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专题05 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型
等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三
角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方
形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，
同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用
条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................4
模型运用.............................................................................................................................................................5
模型1.等直内接等直模型........................................................................................................................5
模型2.等直+高分线模型........................................................................................................................10
..................................................................................................................................................14
等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些
教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模
型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要
工具。
（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在 中， ， 是 边上的中线，
点E是 边上一动点（不与A、B重合），连结 ，过点P作 的垂线交 于点F，连结 ．有下
列四个结论：① ； ② 是等腰直角三角形； ③ ； ④ ．其中一
定正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】解：∵在 中， ， 是 边上的中线，
∴ ， ， ，
∴ 均为等腰直角三角形， ，∴ ，故①正确；
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ， ∴ 是等腰直角三角形，故②正确；
∴ ，故③正确；
∵ ，∴ ，当 为 的中位线时，满足 ，此时 ，
∵点E是 边上一动点，∴无法确定 是否为 的中位线，
∴无法判断 和 的大小关系，故④错误；故选∶B
（2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角 中， ， 平分 ，交 于 ，且
于点 ， 边上的中线 交 于 ，连接 ．则下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：延长 ， 交于点H，连接 ，
∵ 为等腰直角三角形，D为 中点，∴ ；∵ 平分 ，∴
，
又∵ ，D为 中点，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，故A选项正确，不符合题意；
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，故B选项正确，不符合题意；
∵ ， ，∴ ，
∴ ，故C选项错误，符合题意；
∵ 为等腰直角三角形，D为 中点，∴ 垂直平分 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，∴ ，故D选项正确，不符合题意；故选：
C．
1）等直内接等直模型
条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。
结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④ ；
⑤ ；⑥ 。
（注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！）
证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点 是 的中点
同理可得： ，
，∵AB=AC，∴AE=FB；
又 是直角， 是等腰直角三角形，同理：易证 是等腰直角三角形。
∴AE+AF=FB+AF=AB，∴ 。
，∴S =S +S =S +S =S ，∴ 。
AEPF AEP APF AEP CPE APC
∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴2）等直+高分线模型
条件：如图， 中， ， 于 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于
点 ， 是 边的中点，连接 与 相交于点 ．
结论：① ；② ；③ 是等腰三角形；④ ；⑤ ．
证明： ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
在 和 中 ， ， ．
平分 ， ，
∵ ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， 是等腰三角形． ， ， ，
平分 ， 点 到 的距离等于点 到 的距离， ，
∵ ，∴ ，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴ 。
模型1.等直内接等直模型
例1（2024·广东广州·中考真题）如图，在 中， ， ， 为边 的中点，点 ，
分别在边 ， 上， ，则四边形 的面积为（ ）A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【详解】解：连接 ，如图：∵ ， ，点D是 中点，
∴ ∴ ，
∴
又∵ ∴ 故选：C
例2（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在等腰直角 中， ， ， 于
点F，点 D，E分别在边 上，连接 ， ，下列结论：① ；② ；③
，其中正确的结论的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】解：∵在等腰直角 中， ， ， ，
∴ ， ， ，∴ ，故①正确；
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，故②正确； ，∵ ，∴ ，即 ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ；故③正确；故选D．
例3（24-25八年级·河北·培优）如图，在 中， ，点 是 的中点，点
在射线 上运动， ，交直线 于 ，连接 ．在 点运动的过程中，下列结论：① ；
② 长度的最小值为2；③当点 在 之间运动时，四边形 的周长和面积保持不变；④
．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①连接 ，如图，∵ 是等腰直角三角形， ，D为 的中点，
∴ ∴
∵ ∴
∵ ∴ ∴ 又 ∴
又 ∴ ，∴ ，故①正确；
②设 ，则 ，在 中， ，
∴ ，
∵ ∴当 时， 有最小值为 ，故②错误；
③∵ ∴ 又 ∴ ,∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴
∵点E变化时， 也会发生变化，∴四边形 的周长会发生变化，故③错误；
④∵ ，∴ 在 中， ，
∴ ，故④正确，∴正确的结论有2个，故选：B
例4（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在正方形 中，点 是对角线 、 的交点，过点
作射线 、 分别交 、 于点 、 ，且 ， 、 交于点 ，连接 ，DE．给
出下列结论：① ；② ；③四边形 的面积为正方形 面积的 ；
④ ⑤ 其中正确的为（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
【答案】D
【详解】解：①在正方形 中， ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
， ，故①正确；
②在正方形 中， ， ， ，
， ， ；故②正确；
③由①全等可得四边形 的面积与 面积相等，
四边形 的面积为正方形 面积的 ，故③正确；
④ ， ， 四边形 为正方形， ， ，在 中， ， ，∵ 不成立 故④不正
确；
， ， ， ， ，
， ， ，故⑤正确；
综上所述，正确的是①②③⑤，故选：D．
例5（24-25八年级上·山西临汾·期末）综合与实践
问题情景：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，在等腰 中， ，
，点D是 的中点，点E是直线 上一个动点，过点D作 ，交直线 于点F．
初步探究：（1）如图①，当点E在线段 上时，请判断线段 ， 的数量关系：________．
类比探究：（2）如图②，当点E在线段 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
拓展延伸：（3）如图③，在四边形 中， ， 平分 ，以D为顶点作
，交 于点F，交 于点E，若 ，求四边形 的面积．（备注： 所对的直角
边等于斜边的一半）
【答案】（1） ；（2）成立，理由见详解；（3）
【详解】（1） ．理由如下∶如图①，连接 ，
， ， 是 的中点， ， ，和 是等腰三角形，即 ，
， ， ，即 ，
在 和 中， ， ， ；
（2）当点E在线段 的延长线上时，（1）中的结论 仍然成立，
理由如下：如图②，连接 ， ， ， 是 的中点，
， ，
和 是等腰三角形，即 ， ，
， ， ，
， ， ，即 ，
在 和 中， ， ， ；
（3）如图③，作 于 ， 于 ，
平分 ， ， ， ，
， ， ，
， ， ，
，
平分 ， ， ， ，
， ，
， ， ，．
模型2.等直+高分线模型
例1（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在 中， ， ， 平分 ，
与 相交于点 ， ，交 延长线于 ，且垂足为 ， 是 边的中点，连接 与 相交
于点 ，则下列结论① ；② ；③ ；④ ；⑤ 正确的
个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，故①正确；
∵ 平分 ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，故②正确，连接 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，故③错误；
∵ ，∴ ，故④正确；作 于M．
∵ 平分 ， ，∴ ，∵ ，且 ，∴ ，故⑤错误，
∴正确的有3个；故选：C．
例2（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，等腰直角 中， ， 于D，
的平分线分别交 、 于E、F两点，M为 的中点，延长 交 于点N，连接 ， ，
给出下列结论：① ；② 垂直平分 ；③ 是等腰三角形；④ ；⑤
．其中正确的结论有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解： ， ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
平分 ，∴ ，∴ ，
∴ ， ，故①正确；③正确，
为 的中点，∴ ，∴ 垂直平分 ；故②正确；
， ， ，故④错误；
， ， ，
在 和 中， ， ， ，
， ，故⑤错误，综上所述：其中正确的结论有①②③，共3个，故选：B．
例3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中， ， 于点D， 平分
，且 于点E，与 相交于点F，H是 边的中点，连接 与 相交于点G．(1)求证： ；(2)判断 的数量关系，并说明理由；(3)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2) ，见解析(3)3
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，在 和 中， ， ，
又 ， ． ， ，
∴ ． ．
（2）解：由（1）得 ，∵H是 边的中点，∴ ，∴ ，
∵ 平分 ， ∴ ，由（1）得 ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ；
（3）解：连接 ，
∵ ，H为 中点，∴ 为 的垂直平分线，
， ，
， ，
， ， ．
例4（24-25八年级上·湖北孝感·期中）在 中， ， ，点 为 上一点，点 为
上一点，线段 ， 交于点 ．(1)若 为 的角平分线．①如图 ，已知 ，求证： ；②如图 ，已知 ，求
证： ；(2)如图 ，若 为 的中线，且 ，试探究 ， ， 三条线段的数
量关系是______（直接写出答案）．
【答案】(1)①见解析②见解析(2)
【详解】（1）①证明：∵ 为 的角平分线， ∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ；
②证明：∵ ， ，∴ ，∵ 平分 ，∴ ，
∵ ， ，∴ （ ），
∴ ， ，∴ 垂直平分线段 ，∴ ．
（2）解： ， ， 三条线段的数量关系是 ．如图 中，作 交 的延长
线于 ，∵ ， ，∴ ，
∵ ， ∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，故答案为∶ ．
1．（24-25九年级上·四川广元·期末）如图，在等腰 中， ， 于点 ，将一
直角三角尺的直角顶点放在点 处，当三角尺绕点 顺时针旋转时，两条直角边分别与 交于点（点 、 分别在线段 、 上，端点除外），连接 ，则线段 与 的大小关系式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵等腰 中， ， 于点 ，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选： ．
2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，等腰直角 中， ， 于D， 的
平分线分别交 、 于E、F两点，M为 的中点，延长 交 于点N，连接 ， ．下列结
论：① ；② ；③ 是等边三角形；④ ；⑤ ．其中正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵ ， 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ， ，
∵ 平分 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故①正确，③错误；
∵M为 的中点，∴ ，故②正确；∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，故④正确；
∵ ， ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故⑤正确．综上所述，①②④⑤正确，共4个．故选：D．
3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在 中， ， ，点D为 边的中点，
，将 绕点D旋转，它的两边分别交 、 所在直线于点E、F，有以下4个结论：①
；② ；③ ；④当点E、F落在 、 的延长线上时，
，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：如图1，连接 ， ， ， 为 中点，
， ， ， ，
， ， ， ，在 和 中， ， ，
， ， ， ，故①正确；
，
如图2，当点 、 落在 、 的延长线上时，连接 ，同理可证 ，
，故②错误，由 ，
， ，故③正确；
如图2，连接 ，同理可证： ， ，
， ．故④正确，故选：C．
4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中， ， ，D是 的中点，
点E在 上，点F在 上，且 ．给出以下三个结论：（1） ；（2） 是等腰直
角三角形：（3）S CEDF ．其中正确的有（ ）
四边形
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ，∵D是 的中点，∴ ，根据“三线合一”可知， ， ，
∴ ， ，∴ ，
在 和 中， ∴ ，
∴ ， ，故（1）正确；
∵ ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，故（2）正确；∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故（3）正确；
即：（1），（2），（3）均正确，故选：A．
5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中， ， 为斜边 的中点，
在 内绕点 转动，分别交边 ， 于点 ， （点 不与点 ， 重合），下列说法正确的是
（ ）
① ；② ；③
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【详解】解：①∵ ，∴△ 是等腰直角三角形∴∠
∵点D是AB的中点，∴ ，∠
∵∠ ∴∠ ∴∠
在 和 中 ∴
△ △ △∴ ∴ 是等腰直角三角形∴∠ ，故①正确；
△
②∵∠ ∴∠ ∴∠
在 与 中 ∴△ ∴
△ △
∵ ∴ ，故②正确；③∵△ 是等腰直角三角形，∴
∵当 时， 最短，∴
∴ 即 ，故③错误；∴综上，正确的是①②，故选：A．
6．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，在 中， ， 平分 ， 于点
E， 于点D，且与 交于点H， 于点F，且与 交于点G．则下面的结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确结论的序号有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【详解】解：①∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴①正确；
②∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴②正确；
③过H作 于I，∵ 平分 ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴③不正确；④如图，连接 ，∵ ， 平分 ，∴ ，
∵ 垂直平分 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ∴④正确．
∴正确的有：①②④．故选：B．
7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，等腰 中， ， ， 于点
， 的平分线分别交 、 于 、 两点， 为 的中点， 的延长线交 于点 ，连
接 ，下列结论：① ；② 为等腰三角形；③ ；④ ，其中正确结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解： ， ， ，
， ， ， ，
平分 ， ， ，
， ， ， ，
在 和 中， ， ， ，①正确；
， 为 的中点， 为线段 的垂直平分线， ，②正确；
， ， 平分 ， ，在 和 中， ， ， ，③正确；
在 和 中， ， ， ，
8．（24-25八年级上·黑龙江·期末）如图在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC
于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论中： ①
∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝22.5°，∴∠A＝67.5°；故①正确；
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF＋∠A＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中 ，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴AD＝DF，故②正确；
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴在△ABE与△CBE中 ，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE＝ AC，
∵△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，∴DH⊥BC，故④正确；∴DH不平行于AC，
∵BH＝CH，∴BG≠EG；∴BE≠2BG，故③错误．故选：C．
9．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角MNK，等腰直角 ACB做了一个探究活动：将 MNK的直角顶点M放在 ABC的斜边AB的中点处，设
AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（ ）
A． a2 B． a2 C． a2 D． a2
【答案】C
【详解】解：连接MC，∵ ACB是等腰直角三角形，M是AB的中点，
∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM△=∠B=45°，∴MC=MB，∠BMC=90°，
∵∠EMF=90°=∠BMC，∴∠EMF-∠CME=∠BMC-∠CME，即∠CMF=∠BME，
在△CMF和△BME中， ,∴△CMF≌△BME ，∴ ，
∴四边形CEMF的面积 = ，故选：C．
10．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，在等腰直角 中， ， ，延长 至点D，
使得 ，连接 ， 的中线 与 交于点F，连接 ，过点B作 交 于点
G．连接 ， ．则下列说法正确的有（ ）（多选题）A． B． C．点G为 的中点 D．
【答案】BC
【详解】解：∵ ， 是 的中线，∴ ， ，
∴ ， 垂直平分 ，∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故选项B正确；
∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ 是 的中线，∴ ，∵ ， ，∴ ，故选项A错
误；
∵ ， ，∴ ，故选项D错误；
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴点G为 的中点，故选项C正确；∴说法正确的有 ，故选：BC．
11．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在等腰直角 中， ，点 是 的中点，且
AC=3，将一块直角三角板的直角顶点放在点 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与 、 相
交，交点分别为 、 ，则 ．
【答案】3
【详解】如图，连接CO，∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，∴CO=AO，∠A=∠OCB=45°，且∠AOC=90°，
∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠DOC=∠DOC+∠COE=90°，∴∠AOD=∠COE，
在△ADO和△COE中∵∠A=∠OCE，AO=CO，∠AOD=∠COE∴△ADO△COE(ASA)，
∴AD=CE，∴CD+CE=CD+AD=AC=3，故答案为：3.
10．（2025·遵义·校考一模）如图，在 中， ， ， 于点 ，过 点作
的平分线 分别交 ， 于点 ， ，过点 作 交 的延长线于点 ，若 ，
则 的长为
【答案】8
【详解】如图，连接 ，在 中， ， ， ，
∴ ， 为 的垂直平分线，∴ .∴ .
∵ 是 的平分线，∴ ，∴ .
∵ ，∴ .∴ .
∵ 平分 ， ，∴ .∴ .
∵ ，∴ .在 和 中， ，∴ .∴ .故答案：8．
12．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形 中，点 为对角线 的中点，过 点的射
线 ， 分别交 ， 于点 ， ，且 ， ， 交于点 ，有下面结论：①图形中
全等的三角形只有三对；② 是等腰直角三角形；③正方形 的面积等于四边形 面积的
倍；④ ．其中正确结论的个数是 个．
【答案】
【详解】∵四边形 是正方形，点 为对角线 的中点，
∴ ， ， ，
在 和 中， ，∴ ；
在 和 中， ，∴ ；∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ；
同理： ，∴ ，∴全等三角形有 对，∴①不正确；∵ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形；∴②正确；
∵ ，∴四边形 的面积为： ，∴③正确；
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴④正确．
∴正确的选项为：②③④，共 个．故答案为： ．
13．（24-25八年级上·湖北·课后作业）如图，在等腰直角 中，点 是斜边 的中点，以点 为顶
点的直角的两边分别与边 ， 交于点 ， ，连结 ．试说明 是等腰三角形．
【答案】见解析
【详解】解：连结 ，
点 是等腰直角 边 的中点，即 是底边上的中线，
（三线合一）
是等腰直角三角形，即 ， ．
是直角， ，即 ．
在 和 中， ． ． 是等腰三角形．
14．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 满
足 ．(1)求点 、 的坐标；(2)如图1，若 的坐标为 ，且 于点
交 于点 ．①求证： ．②试求点 的坐标．(3)如图2，若点 为 的中点，点 为轴正半轴上一动点，连接 ，过 作 交 轴于 点，当 点在 轴正半轴上运动的过程中，
式子 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的
值．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为
(2)①见解析；② (3) 的值不发生改变，等于4
【详解】（1）解： ；
； 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）①证明： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，
， ， ， ， ，
在 和 中， ， ；
②解： ， ， 点 的坐标为 ；
（3）解： 的值不发生改变，等于4，理由如下：如图，连接 ，
为 的中点， ， ，
， ， ， ，
在 与 中， ， ，
．15．（24-25八年级上·广西南宁·期中）甲、乙两个含 角的等腰直角三角尺如图①放置，则有
，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，则有 ，
，现将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置． 交 于M，
交 于N．(1)求证： ；(2)如图③所示，连结 和 ，请你证明： ；
(3)延长 分别交 ， 所在直线于点F，G，如图④，猜想并证明 与 的位置关系．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) ，证明见解析．
【详解】（1）由题意可得 ，∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；
（2）∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；（3）猜想： ；证明如下：∵ ，∴ ，
∵在等腰直角三角形 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
16．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角 中， ， ，点 为 上
一点， 于点 ，交 于点 ， 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．
(1)若 ，求证： 垂直平分 ；(2)若点 在线段 上运动．
①请判断 与 的数量关系，并说明理由；②求证： 平分 ．
【答案】(1)证明见解析(2)① ，理由见解析；②证明见解析
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ 为 的垂直平分线；
方法二：∵ 且 ，∴BD垂直平分 ；
（2）解： ，理由如下：∵ ，∴ ，
∵ 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵在等腰直角 中， ， ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；
②作 交BD于点N，∴ ，∴ ，
∵ ， ，且 ，∴ ，
∵等腰直角 中， ， ，∴ ，在 和 中， ，∴ ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ∴ 平分 ．
