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专题1.12 线段的垂直平分线（培优篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、垂直平分线的性质
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点
M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
2．如图，在 中， 分别为 边上的高， 相交于点 ，
连接 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，
则 周长等于 的长．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
3．如图，直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若AB=6，
AC=4，BC=7．则△APC周长的最小值是
A．10 B．11 C．11.5 D．13
4．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、
N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）A．80° B．90° C．100° D．130°
类型二、垂直平分线的判定
5．已知，在△ABC中， ，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，
两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结
论中错误的是（ ）
A． B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．
6．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且
AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．
则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确
的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
7．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于
点D，连接BD．有下列结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BOD．其
中正确的选项是（ ）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
8．如图，在 中， ， ， ，D为AB上一动点（不与
点A重合）， 为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF
的中点，则线段BG长的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．9
类型三、垂直平分线的应用
9．如图， 中， ， 、 的平分线交于 ， 是 延长线上一
点，且 ．下列结论：① ；② ；③ ．其
中所有正确结论的序号有（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如图，在△ABC中，∠C=45°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D；AC
的垂
直平分线交AC于点G，交BC与点F，连接AD、AF，若AC= ，BC=9，则DF等于（ ）
A． B． C．4 D．
11．如图，在 中， ， ．按下列步骤作图：①分别以点 和点
为圆心，大于 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点 和点 ；②作直线 ，与边
相交于点 ，连结 ．下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在 中， ，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点
E，将 沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则 等于
A． B． C． D．
类型四、垂直平分线的作图
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交
AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点
P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S ：S ＝1：2
△DAC △DAB
A．2 B．3 C．4 D．5
14．如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ，分别以点A，C
为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点
O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A． B．6 C． D．8
15．如图，在 中， ，分别以点A，B为圆心，大于 为半径作弧，
相交于点M，N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连结CD，下列结论错误的是A．MN是线段AB的中垂线 B．
C． D．
16．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点
M和N,再分别以M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交
BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°； ④点D在AB的垂直平分线上
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
类型一、垂直平分线的性质
17．如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的
平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点
与点 恰好重合，则 为________度．
18．如图， 中，点 在边 上， ， ， 垂直于 的延长线
于点 ， ， ，则边 的长为_____．19．已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，点P 与点P关于OA对称，点P 与点P关于
1 2
OB对称，连接PP 交OA、OB于E、F，若PE= ，OP= ，则EF的长度是_____．
1 2 1
20．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=4，若点M、N分别是射线OA、
OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是_________．
类型二、垂直平分线的判定
21．P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC的
度数为_____．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线 ： 与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线 ： 交于点C，在平面直角坐标系中有一动点D，当
时， 周长的最小值为__________．
23．如图，在△ 中， ， 分别是 ， 上的点， ⊥ ， ⊥ ，垂足分
别是 ， ，若 ， ，那么下面四个结论：① ；② // ；
③△ ≌△ ；④ ，其中一定正确的是（填写编号）_____________.
24．如图，直线 分别交x，y轴于A，B两点，过点B的另一条直线交x轴于
点C，D为AB中点，过点A作AB的垂线交CD于点E，若 ，则直线BC的函数表
达式为__________．类型三、垂直平分线的应用
25．如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动
点，则PB＋PE的最小值为____________．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，OD垂直平分AB，将∠C沿着EF折叠，
使得点C与点O重合，∠AFO＝52°，则∠OEF＝_____．
27．如图， ，点 在 上．以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 （点
与点 不重合），连接 ；再以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 （点 与
点 不重合），连接 ；再以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 （点 与点
不重合），连接 ；……按照上面的要求一直画下去，得到点 ，若之后就不能再画出符合要求点 了，则 ________．
28．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点
O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①AB=AC，②△AOP≌△AOC ，
③∠APO+∠DCO=30°，④△OPC是等边三角形．其中正确的为__________________．（填
序号）
类型四、垂直平分线的作图
29．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为格点
（Ⅰ）AB的长等于__
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点C，使得CA=CB且△ABC的面
积等于 ，并简要说明点C的位置是如何找到的__________________
30．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均为格点．
（Ⅰ）△ABC的面积等于_____．
（Ⅱ）请借助无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出△ABC的角平分线BD的垂直平分
线，并简要说明你是怎么画出来的：_____．31．如图，在 中，用直尺和圆规作 、 的垂直平分线，分别交 、 于点
、 ，连接 .若 ，则 __________ ．
32．如图，在矩形 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，以大于 的
长为半径作弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 交 于点 .若 ， ，
则矩形的对角线 的长为__________．
三、解答题
33．已知：在 中， ， ， ．
如图1，若点B关于直线DE的对称点为点A，连接AD，试求 的周长；
如图2，将直角边AC沿直线AM折叠，使点C恰好落在斜边AB上的点N，且
，求CM的长．34．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且
∠AEF=90°，延长AE交BC的延长线于点G,
（1）求GE的长；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）求CF的长.
35．教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.
线段垂直平分线
我们已知知道线段是轴对称图形，线段的垂直一部分线是线段的对称轴，如图直线 是
线段 的垂直平分线， 是 上任一点，连结 、 ，将线段 与直线 对称，
我们发现 与 完全重合，由此都有：线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上
的点到线段的距离相等.已知：如图， ，垂足为点 ， ，点 是直线 上的任意一点.
求证： .
分析：图中的两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证明
（请写出完整的证明过程）
请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程，
定理应用.
（1）如图②，在 中，直线 、 、 分别是边 、 、 的垂直平分线.
求证：直线 、 、 交于点.
（2）如图③，在 中， ，边 的垂直平分线交 于点 ，边 的垂直平
分线交 于点 ，若 ， ，则 的长为_______.
36．小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图， ，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足 ．
求作：线段OB上的一点C，使 的周长等于线段 的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合
题意得点C已经找到，即 得周长等于OB的长，那么由
，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得 ，那么就可以
得到 ．若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问
题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
参考答案
1．C
【分析】
连接 、 过 作 于 ，先求出 、 值，再求出 、 值，求出 、
值，代入 求出即可．
【详解】连接 、 ，过 作 于
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴在 中，
∴在 中，
∴ ，
∵ 的垂直平分线
∴
同理
∵
∴
∴在 中，
∴
同理
∴
故选：C．
【点拨】本题考查垂直平分线的性质、含 直角三角形的性质，利用特殊角、垂直平分
线的性质添加辅助线是解题关键，通过添加的辅助线将复杂问题简单化，更容易转化边．
2．B
【分析】
证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证
明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出
EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．
【详解】
解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，FD=CD，故①正确，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；
延长CF交AB于H，
∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正确；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC= AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周长=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，
即△FDC的周长等于AB，故④正确，
综上：①③④正确，故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，
也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜
3．A
【分析】
根据垂直平分线的性质BP=PC，所以△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=10.
【详解】
如图，连接BP
∵直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线,
∴BP=PC,
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP,
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB，
∴△APC周长最小为AC+AB=10.
【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键
是能得出AP+BP≥AB，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出
结论，再根据结论进行推论.
4．C
【分析】
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为
△AMN的周长最小值．
【详解】
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，∵∠DAB=130°，
∴∠AA′M+∠A″=50°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，
故选C．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形
的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M、N的位置是解题关键.
5．D
【分析】
根据作图过程及所作图形可知 ，得出△BCD是等边三角形；又因为
， ，推出 ，继而得出 ；根据，
，可知AD为 的角平分线，根据三线合一得出AD垂直平分BC；
四边形ABCD的面积等于 的面积与 的面积之和，为 ．
【详解】
解：∵
∴△BCD是等边三角形
故选项B正确；
∵ ，
∴
∴
故选项A正确；
∵ ，
∴据三线合一得出AD垂直平分BC
故选项C正确；
∵四边形ABCD的面积等于 的面积与 的面积之和∴
故选项D错误．
故选：D．
【点拨】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平
分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．
6．C
【分析】
根据三角形全等的判定定理与性质，角平分线的定义，垂直平分线的判定与性质、等腰三
角形的判定与性质逐个分析即可．
【详解】
∵AC=BC，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD，
∴ ，则BP=AD，故①正确；
由 得∠PBC=∠DAC，则 ，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠PAF，
，
假设 ，
在 和 中， ，
，
，
，
，
在 中， ，
又 ，
，与 相矛盾，
则假设不成立，②错误；在 与 中， ，
∴ ，
，
即 ，故③正确；
由 得BF=PF，
则 ，故⑤正确；
，AD平分∠BAC，
AF为BP的垂直平分线，
OB=OP，
为等腰三角形，
，
，
又 AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
，
，
∴ ，
为等腰直角三角形，且 ，
即 ，故④正确；
综上，①③④⑤正确，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质、
等腰三角形的判定与性质等知识点，能够根据所学综合分析图中的全等三角形是解题关键．
7．D
【解析】
①、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确；
②、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD．
∴∠A=∠ABD=36°．∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD．
∴BD是∠ABC的角平分线，正确；③，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误；
故选：D.
8．B
【分析】
连接 ， ，设 交 于点 ，先判定 为线段 的垂直平分线，再判定
，然后由全等三角形的性质可得答案．
【详解】
解：如图，连接 ， ，设 交 于点 ，
， 为 的中点，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
为等边三角形，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
为线段 的垂直平分线，
， ，
点 在射线 上，当 时， 的值最小，如图所示，设点 为垂足，
， ，
， ，
则在 和 中，
，
．
，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合
并明确相关性质及定理是解题的关键．
9．D
【解析】
分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出
∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的
延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG，再求出
∠BDF=∠CDG，然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边
相等可得BD=CD，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB，根据等角对等边可得
BD=DE，判断②正确，再求出B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，根据同
弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE，判断③正确．
详解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别为 、 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故①正确．
如图，过点 作 于 ， 的延长线于 ，∵ 、 分别为 、 的平分线，
∴ 为 的平分线，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ．
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
根据三角形的外角性质，
，
∴ ，
∴ ，故②正确．
∵ ，
∴ 、 、 三点在以 为圆心，以 为半径的圆上，
∴ ，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，
故选： ．
点拨：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内
接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特
别是③的证明．
10．A
【解析】
分析：根据线段垂直平分线性质求出BD=AD，AF=CF，推出∠C=∠CAF=45°，求出
∠AFC=∠AFD=90°，解直角三角形求出AF和CF，根据勾股定理求出DF即可．
详解：∵NF是AC的垂直平分线，
∴∠ANC=2∠CNF，CF= AC= ，AN=CN，
在Rt△CFN中，∠C=45°，
∴∠CNF=∠C=45°，CN= CF=3，
∴∠ANC=90°，AN=3，
∵BC=9，
∴BN=BC-CN=6=BM+MN，
∴BM=6-MN，
∵ME是AB的垂直平分线，
∴AM=BM=6-MN，
在Rt△AMN中，根据勾股定理得，（6-MN）2-MN2=9，
∴MN= ．
故选A.
点拨：本题考查了勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，能得出关于x的方程是解此题
的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
11．C
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】
解：由作图可知， 垂直平分线段 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
【点拨】本题考查作图 基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．B
【分析】
根据折叠的性质得出 ，再利用线段垂直平分线的性质得出 ，进而得
出 ，进而得出 ，利用三角形内角和解答即可．
【详解】
将 沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
，
的垂直平分线交AB于点E，
，
，
，
在 中， ，
解得： ，
故选B．
【点拨】本题考查了折叠的性质和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，
是基础题，熟记性质是解题的关键．
13．D
【分析】
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可
以证明点D在AB的中垂线上；
④作DH⊥AB于H，由∠1=∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，推出DC=DH即可解决问题；
⑤利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积
之比．
【详解】
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝ ∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②正确；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③正确；
④作DH⊥AB于H，
∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝ AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④正确，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴S ：S ＝ AC•CD： •AB•DH＝1：2；故⑤正确．
△DAC △DAB
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，
需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
14．A
【分析】
连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC．再根
据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=3，等量代换得到FC=AF=3，利用线段的和差关
系求出FD=AD-AF=1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【详解】
解：如图，连接FC，
∵点O是AC的中点，由作法可知，OE垂直平分AC，
∴AF=FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF=BC=6，∴FC=AF=6，FD=AD-AF=8-6=2．
在△FDC中，∵∠D=90°，
∴CD2+DF2=FC2，
∴CD2+22=62，
∴CD= ．
故选：A．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角
形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
15．D
【分析】
利用基本作法对A进行判断；根据斜边上的中线性质对B进行判断；根据等角的余角相等
可对C进行判断；利用等腰三角形的性质和 可推出 ，由此可对D
进行判断．
【详解】
由作法得MN垂直平分AB，所以A选项的结论正确；
为斜边AB上的中线，
，所以B选项的结论正确；
，
，
，
而 ，
，所以C选项的结论正确；
，
，
，
而 ，
若 ，则 ， ，
而已知条件没有给定 ，所以D选项的说法错误．故选D．
【点拨】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握基本作图 作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线 ．
16．C
【解析】
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；
②根据作图的过程可以判定出AD的依据；
③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；
④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可
以证明点在AB的中垂线上.
解：如图所示，
①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；
故①正确；
②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；
故②错误；
③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CBA=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.
故③正确；
④∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上.
故④正确；故选C.
“点拨”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性
质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC的度数是解题的关键.
17．108
【分析】
连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出
∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边
对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角
形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得
OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为108．
【点拨】本题考查了三角形综合题，涉及了角平分线的定义，等腰三角形的性质，线段垂
直平分线的性质与判定，三角形的外心，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一
定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
18．
【分析】
如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，
在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和
三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的
判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出
FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连
接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，
∴∠G=∠FCG，
∴FC=FG，设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，
∴DE=8－（11－x）=x－3，
∴DF=x－（x－3）=3，
∵DG=DB=8，
∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、
勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应
用上述知识是解题的关键．
19．
【分析】
由P，P 关于直线OA对称，P、P 关于直线OB对称，推出OP=OP =OP，
1 2 1 2
∠AOP=∠AOP ，∠BOP=∠BOP ，推出∠POP =90°，由此即可判断△POP 是等腰直角三
1 2 1 2 1 2
角形，由轴对称可得，∠OPE=∠OPE=45°，∠OPF=∠OP F=45°，进而得出∠EPF=90°，最
1 2
后依据勾股定理列方程，即可得到EF的长度．
【详解】∵P，P 关于直线OA对称，P、P 关于直线OB对称，
1 2
∴OP=OP =OP= ，∠AOP=∠AOP ，∠BOP=∠BOP ，
1 2 1 2
∵∠AOB=45°，
∴∠P OP =2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP）=90°，
1 2
∴△P OP 是等腰直角三角形，
1 2
∴PP= =2，
1 2
设EF=x，
∵P E= =PE，
1
∴PF=P2F= -x，
由轴对称可得，∠OPE=∠OPE=45°，∠OPF=∠OP F=45°，
1 2
∴∠EPF=90°，
∴PE2+PF2=EF2，即（ ）2+（ -x）2=x2，
解得x= ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用
对称的性质解决问题，依据勾股定理列方程求解．
20．
【分析】
作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利
用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=4，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作
OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OH即可得出
结论．
【详解】
解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=4，
∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，
∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH= OC=2，
CH= OH=2 ，
∴CD=2CH= ．
∴△PMN周长的最小值是
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
21．142°
【分析】
在AC的延长线上截取AF=AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，证得
△APB≌△APF，则AP为BF的垂直平分线，由∠PBA=8°可得∠CBF=30°=∠CBP，
∠BFP=60°=∠BPF，可得BC平分PF，进一步可求出∠APC的度数．
【详解】
在AC的延长线上截取AF＝AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，
在△APB和△APF中，
，
∴△APB≌△APF（SAS），
∴AB＝AF，PB＝PF，∠AFP＝∠ABP＝8°，
∴AP垂直平分BF，∠BPE＝∠BAP+∠ABP＝30°°，∠FPE＝∠CAP+∠AFP＝30°
∴∠AEP=∠FEP=90°，
∴∠PBF=∠PFB=60°
∵∠PBC＝30°
∴∠CBF＝30°＝∠PBC，∠BPF＝∠BFP＝∠PBF=60°，
∴三角形BPF是等边三角形，BC平分∠PBF
∴BC垂直平分PF
∴PC=PF
∴∠CPF＝∠CFP＝8°
∴∠DPC＝38°∴∠APC＝142°；
故答案为：142°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定和性质，解题的
关键是作辅助线，证明△APB≌△APF．
22． ．
【分析】
根据题意D点在OB的垂直平分线l上，直线l为y=4，作C关于直线l的对称点C′，则C′
（-8，16），连接AC′，交直线l于D点，此时△ACD周长最小，△ACD周长的最小值为
AC′+AC，根据勾股定理求得AC′、AC的长，即可求得结果．
【详解】
解：∵直线AB：y=2x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，8），
∵DO=DB，
∴D点在OB的垂直平分线l上，直线l为y=4，
由 解得
∴C（-8，-8），
作C关于直线l的对称点C′则C′（-8，16），连接AC′，交直线l于D点，此时△ACD周
长最小，△ACD周长的最小值为AC′+AC，
∵ ，，
∴△ACD周长的最小为 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了两条直线相交问题及垂直平分线的判定，轴对称-最短路线问题，求得
D的位置是解题的关键．
23．①，②
【分析】
连接AP，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角
形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在
Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明 ．
【详解】
解：连接AP
①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，
∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，
∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②.
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得
出点在角平分线上是解题的关键.
24．
【分析】
先根据函数解析式分别求得A、B点坐标，由此可表示D点坐标，设C（a，0），根据
AE=EC可表示E点横坐标，根据AE⊥AB可求得AE解析式，再表示E点坐标，设直线DC
的解析式，将D、E、C三点分别代入即可求得a的值，设直线BC的解析式，将B、C两
点坐标分别代入即可求得函数解析式．
【详解】
解：∵直线 分别交x，y轴于A、B两点，
，
∵D为AB中点，
，
设C（a，0），则 ．
∵AE=CE，
∴E在线段AC的垂直平分线上，∴E点的横坐标为 ，
∵AB⊥AE，
∴直线AE的斜率为： ．
设直线AE的解析式为 ，
将 代入得 ，解得 ，
∴直线AE的解析式为 ，
∴当 时， ，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
将C（a，0）， 分别代入，
得 ，解得 ，，
设直线BC的函数表达式为y=px+q，
把 代入，
得 ，解得 ，
∴直线BC的函数表达式为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，线段中
点公式、线段垂直平分线的判断．解题关键是熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式，
本题中计算量较大，需仔细．
25．5
【解析】
试题分析：作点B关于AC的对称点F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时
PB+PE的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF的长即可，因此要先求AF的长，证
明△ADF≌△CDB，可以解决这个问题，从而得出EF=5，则PB+PE的最小值为5．
解：如图，过B作BD⊥AC，垂足为D，并截取DF=BD，连接EF交AC于P，连接PB、
AF，则此时PB+PE的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CB,∠ABC=90°，AD=DC，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵∠ADF=∠CDB，
∴△ADF≌△CDB，
∴AF=BC,∠FAD=∠C=45°，
∵AE=3，BE=1，
∴AB=BC=4，
∴AF=4，
∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°,
∴由勾股定理得：EF= = =5，
∵AC是BF的垂直平分线，
∴BP=PF，
∴PB+PE=PF+PE=EF=5，
故答案为5.
点拨：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段
最短来求解.
26．52°．
【分析】
连接 、 ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 ，再由角平
分线条件与等腰三角形的条件证明 ，得 ，得
，根据折叠性质得 ，进而求得 ，再由三角形内
角和定理，求得 ，进而由等腰三角形的性质求得 ，再由折叠性质求
得结果．
【详解】
解：连接 、 ，垂直平分 ，
，
，
平分 ，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
由折叠知， ，
，
，
，
，
，
由折叠知， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形
三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角
形是解题的关键．
27．8
【分析】
先观察题目，可知画出的三角形为等腰三角形，可依次算出第一个第二个第三个等腰三角
形的底角的度数，发现规律：第n个等腰三角形的底角度数为 ，再根据等腰三角形的底角度数小于90°，即可算出答案.
【详解】
根据题意可知，画出的三角形是等腰三角形，第一个底角 ；由三角形外角和定
理可得，第二个等腰三角形的底角 ，第三个等腰三角形的底角
，同理可得第n个等腰三角形的底角度数为 ，
又因为等腰三角形的底角小于90°，所以当n=8时， 底角为90°，所以n=8及之后的n
就不能画出符合要求的线段了.
故答案为8.
【点拨】本题主要考查规律探索和等腰三角形的性质，知道三角形的外角度数等于其它两
个内角和的度数以及等腰三角形的底角小于90°是解题的关键.
28．①③④
【分析】
①通过垂直平分线的性质直接判断即可；
②由于 ，可判断此选项；
③如图，连接OB，可证明 ，得到OB=OC=OP，即证明出最
后结论；
④由图可得 推导出
，可证明出最后结论．
【详解】
① △ABC中高AD恰好平分边BC，
AD为线段BC的垂直平分线，
AB=AC，故①正确；
②由图易知 ，
△AOP≌△AOC不正确，故②不正确；
③如图，连接OB，△ABC的高AD恰好平分边BC，
BD=CD，由SAS易证 ,
AB=AC，OB=OC=OP，
，
∠APO+∠DCO=30°，故③正确；
④在△OBP中，
在△BOC中，
，
，
， △OPC是等边三角形，故④正确．
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了三角形的综合问题，难度比较大，包括垂直平分线，全等三角形，等
边三角形等知识点，需要有较强的推理论证能力，充分运用条件进行推导是解决本题的关
键．
29． 取格点P、N（S = ），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF
△PAB
交PN于点C，点C即为所求．
【分析】
（Ⅰ）利用勾股定理计算即可；
（Ⅱ）取格点P、N（S = ），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于
△PAB
点C，点C即为所求．
【详解】
解：（Ⅰ）AB= = ，故答案为 ．
（Ⅱ）如图取格点P、N（使得S = ），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线
△PAB
EF交PN于点C，点C即为所求．
故答案为取格点P、N（S = ），作直线PN，再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN
△PAB
于点C，点C即为所求．
【点拨】本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知识，解题
的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
30．6 画出△ABC的角平分线BD，再画出BD的垂直平分线
【解析】
分析：（1）分析可知△ABC以BC为底，AC为高，求出面积即可；
（2）根据角平分线的基本作图和线段垂直平分线的基本作图画图即可.
详解：（Ⅰ）△ABC的面积= ，
故答案为：6；
（Ⅱ）如图所示：
先画出△ABC的角平分线BD，再画出BD的垂直平分线即可；
故答案为：先画出△ABC的角平分线BD，再画出BD的垂直平分线．
点拨：本题主要考查了应用与设计作图，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形
的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
31．【详解】
分析：根据作图可知DE是△ABC得中位线,依据中位线的性质定理即可得出答案.
详解：：由作图可知DE是△ABC的中位线,
∵BC=10cm，
∴DE= BC=5cm．
故答案为5.
点拨：本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，解答本题的关键是掌握三角形的中
位线定理.
32．
【详解】
分析：连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA=EC=3，然后利用勾
股定理先计算出AD，再计算出AC．
详解：连接AE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴EA=EC=3，
在Rt△ADE中，AD= ，
在Rt△ADC中，AC= ．
故答案为 ．
点拨：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个
角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂
线）．33． 的周长 ； ．
【分析】
由轴对称图形的性质可知 ，则 的周长
；
先求的AB的长，设 ，然后在 中，依据等面积法列出关于x的方程，
然后求得x的值即可．
【详解】
解： 依题意，可得：DE垂直平分AB．
．
的周长 ．
，
的周长 ．
由题意得： ， ， ．
，
．
设 ，则
，
，解得： ，
．
【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、轴对称图形的性质、依据等面积法列出关于x的
方程是解题的关键．
34．（1） （2）证明见解析（3）CF=1
【解析】
（1）解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC
∴∠D=∠DCG=90°，∠DAE=∠G∵E是CD的中点
∴DE=CE
∴△ADE≌△GCE
∴AD=CG
∵AD=DC=4
∴CG=4，CE=2
在Rt△GCE中，GE=
（2）证明：由（1）得：△ADE≌△GCE
∴AE=GE
∵∠AEF=90°
∴EF垂直平分AG
∴AF=GF
∴∠FAE=∠G
∵∠DAE=∠G
∴∠FAE=∠DAE
∴AE平分∠DAF
（3）解：在正方形ABCD中
∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4
∴DE=CE=2
设CF=x，则BF=4-x
根据勾股定理得：
AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2
EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4
AE2=AD2+ DE2=42+22=20
在Rt△AEF中，AF2= EF2+ AE2
∴32-8x+ x2= x2+4+20
解得:x=1
∴CF=1
35．教材呈现：详见解析；定理应用：（1）详见解析；（2）6.
【分析】
教材呈现： 得到 ，从而定理应用：（1）连结 、 、 ．设直线 、 交于点 ．因为直线 是边 的垂直
平分线，所以 又因直线 是边 的垂直平分线， 得到 点
在边 的垂直平分线 上．得到直线 、 、 交于点 ． （2）
连接BD，BF，易知AD=DB，BE=EC；又因为∠A=∠C=30°，得到∠DBE=60°，所以
∠ABD=30°，得到∠BDE=60°，所以△BED为等边三角形，所以DE= AC=6
【详解】
教材呈现：
，
又
．
图① 图②
定理应用：
（1）连结 、 、 ．
设直线 、 交于点 ．
直线 是边 的垂直平分线，
又 直线 是边 的垂直平分线，
点 在边 的垂直平分线 上．
直线 、 、 交于点 ．
（2）如图3，连接BD,BF由第一问可知，AD=DB，BE=EC，∠A=∠DBA，∠C=∠CBE
∵AB=AC
∴∠A=∠C
∵∠ABC=120°
∴∠A=∠C=30°
∴∠A=∠DBA=∠C=∠CBE=30°
∴∠BDE=∠A+∠ABD=60°，∠DBE=∠ABC-∠ABD-∠EBC=60°
∴△DBE是等边三角形
∴DB=BE=DE
∴AD=DE=EC
∴DE= AC=6
【点拨】本题考查垂直平分线的性质与证明，能够读懂题意给到的方法进行解题是本题关
键
36．BC，DC，线段的垂直平分线的判定
【分析】
在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，
△AOC即为所求．
【详解】
解：如图，△AOC即为所求．故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
