可知a2 +2a =4S +3两式相减得
n n n n+1 n+1 n+1
a
2
−a2
n
+2(a
n+1
−a
n
)=4a
n+1，
n+1
即2(a −a )=a2 −a2 =(a +a )(a −a )，
n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n
∵
a >0
，∴
a −a =2
，
n n+1 n
∵a2 +2a =4a +3，
1 1 1
∴
a =−1
（舍）或
a =3
，
1 1
则 {a
n
} 是首项为3，公差d=2的等差数列，
∴{a }的通项公式 a =3+2(n−1)=2 ：
n n n+1
（Ⅱ）∵
a =2
，
n n+1
1 1 1 1 1
∴ b = = = ( − )，
n a a (2n+1)(2n+3) 2 2n+1 2n+3
n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴数列 的前 项和 T = ( − + − +…+ − )= ( − )= − .
{b
n
} n 2 3 5 5 7 2n+1 2n+3 2 3 2n+3 6 4n+6
【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设 是等比数列，公比大于0，其前
项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， .
（I）求 和 的通项公式；
（II）设数列 的前 项和为 ，
（i）求 ；
（ii）证明 .
【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ)（i） .（ii）证明见解析.
【详解】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得 ，则 .结合等差数列通项公式可
得
（II）（i）由（I），有 ，则 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20（ii）因为 ，裂项求和可得 .
详解：（I）设等比数列 的公比为q.由
可得 .因为 ，可得 ，
故 .
设等差数列 的公差为d，
由 ，可得
由 ，可得
从而 故
所以数列 的通项公式为 ，
数列 的通项公式为
（II）（i）由（I），有 ，
故 .
（ii）因为 ，
所以 .
点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
题型五、并项求和法
1．（2020年天津市高考数学试题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
【答案】（Ⅰ） ， ；
（Ⅱ）证明见解析；
（Ⅲ） .
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算
和 的值，据此进一步计算数列 的前 项和即可.
2n
【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当 为奇数时， ，
n
当 为偶数时， ，
n
对任意的正整数 ，有 ，
n
和 ①
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前 项和为 .
2n
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等
题.
2．（2019年天津市高考数学试卷（理科））设 是等差数列， 是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）（i） （ii）
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等
价变形，结合等比数列前 项和公式可得 的值.
n
【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23依题意得 ，解得 ，
故 ， .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
(Ⅱ)(i) .
所以，数列 的通项公式为 .
(ii)
.
【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想
和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
3．（2023年河南省模拟数学（文科）试题）已知数列 满足 ，数列 为等比数列且公比
，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，若 ，记数列 满足 求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ;
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的关系可得 公比，再进而可得 为等差数列即可；
（2）由 得， ，再根据分组求和方法求解即可.
【详解】（1）因为 ，
令 得 ，又数列 为等比数列，设公比为 有 ，而 ，解得 ，则 ，
因此 ，即数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24（2）由①知数列 是公比为2的等比数列，
由 得， ，
解得 ，则 ，
因此 ，
即有数列 的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶
数项是以4为首项4为公比的等比数列，所以
4．（2023届河南三模理数试题）在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的k的值．
【答案】(1) ；
(2)40或37．
【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.
（2）由（1）的结论求出 ，再分奇偶求和作答.
【详解】（1）设 的公比为q，由 ，得 ，
解得 ，
由 ， ， 成等差数列，
得 ，
即 ，解得 ，
所以数列 的通项公式是 ．
（2）由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，令 ，得 ；
k
当 为奇数时， ，令 ，得 ，
k
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25所以 或37.
5．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前20项和.
【答案】(1) ;
(2)5
【分析】（1）根据题意，由条件可得 ，然后与原式作差，即可得到结
果；
（2）根据题意，由分组求和即可得到结果.
【详解】（1）当 时，可得 ，
当 时， ，
，
上述两式作差可得 ，
因为 满足 ，
所以 的通项公式为 .
（2）因为 ，
所以 ，
.
10
+ =5
22
所以数列 的前20项和为5.
6．（2023年山东省模拟数学试题）已知数列 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，数列
的前n项和为 ，且 ， ， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前12项和 ．
【答案】(1) ，
(2)2796
【分析】（1）由数列 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出
方程组求解即可；
（2）根据题意写出数列 通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.
【详解】（1）设数列 的公差为d，数列 的公比为 ，
由题意可得， ，
即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ．
（2）由（1）可得 ，
所以 的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；
所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．
所以，
．
题型六、倒序相加法
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 271．（2023届广东省模拟数学试题）已知函数 满足 ，若数列 满足：
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， （ ），数列 的前n项和为 ，若 对一切 恒
成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】（1）由 ，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得 的通项公式，由数列的裂项相消求和可得 ，再由参数分离和配方法求得最值，即
可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为 ,
由 ①,
则 ②,
所以 可得： ，
故 ， .
（2）由（1）知， ，
则 时， ，
所以
.
又由 对一切 恒成立,
可得 恒成立,
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28即有 对一切 恒成立.
当 时, 取得最大值 ，所以 ；
故实数 的取值范围是 .
2．已知 为等比数列，且 ，若 ，求 的值．
【答案】2021
【分析】利用函数解析式和等比数列的性质求得
，继而求出答案
【详解】因为 为等比数列， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
同理可得 ，
所以
3．已知函数 对任意的 ，都有 ，数列 满足 …
.求数列 的通项公式.
【答案】
【分析】由题得 ，所以 … .①
(n−1) (n−2) (1)
a =f (1)+f +f +…+f +f (0).②，两式相加即得解.
n n n n
【详解】因为 ，
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29故 … .①
(n−1) (n−2) (1)
a =f (1)+f +f +…+f +f (0).②
n n n n
①+②，得 ， .
所以数列 的通项公式为 .
4．设函数 ，设 ， ．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接计算 可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当 时，
利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1） ；
（2）由题知，当 时， ，
又 ，两式相加得
，
所以 ，
又 不符合 ，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 305．已知函数 ， ，正项等比数列 满足 ，则
值是多少？.
【答案】
【分析】先证明 ，由等比数列的性质可得 ，即
，继而可得
，倒序相加法即可得解.
【详解】因为 ，
所以 .
因为数列 是等比数列，所以 ，
即 .
设 ①，
又 ＋…＋ ②，
①+②，得 ，所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31题型七、数列中的结构不良问题
1．（2023年安徽省教学质量抽测数学试题）已知数列 是首项为2的等差数列，数列 是公比为2的
等比数列，且数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设__________，求数列 的前 项和为 ．
① ，② ，③ ．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．
【答案】(1) ，
(2)选择见解析，答案见解析
【分析】（1）根据条件求出 ， ，再根据数列 为等差数列，数列 为等比数列，即可求出
结果；
（2）选择条件①，利用错位相减法即可求出结果，选择条件②，利用裂项相消法即可求出结果，选择条
件③，利用分组求和法即可求出结果.
【详解】（1）设数列 的公差为 ，数列 的首项为 ，
由题知， ，
因为 ，解得 ，
所以 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以 ．
所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ．
（2）选条件①： ，
则 ，
故 ，两式相减得
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32．
选条件②： ，
，
．
选条件③： ，
，
．
2．（2023年江西省模拟考试数学试题）从① ；②前 项和 满足
， ；③ 中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列
中， ，且_____.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，证明： .
(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）选①，利用等式变形得 ，可得 ；选②，利用 可得 ，可
得 ；选③先变形为 后用累加法可得 ；
（2） ，利用裂项相消法可得.
【详解】（1）若选①：当 时，由 得 ，
整理得 ，
因 ，故 ，
故 是以 为首项以 为公差的等差数列，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33所以 ；
若选②：当 时，由 得 ，
两式相减得 ，
整理得 ，
因 ，故 ，
故 是以 为首项以 为公差的等差数列，
所以 ；
若选③：由 得 ，
得 ，
故当 时，
，
所以 ；
又 ，满足 ，
故 .
（2） ，
故
，
因 ，当 越大时， 越大，故 .
3．（2023年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列 前 项和为 ，______， ．请从
条件① ， ；条件② ，且 ， ， 成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的
横线上，并完成下面的两个问题．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）若选①，根据等差数列性质可得 ，再计算等差数列基本量即可；
（2）代入可得 ，再根据等比数列求和证明即可.
【详解】（1）若选①，由 ，得 ，
又因为 ，所以 ，
则 ，解得 ；
故 ．
若选②，设等差数列 的公差为 ，∵ ，且 ， ， 成等比数列，
∴ ，即 ，解得： 或 （舍），
∴ ， ．
（2） ，所以 ．
∴ ，即得证.
4．（2023年安徽省调研测试数学试题）已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35【分析】（1）利用 即可求出通项公式；
（2）求出 ，利用错位相减法求和.
【详解】（1）当 时， ，
当 时，因为 ①，所以 ②，
①－②得 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以，当 时， 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以 .
所以 .
（2）因为 ，所以，当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
则数列 的前 项和为 ，
当 时，
当 时， ，
，
①－②得 ，
，
，
所以 .
当 时， 也满足.
故数列 的前 项和 .
5．（2023届海南模拟数学试题）已知数列 的各项均为正数且均不相等，记 为 的前 项和，从
下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36①数列 是等比数列；② ；③ 是等比数列．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明见解析
【分析】选择①②为条件，③为结论，可推出 ，即可求得 ，继而得
的表达式，即可证明结论；
选择①③为条件，②为结论，即得 ，再利用条件求得q的值，化简即可证明结论；
选择②③为条件，①为结论，设等比数列 的公比为 ，即得 ，从
而推出 ，可得 ，结合 ，求得 ，化简
即可证明结论.
【详解】选择①②为条件，③为结论．
证明过程如下：
设等比数列 的公比为 且 ，
则 ，
由 得 ，所以 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 是以 为首项，2为公比的等比数列．
选择①③为条件，②为结论．
证明过程如下：
设等比数列 的公比为 且 ，
则 ，
所以 ，（*）
因为 是等比数列，
所以 ，
即 ．
所以 ．
因为 ，所以化简整理得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37即 ，因为 ，所以 ，
代入（*）式，得 ，即 ．
选择②③为条件，①为结论．
证明过程如下：
设等比数列 的公比为 且 ，
则 ，
当 时， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
得 ，
因为当 时，上式恒成立，
所以 是首项为 ，公比为2的等比数列．
6．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从
下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出 ，结合 的关系求出 ，利用 是等差数列可证
；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证
明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出 ，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出 ，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，然后可证
是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+ 与 关系式
设 ，则 ，
当 时， ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ， ，故 .
[方法二] ：待定系数法
设等差数列 的公差为d，等差数列 的公差为 ，
则 ，将 代入 ，
化简得 对于 恒成立．
则有 ，解得 ．所以 ．
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为 ，所以 ， ，因为 也为等差数列，所以公差
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39，所以 ，故 ，当 时，
，当 时，满足上式，故 的通项公式为 ，所
以 ， ，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，
选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于 的一次函数，直接设出 ，平方后得
到 的关系式，利用 得到 的通项公式，进而得到 ，是选择①②证明③的通
式通法；法二：分别设出 与 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等
量关系 ， ，进而得到 ；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出 及 ，进
而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于 的一次函数，直接设出
，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，然后可证 是等差数列；法二：利
用 是等差数列即前两项的差 求出公差，然后求出 的通项公式，利用
，求出 的通项公式，进而证明出结论.
7．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列
是等差数列，证明： 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】先根据 求出数列 的公差d，进一步写出 的通项，从而求出 的通项公式，
最终得证.
【详解】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40【点睛】在利用 求通项公式时一定要讨论 的特殊情况.
题型八、强化训练第一问
1．（2023届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题）已知数列 满足
.
求 的通项公式；
【答案】 ；
【分析】根据所给递推关系，得出 ，两式相减即可求解；
【详解】由题，当 时， ，即 .
①
当 时， ②
①-②得 ，
所以 .
当 时， 也适合 ，
综上， .
2．已知数列 的首项 ，且满足 ．
证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
【答案】
【分析】对已知等式两边取倒数，再利用等比数列的定义证明，进而求得通项公式；
【详解】由 ，两边取倒数得 ，
即 ，即
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41故数列 是首项为 ，公比为3的等比数列，
所以 ， ，即
所以数列 的通项公式为 .
3．（2023届云南省教学质量检测数学试题）已知数列 的前 项和为 ， ，且满足
设 ，证明： 是等比数列
【答案】证明见解析
【分析】由题设可得 ，整理变形得 ，结合等比数列定义即可证结论；
【详解】由题设， ，则 ，
所以 ，即 ，而 ，
故 是首项与公比都为 的等比数列.
4．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知 是递增的等差数列， ，
是方程x2 −5x+6=0的根.
求 的通项公式；
【答案】 ;.
【分析】方程x2 −5x+6=0的两根为 ，由题意得 ，在利用等差数列的通项公式即可得出；
【详解】方程x2 −5x+6=0的两根为2，3.
由题意得
a =2
，
a =3
.
2 4
1 3
设数列 的公差为 ，则 ，故 d= ，从而得 a = .
{a } d a −a =2d 2 1 2
n 4 2
1
所以 的通项公式为 a = n+1 .
{a } n 2
n
5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷））数列 满足 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42， .
证明：数列 是等差数列；
【答案】证明见解析；
【详解】试题分析：将 的两边同除以 ，得到 ，由等差数列的
定义，即可作出证明；
a a a a
证明：由已知可得 n+1 = n +1，即 n+1 − n =1.
n+1 n n+1 n
{a } a
所以 n 是以 1 =1为首项，1为公差的等差数列．
n 1
6．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知数列 和 满足，
求 与 ；
【答案】 ；
【详解】根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列
的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.
试题解析：由 ，得 .
当 时， ，故 .
当 时， ，整理得 ，
所以 .
7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知等比数列 {a } 的公比q>1，且
n
a +a +a =28 ，a +2是 a ， a 的等差中项．
3 4 5 4 3 5
求q的值；
【答案】 ；
【分析】分析:根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；
【详解】详解：由 是 的等差中项得 ，
所以 ，解得 .
由 得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43因为
q>1
，所以 .
8．设数列 满足 .
求 的通项公式；
【答案】 ；
【解析】利用递推公式,作差后即可求得 的通项公式.
【详解】数列 满足
时,
∴ ，∴
当 时, ,上式也成立
∴
9．等比数列 的各项均为正数，且 .
求数列 的通项公式；
【答案】 ；
【分析】根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
{a }
【详解】设数列
n
的公比为q,
由a2 =9a a 得a2 =9a2 ,
3 2 6 3 4
1 1
所以 q = .由条件可知 ,故 q= .
2 9 q>0 3
1
由 得 ,所以 a = .
2a +3a =1 2a +3a q=1 1 3
1 2 1 1
1
故数列 的通项公式为 a = .
{a } n 3n
n
10．（2021年天津高考数学试题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0
的等比数列， ．
求 和 的通项公式；
【答案】（I） ， ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44【分析】由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 的通项公式；
【详解】因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
11．（2023年上海市模拟数学试题）在数列 中， ， ．
证明数列 是等比数列；
【答案】见解析
【分析】由题意构造数列 ，再利用等比数列的定义即可证明；
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以数列 是以 为首项，
为公比的等比数列.
12．（2023年陕西省模拟（理科）数学试题）已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，且
.
求数列 的通项公式；
【答案】
【分析】由题意可得出 ，解方程求出 ，再由等比数列的通项公式即可求出数列 的通
项公式；
【详解】由已知可得: ，
所以 ，两式相除可得： ，
即 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45解得 或 （舍）， .
13．（2023年江苏省模拟数学试题）已知等差数列 的前n项和为 ，数列 为等比数列，满足
是 与 的等差中项.
求数列 的通项公式；
【答案】 ， ；
【分析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，利用 ， 求出 值即
d
可得到 的通项公式；再由题意得 ，结合 可求出 值，进一步可得 的通项公式；
【详解】设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
由题意知： ，因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ；
14．设数列 的首项 n=1，2，3，
⋯
判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论；
【答案】是，证明见解析
【分析】根据题设条件，可得 ，由等比数列的定义可得结论；
1
【详解】数列 出是以a+ 为首项， 为公比的等比数列，证明如下：
3
∵
又
∴数列{ }是 为首项， 为公比的等比数列.
15．（2023年广东省模拟数学试题）已知数列 满足 ， .
记 ，证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46【答案】证明见详解，
【分析】根据题意结合等比数列的定义分析证明，进而求通项公式；
【详解】由题意可知： ，
且 ，
所以数列 是以首项 ，公比 的等比数列，可得 .
16．数列 满足： ， ．
求数列 的通项公式；
【答案】 ，
【分析】根据递推关系得 ，再验证 满足条件即可求得答案；
【详解】解：当 ， ，①
， ，②
①－②得 （*）
在①中令 ，得 ，也满足（*），所以 ， .
17．（2023年全国名校大联考数学试题）在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有
.
证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
【答案】证明见解析， ；
【分析】由 ，可得 ，即 是等比数列，可求得
，变形为 ，即可得到 是等差数列，可求得 ，从而求得 ；
【详解】证明：因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，则有 ，
所以 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47又 ，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
18．（2023届福建省模拟考试数学试题）已知数列 的前 项的积记为 ，且满足
证明：数列 为等差数列;
【答案】证明见解析
【分析】将 代入到 中，得 ，结合等差数列的定义可证结论正确；
【详解】当 时， ，得 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
19．设数列 满足
求数列 的通项公式.
【答案】 =
【分析】由 ，求出 时的通项公式，再检验 是否满足所求通项公式即可;
【详解】因为 ，
所以当 时， ，
则
即
又当 时， 则 ，满足
故
20．（2024届重庆市适应性月考数学试题）已知数列 满足 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48记 ，求证： 为等比数列；
【答案】证明见解析
【分析】由 可知 结合 可得
进而可证 为等比数列；
【详解】证明： 且
，
又
，
为以4为首项，2为公比的等比数列.
21．（2023年安徽省阶段性测试数学试题）已知数列 的前 项和 ．
)求 ；
【答案】
【分析】利用 与 的关系求解；
【详解】当 时， ，
当 时， ， ，
作差得 ，
故
22．（2023年江西省模拟数学试题）在数列 中， ， ，且 .设
为满足 的 的个数.
求 ， 的值；
取值范围.
【答案】 ，
【分析】由递推式判断 是等差数列，利用等差通项公式求基本量，进而得到 ，结合已知可得
，即可写出对应项；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 49【详解】因为 ，所以 ，则 是等差数列，
设数列 的公差为 ，由 ，则 ，解得 ，则 ，
因为 是满足 的 的个数，所以 ，
则 ， .
23．（2023年浙江省名校联盟联考数学试题） ， ，递增数列 前 项和为 ．
(1)证明： 为等比数列并求 ；
(2)记 ， 为使 成立的最小正整数，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
【分析】由题意可得 为递增数列： ，（ ），根据等比数列定义即可证明结论，
并求得 ；
【详解】证明：由于 ， ，
当 时， ；
当 时， 依次取值为 ，（ ）时，总存在 使得 成
立，
证明该结论，只需证明 能被3整除，
由于
，
即 能被3整除，即上述结论成立，
当 时, ，
由于 能被3整除，
则 不是3的倍数，
即 时，不适合题意；
综合上述， 为递增数列： ，（ ），
故 ，即 是以 为首项，公比为4的等比数列，
则 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5024．（2023年福建省模拟考试数学试题）数列 满足 ， ，λ为常数
是否存在实数λ，使得数列 成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说
明理由；
【答案】存在， ，
【分析】假设存在实数λ，使得数列 成为等比数列，根据 可求出 可得答案；
【详解】假设存在实数λ，使得数列 成为等比数列，
则有 ， ，
，
因为 ，所以数列 成为等比数列，存在 ， ；
25．（2023年广东省联考数学试题）正数数列 满足 ，且 成等差数列，
成等比数列．
求 的通项公式；
【答案】 ； .
【分析】根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列 是以 为首项，
为公差的等差数列，再由数列 的通项公式可得数列 的通项公式；
【详解】 成等差数列， 成等比数列，
， ，
数列 为正数数列， ，
当 时， ， ，
，且 ，则 ，
， ， ， ，
，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
， ，
当 时， 满足上式， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51当 时， ，
当 时， 满足上式， .
26．（2023年山西省模拟数学试题）若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列".已知数
列 中， ，点 在函数 的图象上，其中n为正整数，
(1)证明:数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列;
【答案】证明见解析
【分析】根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；
【详解】 点 在函数 的图象上，
， ，
数列 是“平方递推数列”，
因为 ，
对 两边同时取对数得 ，
数列 是以1为首项、2为公比的等比数列；
27．（2024届湖北省新起点摸底考试数学试题）已知 是数列 的前 项和， ， ．
求数列 的通项公式；
【答案】
【分析】利用 与 的关系，结合累乘法即可求出数列 的通项公式；
【详解】由 ，则 ，
两式相减得： ，
整理得： ，
即 时， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，也满足上式．
故 ．
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