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专题1.14 角的平分线（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、角平分线的性质定理及证明
1．在 中， ， 平分 ，交 于点 ， ，垂足为点 ，
若 ，则 的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．6
2．如图，在 中， 平分 于点 给出下列结论．
; ③ ， 平分 ，
其中正确的有（ ）个
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB
上截取AE＝AC，则△BDE的周长为( )A．8 B．7 C．6 D．5
类型二、角的平分线的性质定理
4．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S ＝24，DE＝4，AB
△ABC
＝7，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则
下列四个结论中：①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；②AD上任一点到
AB，AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④∠1＝∠2；其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C D，则
CD_____点P到∠AOB两边距离之和．( )
A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定
类型三、角平分线的判定定理
7．如图， 为等腰 内一点，过点 分别作三条边 、 、 的垂线，垂足分别
为 、 、 ，已知 ， ，且 ，则 的长为（
）A． B． C．7 D．8
8．如图， ， ，则（ ）
A． 垂直平分 B． 垂直平分
C． 平分 D．以上结论均不对
9．如图，P为△ABC外部一点，D，E分别在AB，AC的延长线上，若点P到BC，BD，
CE的距离都相等，则关于点P的说法最佳的是( )
A．在∠DBC的平分线上 B．在∠BCE的平分线上
C．在∠BAC的平分线上 D．在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上
类型四、角平分线的性质的实际应用
10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB=14，
S△ABD=14，则CD=（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S ＝7，DE＝2，AB＝4，则
△ABC
AC长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且
OD=DP=2．则线段PC的长度为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
类型五、作角平分线
13．尺规作图作 的平分线方法如下：以 为圆心，任意长为半径画弧交 、 于
、 ，再分别以点 、 为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线
由作法得 的根据是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
14．如图，在 中， ，观察图中尺规作图的痕迹，可知 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
15．如图1，已知 ，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以 为圆心，以 为半径画弧，分别交射线 ， 于点 ， ；
第二步：分别以 ， 为圆心，以 为半径画弧，两弧在 内部交于点 ；
第三步：画射线 ．射线 即为所求．
下列正确的是（ ）
A． ， 均无限制 B． ， 的长
C． 有最小限制， 无限制 D． ， 的长
二、填空题
类型一、角平分线的性质定理及证明
16．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，
且OD＝4，△ABC的面积是_____．17．如图，已知 ，直线 分别交 、 于 、 ， 平分 ，若
，则 _______度.
18．如图，△ABC角平分线AE、CF交于点P，BD是△ABC的高，点H在AC上，AF＝
AH，下列结论：①∠APC＝90°+ ABC；②PH平分∠APC；③若BC＞AB，连接BP，
则∠DBP＝∠BAC﹣∠BCA；④若PH∥BD，则△ABC为等腰三角形，其中正确的结论有
_____（填序号）．
类型二、角的平分线的性质定理
19．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线
DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____．
20．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若
BC=15cm，则△DEB的周长为__________cm．21．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，
BC=10，则△BDC的面积是_____．
类型三、角平分线的判定定理
22．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，
则PQ范围是____．
23．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝
________．
24．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝_________
类型四、角平分线的性质的实际应用
25．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点P．若点C的
坐标为( )，则a的值为________．
26．如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且
OD=2，△ABC的面积是________________.
27．如图， 是 中 的角平分线， 于点 ， 于点 ，
， ， ，则 长是_____．
类型五、作角平分线
28．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据
是_______．
29．如图，在△ABC中，以原点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交
边BC于点D，若AC：AB=3：4，△ACD的面积是21，则△ABD的面积是______．
30．如图，在长方形 中， 由尺规作图的痕迹，可知 的度数为
________________．
三、解答题
31．如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．
求证：△AOC≌△BOC．
32．已知，如图，在 中， 、 分别是 的高和角平分线，若 ，（1）求 的度数；
（2）写出 与 的数量关系 ，并证明你的结论
33． 已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分
∠BAC．
34．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）直接写出AB，CD与AC的关系 ．
35．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）①在射线BM上作一点C，使AC=AB，连接AC；
②作∠ABM 的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE.
（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明之．
参考答案
1．A
【分析】
证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．
【详解】
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴DE=BE=3，
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定
定理是解题关键．
2．B
【分析】
由在 中， ， 平分 ， 于点可得 ，继而由全等三角
形可得 、 ，进一步可证 平分 、 ，根据等
角的余角相等可得 ，根据直角三角形的面积求法可得，即可判断结论正确的个数．
【详解】
解：∵在 中， ， 平分 ， 于点
∴
故①正确；
∵在 中， ， 平分 ， 于点
∴
∴ ，
∴ 平分
故④正确；
∵ ，
∴
故②正确；
∵
∴
故③正确；
∵
∴
故⑤错误．
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、垂直的定义、直角三角
形的性质、余角的性质以及线段的和差，难度不大，熟练掌握各知识点是解题的关键．
3．B
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD
在△ADE和△ADC中，
AE=AC，
∠EAD=∠CAD，
AD=AD，∴△ADE≌△ADC(SAS)，
∴ED=CD，
∴BC=BD+CD=DE+BD=5，
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=(6−4)+5=7
故选B．
【点拨】本题考查全等三角形的应用.三角形全等的判定定理有：边边边（SSS）、边角边
（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、HL.通过证明三角形全等可以得到相等的边
或角，可将待求量进行转化，使问题迎刃而解．
4．D
【分析】
作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和
S ＋S ＝S 得到 ×4×7＋ ×4×AC＝24，然后解一次方程即可．
△ADB △ADC △ABC
【详解】
作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S ＋S ＝S ，
△ADB △ADC △ABC
∴ ×4×7＋ ×4×AC＝24，
∴AC＝5，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形
的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问
题，属于中考常考题型．
5．C
【详解】
试题分析：根据等腰三角形的三线合一定理可得：∠1=∠2，∠BDE=∠CDF，根据角平分线的性质可知：AD上任一点到AB、AC的距离相等，故正确的有3个，选C．
6．B
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，
则PC＞PE，PD＞PF，
∴CD＞PE+PF，
即CD＞P点到∠AOB两边距离之和．
故选B.
7．B
【分析】
连接AP，根据角平分线的判定定理得到点P在∠A的就平分线上，根据等腰三角形的性质
得到AD⊥BC，BD=DC，根据勾股定理、三角形面积公式计算即可
【详解】
解：连接AP，
∵PF⊥AB，PE⊥AC，PD⊥BC，
∴∠PFA＝∠FEA＝90°，
∵
∴PF＝PE
在Rt△PAF和Rt△PAE中，
∴Rt△PAF≌Rt△PAE（HL）
∴∠PAF＝∠PAE
∴PA是∠A的平分线。
∴点P在∠A的就平分线上，
∵AB=AC，PD⊥BC，
∴AD⊥BC，BD=DC=6，根据勾股定理可得：
，
设PD、PE、PF分别为x、3x、3x，
则： 、
解得：
即PD= ，
∴AP= ,
故选；B
【点拨】本题主要考查角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面
积公式，解题的关键的综合运用所学知识.
8．B
【分析】
根据段垂直平分线的判定定由AC＝AD得到点A在线段CD的垂直平分线上，由BC＝BD
得到点B在线段CD的垂直平分线上，而两点确定一直线，所以可判断AB垂直平分CD．
【详解】
解：∵AC＝AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC＝BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．
故选B．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质：到线段两端点的距离相等的点在这条
线段的垂直平分线上；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．D
【详解】
试题分析：根据P到BD和BC的距离相等可知点P在∠DBC的角平分线上，根据P到BC
和CE的距离相等可知点P在∠BCE的角平分线上，根据P到BD和CE的距离相等可知点
P在∠BAC的角平分线上，故本题选D．
10．C
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用
△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】
如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S = AB•DE= ×14•DE=14，
△ABD
解得DE=2，
∴CD=2．故选C.
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，掌握性
质是解题的关键．
11．D
【分析】
过点 作 于 ，然后利用 的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：过点 作 于 ，
是 的角平分线， ，，
，
解得 ．
故选： ．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性
质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
12．C
【分析】
过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据直
角三角形30°所对的边等于斜边的一半可得．
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠POB=15°，
∵OD=DP=2，
∴∠OPD=∠POB=15°，
∴∠PDE=30°，
∴PE= PD=1，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PC=PE=1，
故选：C．
【点拨】此题考查的是角平分线的性质和直角三角形30°所对的边等于斜边的一半的应用、等腰三角形的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和直角三角形30°所对的边
是斜边的一半是解题关键．
13．D
【详解】
解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP．
故选D．
14．C
【分析】
利用等腰三角形的性质和基本作图得到 ，则 平分 ，利用 和三
角形内角和计算出 ，从而得到 的度数.
【详解】
由作法得 ，
∵ ，
∴ 平分 ， ，
∵ ，
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
15．B
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】
第一步：以 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 ， 于点 ， ；
∴ ；
第二步：分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于点 ；∴ 的长；
第三步：画射线 ．射线 即为所求．
综上，答案为： ； 的长，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
16．42
【详解】
解：连接AO,可知AO平分∠BAC,由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即
考点:角平分线的性质.
17．54
【分析】
两直线平行，同旁内角互补，可求出∠FEB，再根据角平分线的性质，可得到∠BEG，然
后用两直线平行，内错角相等求出∠2．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠BEF=180°-∠1=180°-72°=108°，∠2=∠BEG，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG= ∠BEF= ×108°=54°，
故∠2=∠BEG=54°．故答案为54．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行线的性质：①两直线平行同位
角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理
时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.
18．①④．
【分析】
①利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可判断．
②利用反证法进行判断．
③根据∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝90°﹣∠ACB﹣ （180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝ （∠BAC﹣
∠ACB），由此即可判断．
④利用全等三角形的性质证明CA＝CB即可判断．
【详解】
解：∵△ABC角平分线AE、CF交于点P，
∴∠CAP＝ ∠BAC，∠ACP＝ ∠ACB，
∴∠APC＝180°﹣（∠CAP+∠ACP）＝180°﹣ （∠BAC+∠ACB）＝180°﹣ （180°﹣
∠ABC）＝90°+ ∠ABC，故①正确，
∵PA＝PA，∠PAF＝∠PAH，AF＝AH，
∴△PAF≌△PAH（SAS），
∴∠APF＝∠APH，
若PH是∠APC的平分线，则∠APF＝60°，显然不可能，故②错误，
∵∠DBP＝∠DBC﹣∠PBC＝90°﹣∠ACB﹣ （180°﹣∠BAC﹣∠ACB）＝ （∠BAC﹣
∠ACB），故③错误，
∵BD⊥AC，PH∥BD，
∴PH⊥AC，
∴∠PHA＝∠PFA＝90°，
∵∠ACF＝∠BCF，CF＝CF，∠CFA＝∠CFB＝90°，
∴△CFA≌△CFB（ASA），∴CA＝CB，故④正确，
故答案为①④．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．4．
【分析】
过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可
求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，
此题得解．
【详解】
过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为4．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利
用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
20．15
【详解】试题分析：根据角平分线的性质可得：DE=AD，结合∠A=90°，∠CED=90°，可得：
△ACD和△ECD全等，则AC=CE，即△BDE的周长
=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE=AC+BE=CE+BE=BC=15cm．
点拨：本题主要考查的就是角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ACD和
△ECD全等是解决这个问题的关键．在三角形的题目中，如果出现角平分线，除了想到角
相等之外，还应该想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；如果题目
中出现中垂线，我们也不能忘记中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相
等．
21．15
【分析】
试题分析：过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即
可．
【详解】
解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是: ×DE×BC= ×10×3=15，
故答案为15．
考点：角平分线的性质．
22．大于等于2
【详解】
PQ垂直OM时，PQ=PA=2最小，所以PQ范围是大于等于2.
23．100°
【详解】
试题分析：根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得∠ABC=2∠DBC=2×50°=100°．
考点：角平分线的性质．
24．90°
【详解】
试题分析：根据点P到AB、BC、CD的距离相等可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，
根据平行线的性质可得：∠ABC+∠BCD=180°，则∠PBC+∠PCB=90°，则∠P=90°．
25．3
【分析】
由题意根据角平分线的性质及第一象限内点的坐标特点进行分析计算即可得出答案．
【详解】
解：∵由题意可知，点C在∠AOB的平分线上，
∴ ，解得 ．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质以及坐标点的性质，熟练掌握并利用角平分线的作
法得出C点坐标性质是解题的关键．
26．16
【分析】
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=2，根
据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可作答．
【详解】
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=2，∴△ABC的面积是：S +S +S
△AOB △AOC △OBC，
= ×AB×OE+ ×AC×OF+ ×BC×OD，
= ×2×（AB+AC+BC），
= ×2×16=16，
故答案为16．
【点拨】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角的平分线上的点
到角的两边的距离相等．
27．3
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算
即可得解．
【详解】
解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S = ×4×2+ AC×2=7，
△ABC
解得AC=3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
28．SSS
【分析】
连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
【详解】
解：连接NC，MC，在△ONC和△OMC中
，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
故答案为SSS．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，
题型较好，难度适中．
29．28
【分析】
利用基本作图得到AD平分 ，再根据角平分线的性质得点D到AB、AC的距离相等，
于是利用三角形面积公式得到 的面积： 的面积 ： ：4，从而可计
算出 的面积．
【详解】
解：由作法得AD平分∠BAC，则点D到AB、AC的距离相等，
所以△ACD的面积：△ABD的面积=AC：AB=3：4，
所以△ABD的面积= ×21=28．
故答案为28．
【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图 作一条线段等于已知线段；作一个角
等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线
也考查了角平分线的性质．
30．55°
【分析】
根据尺规作图的痕迹，作了AC的垂直平分线和∠DAC的平分线，先根据矩形的性质和平
行线的性质得到∠DAC的度数，再利用角平分线和互余计算出∠α的对顶角的度数，然后
根据对顶角的性质得到∠α的度数．
【详解】解：根据尺规作图的痕迹，MN垂直平分AC，AE平分∠DAC，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB=70°
∴∠AEN=
∴∠α的度数为55°
故答案为：55°
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般
是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性
质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性
质．
31．见解析
【分析】
根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．
【详解】
证明：∵OC平分∠MON，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS）．
【点拨】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定．全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，H.L．
32．（1）15°；（2） ，理由见解析
【分析】
（1）先根据三角形内角和可得到 ，再根据角平分线与高线
的定义得到 ， ，求出 ，然后利用
计算即可．
（2）根据题意可以用 和 表示出 和 ，从而可以得到 与 的
关系．
【详解】
解：（1） ， ， ，
．
是 的角平分线，
．
为 的外角，
．
是 的高，
．
．
（2）由（1）知，
又 ．
，
．
【点拨】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关
键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
33．见解析
【分析】根据已知条件证明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可得到结论.
【详解】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中 ，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【点拨】此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的判定定理，正确理解题意证明
∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键.
34．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB+CD＝AC
【分析】
（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，
从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB＝
∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得AB＝AE，CD＝CE，然后证明即可．
【详解】
（1）证明：过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，又∵∠D=90°，OE⊥AC，
∴OC平分∠ACD．
（2）证明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝ ×180°＝90°，
∴OA⊥OC．
（3）结论：AB+CD＝AC．
理由：∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE，
同理可得CD＝CE，
∵AC＝AE+CE，
∴AB+CD＝AC．
故答案为：AB+CD＝AC．
【点拨】本题考查了角平分线性质及判定以及全等三角形的判定与性质，熟记角平分线上
的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，并作辅助
线构造出全等三角形是解题的关键．
35．（1）画图见解析；（2）证明见解析.
【详解】
试题分析：（1）①以点A为圆心，AB的长为半径画圆弧交射线BM与点C，连接AC；②
以点B位圆心画一段圆弧分别交AB、BC于两点，然后分别以这两个点位圆心，画两段半
径相等的圆弧并交于一点，连接此点与B点并延长交AC于点D；③以点C位圆心，CD的
长为半径画圆弧交射线CM于点E，连接DE；（2）猜想BD=DE，要证明DE=BD，即要
证明∠1=∠3，有题目已知条件不难得出∠1= ∠4，∠3= ∠4，即可证明.
试题解析：
（1）如图所示：（2）BD= DE.
证明：∵BD平分∠ABC ，
∴∠1= ∠ABC ，
∵ AB = AC ，
∴∠ABC=∠4，
∴∠1= ∠4，
∵CE=CD ，
∴∠2=∠3，
∵∠4=∠2＋∠3，
∴∠3= ∠4，
∴∠1=∠3，
∴BD= DE .
点拨：（1）掌握尺规作图作角平分线的方法；
（2）掌握等腰三角形的性质.
