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专题 06 一次函数与三角形综合问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、一次函数与三角形的面积问题..............................................................................................................1
题型二、一次函数与三角形全等问题..................................................................................................................6
题型三、一次函数与三角形存在问题................................................................................................................13
题型四、一次函数中折叠的综合问题................................................................................................................19
B综合攻坚・能力跃升
题型一、一次函数与三角形的面积问题
1.如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ， 与 轴交于点 ，直线 经过点 ， ，已知
， ，直线 与 相交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)求 的面积；
2．如图，直线 与x轴交于点A，与直线 交于点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)判断 是什么特殊三角形，并说明理由．
3．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是 的中点．(1)求点C的坐标；
(2)在x轴上找一点D，使得 ，求点D的坐标；
(3)点P在y轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的2倍，直接写出点P的坐标．
4．如图，已知直线 与坐标轴分别交于A， 两点，与直线 交于点 ．
(1)若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标；
(2)若点 在直线 上，点 横坐标为 ，且 ，过点 作直线平行于 轴，该直线与直线
交于点 ，且 ，求点 的坐标．
题型二、一次函数与三角形全等问题
5．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线 于点A．若点C是射线 上的
一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与 全等，则 的长为（ ）
A．3或 B．4或 C．3或 D．4或
6．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线 于点A．若点C是射线 上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与 全等，则点D的坐标为
．
7.如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 于点C，点P在直线 上
运动，点Q在y轴的正半轴上运动．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求 的长；
(3)若以O，P，Q为顶点的三角形与 全等，求点Q的坐标．
8．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．
(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点
F．求点E的坐标；
(2) AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
△
题型三、一次函数与三角形存在问题
9.如图，在平面直角坐标系中，将直线 向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴
分别交于A，B两点．(1)求直线l的解析式及点A，B的坐标．
(2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形，请求出符合条件
的所有点M的坐标．
10．如图，过点 的直线 与坐标轴相交于 、 两点，已知点 是第二象限的点，设
的面积为 ．
(1)写出 与 之间的函数关系，并写出 的取值范围；
(2)当 的面积为 时，求出点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点 ，使得 与 、 、 中任意两点形成的三角形面积也为 ，
若存在，请直接写出点 的坐标．
11．如图，已知点 是正方形 的一个顶点，E是AB的中点，点P是直线CE上一点．
(1)求点E的坐标和直线 的解析式；
(2)若 的面积为21，求此时P点坐标；
(3)若点P是直线 在第一象限的一个动点，连接 ，是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，
请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由．题型四、一次函数中折叠的综合问题
4
12．如图，直线y x8与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 是线段 上的一点，若将 沿
3 x y B A C OA ABC BC
折叠，点A恰好落在x轴上的A处，若P是 y 轴负半轴上一动点，且 BCP是等腰三角形，则P的坐标为
______．
4
13．如图，直线y x4与 轴、 轴分别相交于点 ， ，点 在 轴上，将 沿 折叠，点
3 x y A B C y AOC AC
O恰好落在直线AB上，求点C的坐标．
14.如图，直线 与 轴， 轴分别相交于点 和点B，M是 上一点，若将 沿
折叠，则点 恰好落在 轴上的点 处．求：
(1)求A、B的坐标；
(2)求 的面积．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线yx4与x轴交于点A，与y轴交于点
B．(1)求点A，B的坐标；
(2)在直线AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)若将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕BC所在直线的表达式．
一、单选题
1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）一次函数 的图象与坐标轴所围成的三角形面积
是（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若一次函数 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，则 为
（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，直线 上三点A，B，C的横坐标依次为 ，1，2，
分别过点A、B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题4．（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数 的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则 的值
为 ．
5．（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，直线 的解析式为 分别与 ， 轴交于 ， 两点，
点 的坐标为 ，过点 的直线交 轴负半轴于点 ，且 ．在 轴上方存在点 ，使以点
， ， 为顶点的三角形与 全等，则点 的坐标为 ．
6．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，射
线 于点 ，若点 是射线 上一动点，点 是 轴上的一动点，若以 ， ， 为顶点的三角
形与 全等，则点 的坐标为
三、解答题
7．（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，直线 的表达式为 ，且与x轴交于点A，直线
的表达式为 ，且与 轴交于点 ，直线 ， 交于点C．
(1)求A、C两点的坐标；
(2)求三角形 的面积；(3)在直线 上存在一点P，使得 ，请直接写出点P的坐标．
8．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)求 、 的长；
(2)已知点 ，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与 全等？若存在，请
直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是
的中点．
(1)求点C的坐标；
(2)在x轴上找一点D，使得 ，求点D的坐标；
(3)点P在y轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的2倍，直接写出点P的坐标．
10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图， ， 满足 ．
(1)直接写出直线 的解析式为______；(2)如图1，已知 ，D为直线 上一点，若 ，求点D的坐标；
(3)如图2，点P为线段 上一点，过P作 ，交y轴于点Q，若直线 将三角形 的面积分割
为3∶5的两个部分，求点P的横坐标．
11．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知函数 的图象与y轴交于点A，一次函数 的图
象经过点 ，与 x轴以及 的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为 ．
(1)求k，b，n的值．
(2)求四边形 的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说出理由．
12．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中， ，且 满足
，连接 交 轴于点C， 在 轴的负半轴上，过点 作直线 的平
行线交 轴于点 ．
(1)求 的值；
(2)如图1，若 轴上存在一点 ，使得三角形 的面积为8，求出点 的坐标；
(3)如图2，点 为直线 上一点，使得 ．且点 在第二象限（ 表示三角形 的面
积）
①求点 的坐标；（提示：可以去思考一下 与 面积的关系
②求点 的坐标（用含 的式子表示）．
