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专题1.19 直角坐标系背景下的特殊平行四边形（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
【知识点一】直角坐标系背景下的菱形
1．如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，菱形的对角线的交于点D；若将菱形
OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角
线的交点D的坐标为（ ）
A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(-1，1) D．(1，﹣1)
2．如图，在菱形 中，顶点 ， ， ， 在坐标轴上，且 ， ，
分别以点 ， 为圆心，以 的长为半径作弧，两弧交于点 ，连接 ， ．将菱形
与 构成的图形绕点 逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，
点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至的位置，若OB＝ ，∠C＝120°，则点 的坐标为（ ）
A．(3， ) B．(3， ) C．( ， ) D．（ ， ）
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB上有P，Q两个动点，且 ，
已知，点 ， ，当 周长最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【知识点二】直角坐标系背景下的矩形
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为 ，D是OB的中点，
E是OC上的一点，当 的周长最小时，点E的坐标是（ ）A． B． C． D．
6．如图1，在矩形 中， ，点E为 边的中点，点P为 边上一个动点，
连接 ．设 的长为x， ，其中y关于x的数图象如图2，则矩形 的
面积为（ ）
A．15 B．24 C．35 D．36
7．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为 ，则AC长为（ ）
A． B． C．5 D．4
8．如图，直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点Р是线段AB上一动点，过点
P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．【知识点三】直角坐标系背景下的正方形
9．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系 中，边长为6的正方形
的边 在 轴上， 的中点是坐标原点 ，固定点 ，把正方形沿箭头方向推，
使点 落在 轴正半轴上点 处，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．已知正方形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边OB上一点，且点M的
坐标为（a，b）．将正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转2022秒后，
点M的坐标为（ ）
A．（b，a） B．（-a，b） C．（-b，a） D．（-a，-b）
11．如图，正方形OABC中，点 ，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD
的中点，绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB的延
长线上时，点D的坐标为（ ）．A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，4），（4，0），将线段AB
绕点B顺时针旋转60°至BC的位置，点A的对应点为点C，则点C的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
【知识点一】直角坐标系背景下的菱形
13．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于
点A、B，以AB为边作菱形ABCD， 轴，则菱形ABCD的周长是______．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A，D分别在y轴的正半轴和负
半轴上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝3OD，S ＝16 ，则点C的坐标为
菱形ABCD
______．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若
点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是___．
16．如图，一次函数 的图象为直线l，菱形 ， ， …按图
中所示的方式放置，顶点A， ， ， ，…均在直线l上，顶点 ， ， …均在x轴
上，则点 的纵坐标是_______________．
【知识点二】直角坐标系背景下的矩形
17．如图①，在矩形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，动点 从点 出
发，沿 向点 运动，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与
的函数关系图象如图②所示，回答下列问题：
（1） ______．
（2）当 时， ______．18．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，3），过点B作BA⊥x轴于点A，
BC⊥y轴于点C．若直线l： 把四边形OABC分成面积相等的两部分，
则m的值为____．
19．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为
（12，5），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为 _____．
20．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且 ，以AB为边构
造菱形ABEF（点E在x轴正半轴上），将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆
时针旋转，每次旋转90°，则第27次旋转结束时，点 的坐标为________．【知识点三】直角坐标系背景下的正方形
21．如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点 坐标为 ，顶点 的横坐
标为 ，点 是 的中点，则侧 _________．
22．如图，在正方形 中，顶点A， ， ， 在坐标轴上，且 ，以 为边
构造菱形 （点 在 轴正半轴上），将菱形 与正方形 组成的图形绕点
逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点 的坐标为______．
23．如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点B的坐标为_______．24．将正方形AOCB和正方形ACC B 按如图所示方式放置，点A（0，1）和点A 在直线y
1 1 1 1
＝x+1上，点C和点C 在x轴上，若平移直线y＝x+1至经过点B，则直线向右平移的距离
1 1
为 ___．
三、解答题
25．如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，四边形 是菱形，点 的坐标为
，点 在 轴的正半轴上，直线 交 轴于点 ， 边交 轴于点 ，连接 .
(1)填空：菱形 的边长 _________；
(2)求直线 的解析式；
(3)动点 从点 出发，沿折线 方向以3个单位/秒的速度向终点 匀速运动，设
的面积为 ，点 的运动时间为 秒，
①当 时，求 与 之间的函数关系式；
②在点 运动过程中，当 ，请直接写出 的值.26．材料阅读
小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为 ，端点B的坐标为 ，则线段AB中点的
坐标为 ，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点 、
为端点的线段中点坐标为 ．
(1)知识运用：
如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，
点E的坐标为 ，则点M的坐标为 ．
(2)能力拓展：
在直角坐标系中，有 ， ， 三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四
边形的顶点，求点D的坐标．
27．在平面直角坐标系xOy中，存在点A（x，y）与点B（x，2），若满足x+x＝0，y
1 1 2 1 2 1
﹣y＝0，其中x≠x，则称点A与点B互为反等点．
2 1 2
已知：点C（3，4）和点D（﹣5，4）．(1)下列四个点中，与点C互为反等点的是 ；
H（﹣3，﹣4），H（3，﹣4），H（﹣3，4），H（3，4）．
1 2 3 4
(2)已知直线y＝kx﹣2与线段CD相交于点P，若在线段CD上存在一点Q与点P互为反等
点，求k的取值范围；
(3)已知正方形的两条对角线分别与两坐标轴重合，当正方形与线段CD的两个交点互为反
等点时，直接写出正方形边长a的取值范围．
28．如图，正方形 的各边都平行于坐标轴，点 、 分别在直线 和 轴上，
若点 在直线 上运动．(1)当点 运动到横坐标 时，请求出点 的坐标．
(2)求出当点 的横坐标 时，直线 的函数解析式．
(3)若点 横坐标为 ，且满足 时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的
面积．
参考答案
1．B
【分析】分别过点 和点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，根据菱形的性质以及中位线
的性质求得点 的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的
D坐标
解：如图，分别过点 和点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴点 为 的中点，
∴点 为 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
由题意知菱形 绕点 逆时针旋转度数为： ，
∴菱形 绕点 逆时针旋转 周，
∴点 绕点 逆时针旋转 周，
∵ ，
∴旋转60秒时点 的坐标为 ．
故选B
【点拨】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后
点D的坐标，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．
2．D
【分析】
将菱形 与 构成的图形绕点 逆时针旋转，每次旋转45°，即点E，绕点O，逆
时针旋转，每次旋转45°，所以点E每8次一循环，又因为2022÷8=252…..6，所以E 坐
2022标与E 坐标相同，求出点E 的坐标即可求解．
6 6
解：如图，将菱形 与 构成的图形绕点 逆时针旋转，每次旋转45°，即点E，
绕点O，逆时针旋转，每次旋转45°，
由图可得点E每8次一循环，
∵2022÷8=252…..6，
∴E 坐标与E 坐标相同，
2022 6
∵A（0，1），
∴OA=1，
∵菱形 ， ，
∴∠ABO=∠ADO=30°，
∴AD=AB=2OA=2，
∴OD= ，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，DE=AD=2，
∴∠ODE=90°，
∴∠DOE+∠DEO=90°，
过点E 作EF⊥x轴于F，
6 6
∴∠OFE =∠ODE=90°，
6
∵∠EOE=90°，
6
∴∠DOE+∠EOF=90°，
6
∴∠∠DEO=∠EOF，
6
∵OE=OE，
6
∴△ODE≌△EFO（AAS），
6∴OF=DE=2，EF=OD= ，
6
∴E（2，- ），
6
∴E （2，- ），
2022
故选：D．
【点拨】本题考查图形变换规律，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的
性质，勾股定理，本题属旋转规律型，坐标变换规律型问题，找出图形变换规律，即得出
点E变换规律是解题的关键．
3．D
【分析】
根据角度的计算可得 ，过 作 轴，勾股定理求解即可
解：如图，过 作 轴，
将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至 的位置，
四边形 是菱形, ∠C＝120°，
, ，
是等腰直角三角形
OB＝ ，点 的坐标为
故选D
【点拨】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，求得
是解题的关键．
4．A
【分析】
当CP⊥OB时，CP有最小值，此时 CPQ的周长最小，利用菱形的性质，含30度角的直
角三角形的性质即可求解． △
解：当CP⊥OB时，CP有最小值，
在 APQ中，CQ CP+PQ=CP+2，
∴△当CP最小时，CQ也有最小值，
即 CPQ的周长最小，
连△接AC，在菱形OABC中，
AC⊥OB，
∴点P为AC与OB的交点，
∵∠AOC=60°， ，
∴∠AOP= ∠AOC=30°，OA=2 ，
过点P作PE⊥OA于点E，
∴AP= OA= ，OP= ，∴PE= OP= ，OE= PE= ，
∴点P的坐标为（ ， ）．
故选：A．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质、菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．B
【分析】
画出A点关于y轴的对称点 ，连接 ，与y轴交于点E，根据连接两点的连线中，线
段最短，可知此时 的周长最小，再由待定系数法求得直线DA′函数式，进而求出点E
的坐标即可．
解：如图，作A点关于y轴的对称点 ，连接 ，与y轴交于点E，
此时 的周长最小，
∵ ，
∴ ，
设直线 表达式是 ，
则 ，
解得： ，∴ ，
所以点E的坐标是 ．
故选B．
【点拨】本题考查了根据轴对称求最短距离问题，待定系数法求一次函数解析式，以及关
于坐标轴对称的点的坐标特点，解题的关键是根据对称把AE转化为 ，利用两点之间
线段最短的性质解决问题．
6．B
【分析】
根据矩形的性质，结合图2，得 ，代入相关数据，求解得AB、AD，即可
求矩形的面积；
解：结合图2
当x=0时，
当P、E重合时， ，
设
则 即
解得： （不符合题意舍去），
∴
∴
∴
故选：B
【点拨】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、掌握相关性质，并结关系图求出矩形的面
积是解题的关键．
7．A
【分析】
首先连接OB，根据两点间距离公式即可求得OB，再根据矩形的性质可得OB=AC，即可求
得AC的长．解：如图：连接OB
点B的坐标为 ，
，
又 四边形OABC是矩形，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了两点间距离公式，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
8．D
【分析】
连接OP，易得四边形ONPM是矩形，可得OP=MN，在Rt AOB中，当OP⊥AB时，OP
最短，即MN最小，利用三角形的面积可得OP的值，即当△点P运动到使OP⊥AB于点P时，
MN最小，最小值为 ．
解：连接OP，
由已知可得∠PMO=∠MON=∠ONP=90°，
∴四边形ONPM是矩形，∴OP=MN，
在Rt AOB中，当OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，
∵直线△y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，4），
∴AO=2，BO=4，
∴ ，
∵S AOB= AO•BO= AB•OP，
△
∴2×4=2 •OP，
∴OP= ，
∴MN= ，
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，
解题的关键是得出OP⊥AB时，OP最短，即MN最小，．
9．C
【分析】
由已知条件得到AD′=AD=6，AO= AB=3，根据勾股定理得到 ，
于是得到结论．
解：∵AD′=AD=6，且 的中点是坐标原点 ，
∴AO= AB=3，
∴ ，
∵C′D′=6，C′D′∥AB，∴C′ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解
题的关键．
10．C
【分析】
先确定此时点M对应的位置即点 所在的位置，如图，过点M， 分别作ME⊥x轴于点
E， ⊥x轴于点F，证明 ，得到 ，由此
求解即可．
解：∵正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，
∴旋转8秒恰好旋转360°．
∵2022÷8=252……6，
∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次．
∵6×45°=270°，
∴此时点M对应的位置即点 所在的位置，
如图，过点M， 分别作ME⊥x轴于点E， ⊥x轴于点F，
∴ ，
∴∠EOM+∠EMO=90°，
∵四边形OBCD是正方形，
∴∠BOD=90°，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可知 ，
∴ ，
∵点M的坐标为（a，b），
∴ ，
又点 在第二象限，
∴旋转2022秒后，点M的坐标为（﹣b，a）．
故选C．【点拨】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正
方形的性质，正确找到旋转2022秒后点M的位置是解题的关键．
11．C
【分析】
如图，过 作 ，交 轴于点 过 作 轴于 过 作平行于 轴的直线交
PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ， 证明 设
再求解Q的坐标，再代入直线OB的解析式即可．
解：如图，过 作 ，交 轴于点 过 作 轴于 过 作平行于 轴的直
线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，
正方形OABC中，点 ，设 而点P为CD的中点，
设OB的解析式为 而
解得：
OB的解析式为：
解得：
故选C
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正比例函数的性质，正方
形的性质，求解 是解本题的关键．
12．B
【分析】
过点C作 轴于点D，作 轴于点E，连接AC，OC．设AB与OC交于点F．
由题意易证 为等边三角形，从而易证 ，得出 ，进而可
知矩形ODCE为正方形，结合题意可得出 ， 即证明 ，得出 ， ，从而可求出 ，
，进而可求出 ，最后即可求出
，即得出C点坐标．
解：如图，过点C作 轴于点D，作 轴于点E，连接AC，OC．设AB与OC
交于点F．
由题意可知 ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
由所作辅助线可知四边形ODCE为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形ODCE为正方形，
∴ ， ．
∵点A，B的坐标分别为（0，4），（4，0），
∴ ．
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴C( ， )．
故选B．
【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和
性质以及勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
13．20
【分析】
先求出一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，再利用勾股定理或两点间的距离公式计算
出线段AB的长，最后利用菱形的性质计算周长即可．
解：令 ，得 ，解得 ，∴ ，OA=3．
令 ，得 ，∴ ，OB=4 ．
在 中， ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∴ ．
故答案为：20．
【点拨】本题是一道函数与几何的综合题．重点考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法，
两点间的距离公式（或勾股定理），菱形的性质．如果是使用两点间距离公式，注意公式的正确使用：设点 ， ，则A、B两点间的距离为
．
14．（－2 ，－8）
【分析】
由菱形的性质可得出 ，即 ， ，再根据勾股定理可
求出OB的长度．设 ，则 ，列等式 ，求出
，则答案可解．
解：
，
四边形ABCD为菱形，
， ，
即 ， ，
，
．
设 则 ，
，即 ，
，
解得 （舍去）
．
在 轴上, ，即 轴，则 轴，
．【点拨】本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出 、 、
的长是解题的关键．
15．（0，-5）
【分析】
在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
解：∵A（12，13），
∴OD=12，AD=13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=13，
在Rt△ODC中， ，
∴C（0，-5）．
故答案为：（0，-5）
【点拨】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题．
16．
【分析】
首先求出直线l与坐标轴的交点，然后根据菱形的性质依次求出 ， …的坐标，找出规
律即可求解．
解：如图，设直线l与x轴的交点为点M，
一次函数的解析式为 ，， ，
四边形 是菱形，
与 关于y轴对称， 与 互相垂直平分，
， 轴，且 是 的中位线，
，
同理， 与 互相垂直平分，
把 代入 得， ，
，
垂直平分 ，
， ，
把 代入 得， ，
，
垂直平分 ，
， ，
同理可求得 ，
点 的横坐标是 ，纵坐标是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查菱形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，正确得到点 坐标的
规律是解题的关键．
17． 4 2或8【分析】
根据图象2中的y表示的是 AEP的面积，而图1的 AEP的底边AE是一个不变量，
AEP的面积与点P到AE边△的距离有关，寻找点P的△特殊位置，对应y的函数图象，这样
△可以解题．
解：（1）∵函数图象（图②）的y最大值是2，就是对应点P运动到距直线AC最远的时
刻位置，点B、D两个时刻，
∴△ABE的面积是2，
∴矩形的面积=4×S ABE=8．
∴BC×AB=8①， △
∵函数图象（图②）的y最小值是0，就是对应点P运动到距直线AC最近的时刻
位置，点A、C两个位置，
所以x=6时，即是AB+BC=6②，
∴由①②两个等组成方程组，
由这两个方程，可以得到BC=4，AB=2，
故答案为：4；
（2）当 时，即 ABE的面积是2，此时对应点P运动到距直线AC最远的时
刻位置，点B、D两个时△刻，
∵AB=2，AB+BC+CD =2+4+2=8，
∴x=2或8，
故答案为： 2或8．
【点拨】此题考查几何的线段长度与图象2中的x的关系，同时 的面积与函数图象中y的
关系，根据几何图形特点，发现 的面积y只与点P到AE边的距△离有关，寻找点P的特殊
位置，结合对应y的函数图象，这△样可以解题．
18．-3
【分析】
先由BA⊥x轴，BC⊥y轴得到四边形OABC是矩形，然后由矩形的性质可得直线l过矩形
OABC的中心点，再由点B和点O的坐标求得中心点的坐标，最后将中心点的坐标代入直
线l的解析式求得m的值．
解：∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，
∴四边形OABC是矩形，
∵直线l将四边形OABC分为面积相等的两部分，∴直线l过矩形OABC的中心点，
∵点B（3，3），点O（0，0），
∴矩形OABC的中心点为（ ， ），（中点坐标公式）
将中心点（ ， ）代入y＝mx﹣2m得， m﹣2m ，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是通过直线l
平分四边形OABC的面积得到直线l经过矩形OABC的中心点．
19．（0，2.4）##（0， ）
【分析】
过D作DE⊥AC于E，根据矩形的性质和B的坐标求出OC＝AB＝5，OA＝BC＝12，∠COA
＝90°，求出OD＝DE，根据勾股定理求出OA＝AE＝12，AC＝13，在Rt△DEC中，根据
勾股定理得出DE2+EC2＝CD2，求出OD，即可得出答案．
解：过D作DE⊥AC于E，
∵四边形ABCO是矩形，B（12，5），
∴OC＝AB＝5，OA＝BC＝12，∠COA＝90°，
∵AD平分∠OAC，
∴OD＝DE，
由勾股定理得：OA2＝AD2﹣OD2，AE2＝AD2﹣DE2，
∴OA＝AE＝12，
由勾股定理得：AC＝ ，
在Rt△DEC中，DE2+EC2＝CD2，
即OD2+（13﹣12）2＝（5﹣OD）2，
解得：OD＝2.4，所以D的坐标为（0，2.4），
故答案为：（0，2.4）．
【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，能根据勾股定理得出
关于OD的方程是解此题的关键．
20．（2，-2 ）
【分析】
先求出点F坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解．
解：∵点B（2，0），
∴OB=2，
∴OA=2，
∴AB= OA=2 ，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AF=AB=2 ，
∴点F（2 ，2），
由题意可得每4次旋转一个循环，
∴27÷4=6…3，
∴点F 的坐标与点F 的坐标一样，在第四象限，如下图，过F 作FH⊥y轴，
27 3 3 3
∵FH⊥y轴，AF⊥y轴，
3
∴∠OAF=∠FHO=90°，
3
∴∠AOF+∠HOF =90°，
3
∵OF⊥OF，
3
∴∠AOF+∠AFO=90°，
∴∠AFO=∠HOF ，
3∴ OAF≌ FHO，
3
△ △
∴HF OA=2，OH=AF=2 ，
3=
∴F（2，-2 ），
3
∴点F 的坐标（2，-2 ），
27
故答案为：（2，-2 ）
【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定及旋转的性质，找到旋转的规
律是本题的关键．
21．
【分析】
作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，首先根据题意证明出
，然后利用勾股定理求出AD的长度，最后根据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半求解即可．
解：如图所示，作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，
∵BF⊥AF，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，
由题意可得，四边形DOAH和四边形OGFA都是矩形，
∵正方形 的顶点 坐标为 ，
∴DH=GF=OA=3，
∵顶点 的横坐标为 ，
∴ ，
∴BF=BG+GF=4，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是
熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定定理．
22．
【分析】
根据直角坐标系、正方形的性质，得 ， ，根据勾股定理的性质，得
；根据菱形的性质，得 ；根据图形规律和旋转的性质分析，即可得到答案．
解：∵正方形 中，顶点A， ， ， 在坐标轴上，且
∴ ，
∴
以 为边构造菱形 （点 在 轴正半轴上），∴
∴
根据题意，得菱形 与正方形 组成的图形绕点 逆时针旋转，每8次一个循
环
∵ 除以8，余数为6
∴点 的坐标和点 的坐标相同
根据题意，第2次旋转结束时，即逆向旋转 时，点 的坐标为：
第4次旋转结束时，即逆向旋转 时，点 的坐标为：
第6次旋转结束时，即逆向旋转 时，点 的坐标为：
∴点 的坐标为：
故答案为： ．
【点拨】本题考查了图形规律、旋转、菱形、正方形、勾股定理、直角坐标系的知识；解
题的关键是熟练掌握旋转、菱形、正方形的性质，从而完成求解．
23．（2，3）
【分析】
过B作BE⊥y轴，过C作CF⊥x轴，垂足分别为E、F，证明△ABE≌△DAO，
DAO≌△CDF，可得BE＝DF＝OA＝2，AE＝CF＝OD＝1，进而求得点 的坐标．
△解：如图，过B作BE⊥y轴，过C作CF⊥x轴，垂足分别为E、F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∴∠BAE＋∠DAO＝∠DAO＋∠ADO＝90°，∴∠BAE＝∠ADO，
在 ABE和 DAO中，
△ △
，
∴△ABE≌△DAO（AAS），同理可得 DAO≌△CDF，
∵A（0，2△），D（1，0），
∴BE＝DF＝OA＝2，AE＝CF＝OD＝1，
∴OE＝OA＋AE＝2＋1＝3，OF＝OD＋DF＝1＋2＝3，
∴B点坐标为（2，3）．
【点拨】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三
角形的性质与判定是解题的关键．
24．2
【分析】
先求出点C的坐标为（1，0），从而求出点A 的坐标为（1，2），得到AC＝2，再由四边
1 1
形ACC B 为正方形，点C，C 在x轴上，得到AB＝AC＝2，AB∥x轴，由此即可得到
1 1 1 1 1 1 1 1 1
答案．
解：∵四边形AOCB为正方形，点A（0，1），
∴OC＝OA＝1．
∴点C的坐标为（1，0）
又∵四边形ACC B 是正方形，
1 1 1
∴点A 的横坐标为1，
1
∵点A 在直线y＝x+1上，
1
∴点A 的坐标为（1，2），
1
∴AC＝2．
1
又∵四边形ACC B 为正方形，点C，C 在x轴上，
1 1 1 1
∴AB＝AC＝2，AB∥x轴，
1 1 1 1 1
∴若平移直线y＝x+1经过点B，则直线y＝x+1向右平移2个单位长度．
1
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像平移
问题，正方形的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．25．(1)(2) (3)① ；② 或
【分析】
（1）在Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线
AC的解析式；
（3）①根据S ABC=S AMB+SBMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AB上和
△ △
在BC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．
②将S=2代入①中的函数解析式求得相应的t的值．
(1)解： 点 的坐标为 ，
在Rt△AOH中
，
故答案为：5；
(2)∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，
得 ，
解得 ，
直线AC的解析式为 ，
(3)由 ，令 ， ，则 ，则 ，
①当0
