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专题04 整式及其加减
一、单选题
1．下面式子中符合代数式书写要求的是（ ）
A． B． C． D． 克
【答案】C
【分析】根据代数式的书写要求即可作出判断．
【解析】解：A： 应写成 ，故A错误；
B： 应写成 ，故B错误；
C: 书写正确，故C正确；
D： 克应写成 克，故D错误．
故选：C
【点睛】本题考查代数式的书写要求．熟记相关结论即可．
2．已知 ，0， ， ， ， 中多项式有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据多项式的定义判断即可．几个单项式的和或差叫做多项式．
【解析】由题可知： ， 是多项式，有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多项式的定义判断，准确分析判断是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据去括号法则、合并同类项法则逐项判断即可得．
【解析】解：A、 ，则此项错误，不符合题意；
1B、 ，则此项正确，符合题意；
C、 与 不是同类项，则此项错误，不符合题意；
D、 ，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．下列说法正确的是（ ）
A． 系数是3 B． 的常数项为1
C． 的次数是6次 D． 是二次三项式
【答案】D
【分析】应用多项式和三项式的定义进行判定即可得出答案．
【解析】解：A．因为 的系数是9，所以A选项说法不正确，故A选项不符合题意；
B．因为 的常数项为 ，所以B选项说法不正确，故B选项不符合题意；
C．因为 的次数是4次，所以C选项说法不正确，故C选项不符合题意；
D．因为 是二次三项式，所以D选项说法正确，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式及单项式，熟练掌握多项式及单项式的定义进行求解是解决本题的关键．
5．若 与 是同类项，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据同类项的定义：几个单项式的字母及其字母的指数都相同，进行求解即可．
【解析】解：∵ 与 是同类项，
∴ ，
∴ ；
故选D．
2【点睛】本题考查求同类项中的参数．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键．
6．已知 与多项式 的和为0，其中a，b为常数，是 的值是（ ）
A． B．7 C．3 D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，从而得到 ，再代入，即可求解．
【解析】解：∵ 与多项式的和为0，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：D.
【点睛】本题主要考查了整式加减混合运算的应用，明确题意得到 是解题的关键．
7．设 ， ，则M与N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】计算 的值，根据结果与0比较大小即可．
【解析】解：∵ ， ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了作差法比较大小，熟练掌握整式的加减运算法则以及作差法是解本题的关键．
8．已知 ，那么 的值是（ ）
3A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】先将 降次为 ，然后代入代数式，再根据已知条件即可求解．
【解析】解：∵ ，
∴ ，则 ，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查了已知代数式的值求代数式的值，解决本题的关键是要将未知代数式进行降幂．
9．在学校温暖课程数字兴趣课中，嘉淇同学将一个边长为 的正方形纸片（如图1）剪去两个相同的小长
方形，得到一个的 图案（如图2），剪下的两个小长方形刚好拼成一个“T”字形（如图3），则
“T”字形的外围周长（不包括虚线部分）可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形表示出小长方形的长与宽，即可确定出周长．
【解析】解：根据题意得：小长方形的长为a-b，宽为 ，
则“T”字形的外围周长为 ，
4故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．正整数按如图的规律排列，则2022位于哪一行，哪一列（ ）
A．第45行 第4列 B．第4行 第45列
C．第46行 第3列 D．第3行 第46列
【答案】B
【分析】观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，则由 ，即可判断2022
的位置．
【解析】解：观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，
∵ ，
∴2022在第45列，
∵ ，
∴2022在第4行，即2022位于第4行，第45列．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，由所给的数字得出存在的规律是解答的关键．
二、填空题
11．去括号： ．
【答案】
【分析】利用去括号法则计算．括号前是负号的括号里的各项符号都要改变．
【解析】解： ，
5故答案是： ．
【点睛】本题考查了去括号，解题的关键是掌握括号前是负号时符号的变化．
12．下列说法：① 的系数是 ；② 的次数是3次；③ 是三次三项式；④ 是
多项式．其中说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】 /
【分析】②单项④式④中②的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；
多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多
项式的项数，根据概念逐一分析即可．
【解析】解：① 的系数是 ，故原说法不符合题意；．
② 的次数是3次，故说法符合题意；．
③ 是四次三项式，故原说法不符合题意；．
④ 是多项式，故说法符合题意；．
故答案为②④．
【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，多项式的判断，多项式的次数与项的含义，熟记以上
概念是解本题的关键．
13．若单项式 与 的和为单项式，则 ．
【答案】3
【分析】两个单项式相加能合并，说明两个单项式是同类项，根据同类项的定义列式子求解即可．
【解析】∵单项式 与 的和为单项式，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：3
【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，
是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．
614．将多项式2﹣3xy2+5x3y﹣ x2y3按字母y降幂排列是 ．
【答案】﹣ x2y3﹣3xy2+5x3y+2
【分析】根据多项式的项的概念和降幂排列的概念，将多项式的各项按y的指数由大到小排列可得．
【解析】解：将多项式2﹣3xy2+5x3y﹣ x2y3按字母y的降幂排列是﹣ x2y3﹣3xy2+5x3y+2．
故答案为：﹣ x2y3﹣3xy2+5x3y+2．
【点睛】本题考查了多项式的项的概念和降幂排列的概念．（1）多项式中的每个单项式叫做多项式的项；
（2）一个多项式的各项按照某个字母指数从大到小或者从小到大的顺序排列，叫做降幂或升幂排列．解
题时要注意灵活运用．
15．多项式 是一个 次 项式．
【答案】 五/5 四/4
【分析】根据多项式的项，次数、项数定义，即可判断．
【解析】解析：多项式 有四项，最高次项的次数为五．故该多项式是五次四项式．
故答案为：五，四．
【点睛】本题考查了多项式的项、项数、次数，掌握多项式的项、项数、次数是解题的关键．
16．一个两位数，十位数字是 ，个位数字是 ，这个两位数可表示为 ．
【答案】 /
【分析】根据题意，十位数字是 ，个位数字是 ，则该两位数用“十位上数字 个位数字”即可表示
出来．
【解析】解：∵十位数字是 ，个位数字是 ，
∴这个两位数可表示为 ．
故答案为 ．
【点睛】此题考查代数式的列法，正确理解题意是解决此题的关键．
17．多项式 与多项式 相加后不含二次项，则 的值是 ．
【答案】4
【分析】根据整式加减法则进行计算，再根据不含二次项，二次项系数为0求解即可．
【解析】解： ，
7= ；
∵相加后不含二次项，
∴ ，
∴ ；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式的加减和整式不含某项的问题，解题关键是熟练进行整式加减，明确不含项的系
数为0．
18．已知（x+1）2021＝a+ax1+ax2+ax3+…+a x2021，则a+a+…+a +a ＝ ．
0 1 2 3 2021 2 4 2018 2020
【答案】22020﹣1
【分析】先令x＝1，再令x＝﹣1得出a+a+a…+a =22021÷2，最后令x＝0，a＝1计算即可
0 2 4 2020 0
【解析】解：令x＝1，a+ax1+ax2+ax3+…+a x2021＝a+a+a+a+…+a ＝22021；①
0 1 2 3 2021 0 1 2 3 2021
令x＝﹣1，a+ax1+ax2+ax3+…+a x2021＝a﹣a+a﹣a+…+a ﹣a ＝0；②
0 1 2 3 2021 0 1 2 3 2020 2021
∴①+②得：a+a+a+a+…+a +a﹣a+a﹣a+…+a ﹣a =22021
0 1 2 3 2021 0 1 2 3 2020 2021
2（a+a+a…+a ）=22021
0 2 4 2020
a+a+a…+a =22021÷2
0 2 4 2020
令x＝0，
∴a＝1；
0
∴a+a+…+a +a ＝22021÷2﹣1＝22020﹣1，
2 4 2018 2020
故答案为：22020﹣1．
【点睛】本题考查赋值法求二项式系数和的问题，正确使用赋值法是解题关键
三、解答题
19．列代数式
（1）m，n的绝对值的和的相反数；
（2）a，b两数平方的差与它们和的平方的商；
（3）a的倒数的 与b的2倍的倒数的和．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据题意先表示出m和n的绝对值，然后再表示出它们的和，最后取相反数即可；
8（2）根据题意先表示出 和 ，然后表示出它们的商即可；
（3）根据题意先表示出 和 ，然后再表示出它们的和即可．
【解析】解：（1）m，n的绝对值的和的相反数为 ；
（2）a，b两数平方的差与它们和的平方的商为 ；
（3）a的倒数的 与b的2倍的倒数的和为 ．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词．
20．化简：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
；（6） ．
【分析】根据同类项的概念，合并同类项即可，其中第6小题将 看作一个整体进行计算即可．
【解析】（1）
；
（2）
；
9（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【点睛】本题考查了多项式的加减，掌握合并同类项的方法是解题的关键．
21．（1）求多项式 的值，其中 ；
（2）求多项式 的值，其中 ．
【答案】（1） ， ；（2） ，1
【分析】（1）将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变，合并完同类项
再代入 求值；
10（2）先合并同类项再代入 求值即可．
【解析】解：（1）
．
当 时，原式 ．
（2）
．
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查的是合并同类项，掌握其法则及公式是解决此题的关键．
22．有这样一道题：当 ， 时，求多项式
的值，马小虎做题时把 错抄成 ，王小真没抄错题，但他们做出的结果却
都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．
【答案】理由见解析
【分析】将原多项式进行化简，即可求解．
【解析】解：原式
．
所以这个多项式的值与a，b取值无关、所以两人做出的结果一样．
【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算，熟练掌握整式混合运算的基本步骤是解题的关键．
23．已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b﹣3ab2+4abc．
(1)计算B的表达式；
11(2)求出2A﹣B的结果；
(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a= ，b= ，求(2)中式子的值．
【答案】（1）﹣2a2b+ab2+2abc；（2） 8a2b﹣5ab2；（3）对，0．
【分析】（1）根据B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A列出关系式，去括号合并即可得到B；
（2）把A与B代入2A-B中，去括号合并即可得到结果；
（3）把a与b的值代入计算即可求出值．
【解析】解：（1）∵2A＋B＝4a2b﹣3ab2+4abc，
∴B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A
＝4a2b－3ab2＋4abc－2(3a2b－2ab2＋abc)
＝4a2b－3ab2＋4abc－6a2b＋4ab2－2abc
＝－2a2b＋ab2＋2abc；
（2）2A－B＝2(3a2b－2ab2＋abc)－(－2a2b＋ab2＋2abc)
＝6a2b－4ab2＋2abc＋2a2b－ab2－2abc
＝8a2b－5ab2；
（3）对，由（2）化简的结果可知与c无关，
将a＝ ，b＝ 代入，得
8a2b－5ab2＝8× × －5× × ＝0．
【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，
然后再合并同类项．
24．某文具批发店销售一款笔记本，一次性批发价如下表：
批发数量（本） 不超过200本 超过200本的部分
单价（元） 6元 5元
（1）若小明在该店一次性批发250本上述笔记本，则他需付的费用为 元；
（2）某零售店店主小强分两次向该批发店共批发1200本该款笔记本，第一次批发m本，且第二次批发的
数量超过第一次批发的数量，则小强两次批发笔记本共付费多少元？（用含m的代数式表示）
【答案】（1）1450元；（2）当0＜m≤200时，小强两次批发笔记本共付费（m+6200）元；当200＜m＜
600时，小强两次批发笔记本共付费6400元．
【分析】（1）根据题意，总费用＝200本的费用+50本的费用，可得答案；
12（2）根据第二次批发的数量超过第一次批发的数量，可知1200﹣m＞m，则m＜600，分两种情况分别计
算：①当0＜m≤200时，1200﹣m≥1000，②当200＜m＜600时，600＜1200﹣m＜1000．
【解析】解：（1）200×6+5（250﹣200）＝1450，
答：他需付的费用为1450元；
故答案为：1450；
（2）由题意得：1200﹣m＞m，
∴m＜600，
①当0＜m≤200时，1200﹣m≥1000，
依题意，得
小强两次批发笔记本共付费为：6m+[200×6+5（1200﹣m﹣200）]＝6m+1200+5000﹣5m＝m+6200．
②当200＜m＜600时，600＜1200﹣m＜1000，依题意，得
小强两次批发笔记本共付费为：[200×6+5（m﹣200）]+[200×6+5（1200﹣m﹣200）]＝1200+5m﹣
1000+1200+5000﹣5m＝6400．
综上所述，当0＜m≤200时，小强两次批发笔记本共付费（m+6200）元；
当200＜m＜600时，小强两次批发笔记本共付费6400元．
【点睛】本题考查了列代数式和整式加减法的应用，解题关键是明确题意，分段计算、分类讨论．
25．阅读材料：
我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)
(a+b)=3(a+b)．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极
为广泛．
尝试应用：
（1）把(a−b)2看成一个整体，合并3(a−b)2−6(a−b)2+2(a−b)2的结果是___．
（2）已知 =4，求 −21的值；
（3）已知a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，求(a−c)+(2b−d)−(2b−c)的值．
【答案】（1） ；（2）-9；（3）8
【分析】（1）把(a−b)2看成一个整体，然后合并3(a−b)2−6(a−b)2+2(a−b)2即可得到答案；
（2）根据 ，利用 即可求解；
（3）先根据a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，得到 ，即可得到
13，再把(a−c)+(2b−d)−(2b−c)去括哈合并同类项即可求解.
【解析】解：（1）
；
（2）∵ ，
∴ ；
（3）(a−c)+(2b−d)−(2b−c)
，
∵a−2b=3，2b−c=−5，c−d=10，
∴ ，
∴ ，
∴
∴(a−c)+(2b−d)−(2b−c)=8.
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练运用整体的思想进行求解.
26．观察下面三行数：
2， ， 8， ， 32， ， ……；
4， ， 10， ， 34， ， ……；
， 5， ， 17， ， 65， ……
(1)第一行的第7个数是__________；第一行的第 个数是__________；
(2)设第一行第 个数为 ，则第二行第 个数为__________；第三行第 个数为__________；
(3)第二行能否存在连续的三个数的和为390，若存在，求这三个数，若不存在，说明理由？
【答案】(1)128；
(2) ；
(3)存在；这三个数分别为：130， ，514
14【分析】（1）根据第①行已知数据都是2的乘方得到，再利用第偶数个系数为负数即可得出答案；
（2）利用第②，③行与第1行的大小关系得出即可；
（3）利用已知规律得出第二行数据的规律进而得出方程求出即可．
【解析】（1）解：∵2， ，8， ，32， ，……；①
∴ ， ， ， ，…
∴第①行第7个数为： ；
∵第偶数个系数为负数，
∴第一行的第n个数是 ；
故答案为：128； ．
（2）解：∵4， ，10， ，34， ，…都比第一行对应数字大2，
∴第一行第 个数为 ，第二行第n个数为： ，
∵ ， 5， ， 17， ， 65，…都比第一行对应数字的相反数大1，
∴第一行第 个数为 ，第三行第n个数为 ．
故答案为： ； ．
（3）解：设第二行连续的三个数分别为 ， ， ，根据题意得：
，
解得： ，
∴存在，这三个数为130， ，514．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题．
27．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形 内，未被覆
盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为 和 ．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且 ．
15(1)当 ， ， 时，长方形 的面积是______， 的值为______；
(2)当 时，请用含 的式子表示 的值；
(3)若 保持不变， 变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 内，
当 的值也不变时，求小长方形纸片的长a与宽b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据长方形的面积公式，直接计算即可；求出 和 的面积，相减即可；
（2）用含 的式子表示出 和 的面积，即可求得结论；
（3）用含 的式子表示出 ，根据 的值与 的值无关，整理后，让 的系数为0即
可．
【解析】（1）长方形 的面积为 ；
；
故答案为： ；
（2）
；
（3）∵ ，
整理，得： ，
∵ 的值与 的值无关，
∴ ，
16解得： ．
即 满足的关系是
∵
∴ 即
解得： ．
∴
【点睛】此题考查了整式的混合运算，列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
28．对于一个四位自然数 ，如果 满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数
字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数 为“差同数”．对于一个“差同数” ，将它的
千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为 ，将它的千位和十位构成的两位数减
去百位和个位构成的两位数所得差记为 ，规定： ．例： ，因为 ，故：
7513是一个“差同数”．所以： ， ，则： ．
(1)请判断 是否是“差同数”．如果是，请求出 的值；
(2)若自然数 ， 都是“差同数”，其中 ， （ ， ，
， ， ， ， ， 都是整数），规定： ，当 能被11整除时，求
的最小值．
【答案】(1) 是“差同数”，
(2)
【分析】（1）根据“差同数”的定义和 的定义即可得；
（2）根据“差同数”的定义和已知条件，用一个字母的代数式表示 ，再根据此字母的取值范围即可求出
的最小值．
【解析】（1）解：∵ ，
17∴ 是“差同数”，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，且 ， 都是整数，
∴ 的千位数为 ，百位数为6，十位数为 ，个位数为6，
∵ 是“差同数”，
∴ 即 ，
，
，
∴ ，
∵ ， ，且 ， 都是整数，
∴ 的千位数为3，百位数为 ，十位数为4，个位数为 ，
∵ 是“差同数”，
∴ ，即 ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ， ，
∴ ，
∵ 且 ， ，
∴ ，
18∴ ，
∴ ，
∵ 能被11整除，
∴ 或0或11，
①当 时，则 ，
此时 ，
②当 时，则 ，
此时 ，
③当 时，则 ，
结合 ， ，有 ，
此时 ， 不存在，
综上， 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用、有理数加减乘除运算的应用．理解“差同数”的定义，善于把
新知识转化为常规知识来解决问题是解题关键．
19
