文档内容
专题1.1 三角形证明
知识归纳
知识点一:全等三角形的判定定理及性质定理
1. 全等三角形的判定定理:SSS、SAS、ASA、AAS.
2. 全等三角形的性质定理:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
知识点二:等腰三角形的性质定理
1. 定理:等腰三角形的两底角相等,简述为“等边对等角”.
注意:“等边对等角”成立的前提条件是在同一个三角形中.
2. 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(简述为“三线合一”).
知识点三:等边三角形的性质定理
1. 等边三角形的三边都相等;
2. 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;
3. 等边三角形是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;
4. 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.
5. 在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
1．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
2．（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交
AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）A．50° B．40° C．30° D．20°
3．（2020•射阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
4．（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，
若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
5．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．
6．(2020珠海紫荆中学一模)如图,△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D.若∠A=30°,AE=
6 cm,则BC= .
7．（2020•丹徒区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．
（1）求证：CF＝EF；
（2）求∠EFB的度数．知识点四：等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
知识点五：等边三角形的判定
1. 由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2. 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
3. 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
1．（2020•南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则
CD＝（ ）
a+b a−b
A． B． C．a﹣b D．b﹣a
2 2
2．（2020•安顺）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于
点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为 ．
3．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F
沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．4．（2020秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，
∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
知识点六：直角三角形的性质
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
知识点七：直角三角形的判定：
（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
（2）直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊
的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
1．（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD
是△ABC的高，则BD的长为（ ）
10 9 8 7
A． ❑√13 B． ❑√13 C． ❑√13 D． ❑√13
13 13 13 13
2．（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达
l．下列说法错误的是（ ）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
3．（2020•苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，
则EC＝ ．
4．（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加
一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
5．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
6．（2020春•永定区校级期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：
Rt△ADE≌Rt△BEC．
知识点八：线段的垂直平分线
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．1．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝
6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
2．（2020•河南）如图，在△ABC中，AB＝BC=❑√3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半
径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6❑√3 B．9 C．6 D．3❑√3
3．（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线1、l 相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝
1 2
．
4．（2020秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平
分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．5．（2020秋•遵化市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，
且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
知识点九：角平分线的性质
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有
时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直
1．（2020•滨州）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大
小为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
2．（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，
则∠EGD的大小是（ ）A．132° B．128° C．122° D．112°
3．（2020•南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则
CD＝（ ）
a+b a−b
A． B． C．a﹣b D．b﹣a
2 2
4．（2020秋•章贡区期末）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E
点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S ．
△ABC
5．（2020秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到
AC的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2020秋•柳州期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，且BC＝12，BD＝8，则点D到
AB的距离为 ．7．（2020秋•泰兴市期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB
＝16，BC＝14，则DE的长等于 ．
8．（2020春•南岗区期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分
∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
