文档内容
专题 02 等腰三角形的性质与判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用等腰三角形的性质求角......................................................................................................................1
题型二、利用等腰三角形的性质求线段长..............................................................................................................3
题型三、利用等腰三角形的性质求角的多解问题..................................................................................................8
题型四、利用等腰三角形的性质求线段长的多解问题........................................................................................12
题型五、等腰三角形的性质与判定多结论问题....................................................................................................17
题型六、等腰三角形的性质与判定综合问题........................................................................................................23
题型七、等腰三角形的性质与判定动点问题........................................................................................................29
题型八、等腰三角形的性质与判定新定义型问题................................................................................................37
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用等腰三角形的性质求角
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数是 ．
【答案】 /120度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质
根据等腰三角形的两个底角相等，再结合三角形内角和定理，即可得到顶角度数．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为 ，
∴它的顶角的度数是 ．
故答案为：
2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在等腰三角形ABC中， ，点E在AC的延长线上，
．若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是掌握等腰三角形的两底角相等，两直线平行，
同位角相等．
由等腰三角形的性质得到 ，由平行线的性质推出 ．
【详解】解： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．3．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，在 中， ，点D在 上，连接 ，若
， ，则 的度数为 ．
【答案】 /28度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理；设 ，由三角形
外角的性质得 ，由等腰三角形的性质得 ，结合 ，
即可求解．
【详解】解：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图
所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在O点相
连并可绕O转动，C点固定， ，点D，E可在槽中滑动，若 ，则 为
度 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键．
设 ，根据等腰三角形的性质可得， ， ．由三角形外角的性质可得，
， ，计算出x的值即可．
【详解】解：设 ，
∵ ，∴ ， ．
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型二、利用等腰三角形的性质求线段长
5．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形 中， ，
若 ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知
识并正确画出辅助线是解题的关键．
作 ，由 ， ，证 ，
再结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2
6．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在 中， ，点P、A分别位于直线 异侧，连
接 ， ， ，当 ， 时，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，过点 作 ，交
的延长线于点 ，利用已知条件证明 ，得到 ，然后分别在 ， ，
中利用勾股定理求出 ，列方程求出 ，最后求出 ，通过作辅助线构造直角三角形，将已
知条件集中起来是解题的关键．
【详解】解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，如图，
则 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，，
，
， ， ，
， ，
，
在 中，
由勾股定理，得 ， ，
设 ，则 ，
在 中，
由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
在 中，
由勾股定理，得 ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰 中， ，D为 延长线上一点，
，垂足为C，且 ，连接 ，若 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解
题的关键．作 于点 ，作 于点 ，三线合一，得到 ，证明 ，
进而得到 ，再利用面积公式进行求解即可．
【详解】解：作 于点 ，作 于点 ，则 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
故答案为：64．
8．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在 中， ， ，点 为 的中点，
点 为 延长线上一点，连接 交 于点 ，过点 作 ，与 的延长线相交于点 ，若
， ， 的面积是36，则 的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，得到 的面积是解题的关
键．
连接 ，先证 ，得到 ，进而得到 ，再由 ，得到
，再结合三角形面积公式求出 的长．
【详解】连接 ，
在 中， ， ，
，
，
点 为 的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
∵
,
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为：8．
题型三、利用等腰三角形的性质求角的多解问题
9．（2025·上海·模拟预测）已知 是等腰三角形， ，点D在腰 上，如果 将 分
割成两个等腰三角形，那么 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质的应用，关键是能根据等腰三角形的性质进行推理．分为两种情况：当 时，根据等腰三角形的性质得出
，推出 ，求出 ，根
据三角形内角和定理求出即可；当 时，设 ，则 ，
， ，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：当 时，
，
，
和 是等腰三角形，
，
，
，即 ，
，
，
；
当 时，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
解得： ，
，
故答案为： 或 ．
10．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在 中， ， ，点 在线段 上运动
（点 不与点 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ．当 是等腰三角形时，
的度数为 ．
【答案】 或 / 或【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理求出 的度数，
再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
，
，
∵ ， 是等腰三角形，
∴分以下三种情况讨论：
①当 时， ，
，此时 点与 点重合，不符合题意；
②当 时， ，
；
③当 时， ，
；
综上， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
11．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图， ， ， ，点 在四边形
的边上，若 是等腰三角形，则 的度数是 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是关键，
注意分类讨论；分三种情况考虑，利用等腰三角形的性质、三角形内角和、平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，当 时，此时点E在边 上时，
∴ ；
当 时，此时 点E与点C重合时，
∴ ，
当 重合时，则 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
综上， 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
12．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知 ， ，在射线 上找一点 （ 不
与点 重合），使得 为等腰三角形，则 的度数是 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分为 当 时，
当 时， 时三种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解： 如图，当 时，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
如图，当 时，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
如图， 时，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： 为等腰三角形时， 的度数是 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
题型四、利用等腰三角形的性质求线段长的多解问题
13．（25-26八年级上·辽宁营口·月考）如图，在 中， ， ， ，
，P、Q是 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿 方向运动，且速度为每秒
，点Q从点B开始沿 方向运动，且速度为每秒 ，P、Q两点同时出发，当点P运动到点
B时两点停止运动，设运动时间为t秒．当点Q在边 上运动时，当 是以 或 为底边的等腰
三角形时， ．
【答案】11或12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，理解题意是解决本题的关键．
利用等腰三角形的性质可分为：以 或 为底边两种情况，分别求得 的值．
【详解】解：设运动时间为t秒．
由题意可知，当点P运动到点B时两点停止运动，则 ，
当点Q在边 上运动时，此时 ，
①当 是以 为底边的等腰三角形时： ，如图所示，则 ，
，
， ．
，
，
，
，
；
②当 是以 为底边的等腰三角形时： ，如图所示，
则 ，
．
故答案为：11或12．
14．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 是长方
形，点A，C的坐标分别为 ， ，点D是 的中点，点P在 上运动，当 是腰长为
5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键．
根据题意分为三种情况： 或 或 ，进行作图求解即可．
【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时 ，如图，在 中， ， ，
∴ ，
∴P的坐标是 ；
②以D为圆心，以5为半径画弧交 于 和 点，此时 ，如图，过 作
于N，过 作 于M，
由作图可知四边形 和四边形 为长方形，
∴ ， ， ， ，
在 中，设 ，则 ， ， ，
∴ ，
解得 ，
则 的坐标是 ；
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
解得 ，
， ，
即 的坐标是 ；
③假设 ，则由 点向OD边作垂线，交点为 ，如图，
则有 ，
，此时的 为等边三角形，
∴ ， ， ，
代入 ，
得 ，
∴排除此种可能．
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
15．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图， 为等腰三角形， 是 边上的高，
，动点 分别在边 上（点 不与点 重合），满足 ．当 为等腰
三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用；分为三种情况：①
，② ，③ ，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：分为3种情况：
①当 时，
∵ 为等腰三角形， 是 边上的高， ，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
∴ ，
；
②当 时，
则 ，
，
，
根据三角形外角性质得： ，
这种情况不存在；
③如图所示，当 时，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
当 为等腰三角形时， 或 ．
故答案为： 或 ．
16．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在 中， ， ， ，动点
P从点B出发沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为t秒．当 为以 或 为底边的等腰
三角形时，t的值是 ．【答案】5或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，分 是以 为底边的等腰三角形和 是
以 为底边的等腰三角形两种情况，结合等腰三角形的定义讨论求解即可．
【详解】解：当 是以 为底边的等腰三角形时，则 ，
由题意得， ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，点P一定在 的延长线上，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ；
当 是以 为底边的等腰三角形时，则 ，
∴ ；
综上所述，t的值为5或 ，
故答案为：5或 ．
题型五、等腰三角形的性质与判定多结论问题
17．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在 中， ，点 为线段 上一动点（不与点
， 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ，下列结论：① ；
②若 ，则 ；③当 时，则 为 中点；④当 为等腰三角形时，
；其中正确的有（ ）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的
性质得到 ，利用角度的转换即可得到 ，故①正确；当 时，
可证明 ，即可得到 ，故②正确；当 时，可得 ，利用
等腰三角形三线合一的性质可得D为 中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得 ，则
可得到 或 ，即可求出 的度数为 或 ，故可得④不正确．
【详解】解：∵ ，
，
， ，
，故①正确；
若 ，
由①得 ，
，
，故②正确；
若 ，则可得 ，
∵ ，
D为 中点，故③正确；
根据三角形外角的性质，可得 ，
故 ，
当 时，
；
当 ，
，故④不正确，
所以正确的为①②③．
故选：A．
18．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 和 中， ，
，连接 ，延长 交 于点F，连接 ．下列结论：① ；②
；③ ；④ 平分 ．其中正确的结论个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本
题的关键．先证明 ，可得 ，则 ，故①符合题意；如图，记 ，
的交点为 ，结合 ，可得 ，故③符合题意； 在 上可以是个动点，
仍然满足 中 ， ，可得 不一定等于 ，故②不符合题意；如图，作
于 ，作 于 ．由全等三角形的对应高相等可得： ，证明
，可得 ，则 平分 ，故④符合题意．
【详解】解： ，
，
，
， ，
，
，故①符合题意；
，
如图，记 ， 的交点为 ，
，
，故③符合题意；
在 上可以是个动点，仍然满足 中 ， ，
不一定等于 ，故②不符合题意；
如图，作 于 ，作 于 ．
，
由全等三角形的对应高相等可得： ，， ，
，
，
平分 ，
故④符合题意；
故选：B．
19．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，在 和 中， ， ，
，C，D，E三点在同一条直线上，连接 ， ．有四个结论：① ；②
；③ ；④ ．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角
形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质．
由 ， ，利用等式的性质得到夹角相等，利用 得出 与 全等，由全等三
角形的对应边相等得到 ，①结论正确；由 与 全等，得到 ，由等腰直
角三角形的性质得到 ，等量代换得到 ，②结论错误；由②结论再
加上 等于 ，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到 ，③结论正确；④结论正
确，利用周角减去两个直角可得答案．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
故①正确．
②∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故②错误．
③由②知， ，
∴ ，
∴ ，
故③正确．
④∵ ，
∴ ，
故④正确．
故①③④都正确．
故选：C．
20．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在 中， ，过点C作 于点D，过
点B作 于点M，连接 ，过点D作 ，交 于点N． 与 相交于点 ，若点E
是 的中点，则下列结论中正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用全等三角形的性
质求解是解答的关键．
可证明 得到 ，则可证明 ，得到 ，故①正确；可证
明 ，得到 ，则可得到 ，进而可证明②③正确；过点 作
于点F，可证明 ，推出 ．进而得到 ，据
此可推出④正确．
【详解】解： ，，
，
又 ，
．
，
，
，
在 和 中，
，
，
，故①正确；
，
，
，
．
在 和 中，
，
，
，故②正确，
．
，
且 ，
，故③正确；
如图，过点 作 于点F，
，
，点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
．
由②得 是等腰直角三角形，
，
，
，
．
，故④正确；
故选：D．
题型六、等腰三角形的性质与判定综合问题
21．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在 中， 平分 ，过线段 上一点
作 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)判断 的形状，并加以证明；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1) 是等腰三角形，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌
握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由角平分线的定义可得 ，根据平行线的性质得到 ， ，推
出 ，即可求证；（2）由角平分线的定义可得 ，推出 ，再根据 得到
，最后根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解： 是等腰三角形，证明如下：
平分 ，
，
，
， ，
，
是等腰三角形；
（2） 平分 ， ，
，
，
，
，
，
．
22．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在 中， ， 于 ， 平分
，交 于点F，交 于点E．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理及角平分线的计算，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得出 ， ，确定 ，再由各角之间的
等量代换及等角对等边判断即可．
（2）根据邻补角得出 ，确定 ，得出 ，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
23．（25-26八年级上·河南信阳·期末）已知：如图， 与 中， ， ，
．
(1)如图1， ， 相交于点M，连接 ．
①求证： ；
②求 的度数（用含n的式子表示）；
(2)如图2，当 时，分别取 ， 的中点P，Q，连接 ， 和 ，判断 的形状，并加以
证明．
【答案】(1)①见解析；②
(2) 为等腰直角三角形，见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理；
（1）①由 ，可得 ，进而可证明 ，结论即可得证；
②由 可得 ，再由三角形内角和定理可得
，即可求解；
（2）由（1）可得 ， ，又因为P，Q分别为 ， 的中点，可得 ，进
而可证明 ，可得 ， ，由 ，可
得 ，即可得出 的形状.【详解】（1）①证明：∵
∴
∴
在 与 中
∴
∴
②解：如图所示：
由①得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
（2）解： 是等腰直角三角形，证明如下：
由（1）得 ，
∴ ， ，
∵P，Q分别为 ， 的中点，
∴ ，
在 与 中
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形.
24．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组
成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这
种模型称为“手拉手模型”．
(1)如图1，在△ 和△ 中， ， ， ，连接 、 ，
当点 落在 边上，且 、 、 三点共线时，与△ 全等的三角形是 ， 的度数为 ．
(2)如图2，已知△ 和△ 为等腰直角三角形，其中 ，连接 、 ，线段
和 交于点 ．
①证明： 且 ；
②如图3，连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ，垂线交 于点 ，请你判断 和 的数
量关系 ，并说明理由．
【答案】(1)△ ，
(2)①见解析；② ，理由见解析
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全
等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）利用 证明△ △ ，得出 ，结合三角形外角的性质即可得出
，即可求解；
（2）①利用 证明△ △ ，得出 ， ，然后利用直角三角形的性质
即可得出 ；
②过点 作 于点 ，过点 作 延长线于点 ，根据垂直的定义得到
，根据余角的性质得到 ，根据全等三角形的判定定理得到
△ △ ，同理：△ △ ，求得 ，根据全等三角形的性质得到 ．
【详解】（1）解：如图1中，
在△ 和△ 中，
，△ △ ，
，
，
，
故答案为：△ ， ；
（2）①证明： △ 和△ 均为等腰直角三角形， ，
， ，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
，
；
② ，理由如下：
过点 作 于点 ，过点 作 延长线于点 ，
， ， ，
，
在 △ 中，
，
，
，
在△ 和△ 中，，
△ △ ，
同理：△ △ ，
， ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
．
题型七、等腰三角形的性质与判定动点问题
25．（25-26八年级上·吉林延边·期末） 中， ，过点C作直线 ，点D从点B
出发，在直线 上以每秒2个单位长度的速度运动，如图①，过点D作 的垂线交直线 于点E．
(1) ________ （在横线上填“>”，“<”或“=”）；
(2)若 ， ，点D运动时间为t秒，当 时，求出t的值；
(3)如图②，若 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出 的度数．
【答案】(1)=
(2)7
(3) 或
【分析】（1）先根据垂直的意义得出 ，再利用平角的意义得出 ，然后利
用直角三角形的两个锐角互余得出 ，从而可得 ，再根据对顶角的性质得出
，从而可得 ；
（2）先利用 证明 ，从而可得出 ，于是可得关于 的方程求解；
（3）当 是以 为腰的等腰三角形时，只有点 在线段 上、点 在线段 的延长线上两种情
况，分别求出 的度数．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：=；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵点D从点B出发，在直线 上以每秒2个单位长度的速度运动，点D运动时间为t秒，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当 ，且点 在线段 上时，如图，
则 ，
∵由（1）得 ， ，
∴ ，∴ ；
当 ，且点 在线段 的延长线上时，如图，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的度数为 或 ．
26．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在等腰 中， ， ， 于点
D．动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线 运动，连接 ，点P不与点D、点A
和点B重合．设动点P运动时间为t秒（ ）．
(1)求线段 的长度；
(2)当点P在边 上运动且 时，求 的长度；
(3)当 的面积是 面积的 时，求t的值；
(4)当 是等腰三角形时，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2或
(4) 或【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，勾股定理解答即可；
（2）利用三角形面积不同表示建立等式解答即可；
（3）先计算 面积的 ，再分类计算 的面积，建立等式解答即可；
（4）分类解答即可．
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，本题是动点问题，利用分类
讨论的思想方法解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， 于点D， ，
∴ ．
在 中， ，
．
（2）解：当点P在边AB上运动且 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
即当点P在边 上运动且 时， 的长度为 ．
（3）解： ．
当 时，根据题意可得 ，
解得： ．
当 时，根据题意可得 ，
解得： ．
（4）解：当点P在 上时，
根据直角三角形的斜边大于任何一条直角边，结合垂线段最短原理，得到
，
此时只有 时， 是等腰三角形，
根据题意，得 ，
根据勾股定理，得 ，
故 ，解得 ；
当点P在 上时，
此时只有 时， 是等腰三角形，
过点C作 于点E，
根据题意，得 ， ， ，
根据勾股定理，得 ，
故 ，
故 ；
故 ；
故 ，
综上所述，当t等于 或 时， 是等腰三角形．
27．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， ．点 是边
上一点，且 ．在 上方作射线 ，动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿
射线 运动，连结 、 、 ．设点 的运动时间为 秒．(1)边 的长为______；
(2)当 为等腰三角形时，求 的值；
(3)当 时，探究 与 有怎样的数量关系，并说明理由；
(4)当 为等腰三角形时，直接写出 的值．
【答案】(1)6
(2)
(3) ，见解析
(4) 或
【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定和性质，结合勾股
定理是解本题的关键．综合性较强．
（1）利用勾股定理计算即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质即可解答；
（3）根据直角三角形两个锐角互余，可证明 ，进一步证明 ，即证明
，即得出答；
（4）根据题意可求出 的值和 的最小值，可推断 ，即该等腰三角形不可能是 ．再
分类讨论 和 两种情况结合勾股定理，即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
若 为等腰三角形，则只能是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故 为等腰三角形时， ．
（3）解：当 时，如下图所示：由（2）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（4）解：分类讨论：
当 时，如下图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
此时 ；
当 时：
∵ ， ， ，
∴ ，
点 到直线 的距离与 长度一致， ，
∵ ，
即 ，故该情况不存在；
当 时，过点 作 交 于点 ，如下图所示：∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
令 ，则 ，
∴ ， ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
则 ，
综上， 的值为 或 ．
28．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在 中， ， ，点D为直线 上一
动点（点D不与点B、C重合），以 为直角边在 右侧作等腰直角三角形 ，使 ，连
接 ．
(1)探究：如图①，当点D在线段 上时，求证： ；
(2)拓展：如图②，当点D在线段 的延长线上时，如图③，当点D在线段 的延长线上时，试猜想 、
、 之间的数量关系是否变化；若变化，请直接写出猜想的结论，不需证明；
(3)在（1）和（2）问的条件下，若 ， ，则 的面积为________．
【答案】(1)见解析
(2)当点D在线段 的延长线上时， ；当点D在线段 的延长线上时，(3)4或8
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．
（1）判断出 ，再用 即可得出结论；
（2）当点D在线段 的延长线上时，同探究的方法得出 ，得出 ，即可得出结论；
当点D在线段 的延长线上时同探究的方法得出 ，得出 ，即可得出结论；
（3）利用（1）、（2）中的结论分别求出 ，然后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：当点D在线段 的延长线上时，
同理得， ，
∴ ，
∴ ；
②同理得， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当点D在线段 上时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
当点D在线段 的延长线上时， ，
而 ， ，此时 ，不符合题意，故舍去；
当点D在线段 的延长线上时， ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可证 ，
∴ ，
综上， 的面积为4或8．
题型八、等腰三角形的性质与判定新定义型问题
29．（黑龙江省牡丹江市第五课改子联盟2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）【阅读材料】定义：
如图1，在 中， ，等边 在 的左侧，连接 ， 平分 交
于点F．则称等腰 和 互为“伴侣三角形”， 称为“伴侣角”．
(1)【解决问题】图2中，等边 在 的右侧，其它条件不变，若等腰 和 互为“伴侣
三角形”，求“伴侣角” 的度数；
(2)【拓展延伸】在（1）的条件下， 于点H，如图3，探究 、 ， 之间的数量关系，并
加以证明．
【答案】(1)
(2) ；证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得出 ，根据角平
分线定义得出 ，根据三角形外角的性质得出 ；
（2）根据等腰三角形的性质得出 ， ，求出
，根据直角三角形的性质得出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ；
证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
30．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在 中，若 ， ， ， 满足
，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1所示，若等腰三角形 是“类勾股三角形”， ， ．求 的度数．
(2)如图2所示，在 中， ，且 ．求证： 为“类勾股三角形”．小明同学想
到可以在 上找一点 使得 ，再作 ．
①探索 的形状并说明理由．
②请你帮助小明完成证明过程．
【答案】(1) ；
(2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到 是等腰直角三角形，由
此即可求解；
（2）①根据等边对等角得到 ，由三角形外角的性质得到 ，结合题
意得到 ，根据三角形的定义即可求解；
②根据等腰三角形的性质得到 ， ，在 中，
，在 中， ，由此得到
，结合“类勾股三角形”的定义即可求解．【详解】（1）解： ， ，
， ，
是类勾股三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）解：①等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
是等腰三角形
②由①得 ，
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
是“类勾股三角形”．
31．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个
角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”
【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这
个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是
“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”．【概念理解】
（1）如图1，在 中， ， 和 ________均等三角形（填“是”
或者“不是”）．
（2）如图2，在 中， 为 的角平分线， ，试说明 为 的均等
分割线．
【应用拓展】
（3）在 中， ， 是 的均等分割线，若 是等腰三角形，则 的度数为
________．
【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3） 或 ．
【分析】（1）证明 和 中三个角分别对应相等即可得到结论；
（2）分别证明 ， ， ，可得 与 为均等三角形，证明
，可得 ，可得 为等腰三角形，从而可得结论；
（3）当 ， ，求得 ；当 ，有 ，得 ，即可
求得 ；当 ， ，则 ，不合题意舍去即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 和 是均等三角形.
（2）在 中， ，则 ，
∵ 为角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ 与 为均等三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ 为 的“均等分割线”．（3）①∵ 是等腰三角形， ，
当 时， ，
∵ 是 的均等分割线，
∴ ，
此时 ， ，满足条件；
②当 时， ，
∴ ，
∵ 是 的等角分割线，
∴ ，
则 ，
③当 时， ，
则
那么 （舍去），
故 的度数为 或 ．
32．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）[概念学习]
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么这两个三角形互为“形似三角
形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个
三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中的一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形是
“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
[概念理解]
（1）如图1，在 中， ， ， 平分 ，则 与 ___________（填
“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在 中， 平分 ， ， ．求证： 为 的“等腰分割
线”．
[概念应用]
（3）在 中， ， 是 的等腰分割线，当 是等腰三角形时， 的度数为
___________，当 为等腰三角形时， 的度数为___________．
【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3） ； ．
【分析】（1）由题意推出 ， ， ，从而得出结论；（2）根据题意，通过计算得出 是等腰三角形， ， ，
，从而得出结论；
（3）根据题意，分为当 是等腰三角形和 是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再
分为： ， ， 三种情形讨论；同样当 是等腰三角形时，也分为三种情形
讨论，分别计算出 的度数即可．
【详解】解：（1）∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 与 是互为“形似三角形”，
故答案为：是；
（2）∵在 中, ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 是互为“形似三角形”，且 是等腰三角形，
∴ 为 的“等腰分割线”；
（3）（Ⅰ）当 是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，
①如图1所示：
当 时，则 ，
，
此时， 是“形似三角形”，可知 ，
∴ ，
∴ 舍去；
②如图2所示：当 时，则 ，
此时， 是“形似三角形”，可知 ，
；
③当 时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当 是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，
①如图3所示：
当 时， ，同理可知 舍去；
②如图4所示：
当 时， ，
此时， 是“形似三角形”，可知 ，
，
在 中，由三角形内角和可知 ，得 ，
，
；
③当 时，这种情况不存在；
综上所述：当 是等腰三角形时， 的度数为 ；当 是等腰三角形时， 的度
数为 ．
故答案为： ； ．一、单选题
1．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，在 中， ， 是 的中点，下列结论中不正
确的是（ ）
A． B． C． 平分 D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关
键．由 ， 是 的中点，可得 ， 平分 ， ，即可作出判断．
【详解】解：对于选项B与C：
∵ ， 是 的中点，
∴ ， 平分 ．
∴选项B与C正确．
对于选项A：
∵ ，
∴ ．
∴选项A正确．
对于选项D：
根据题目已知条件，无法得到 ．
∴选项D不正确．
故选：D．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列能判定 为等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ，周长为13
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形
是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系．
【详解】解：选项A：∵ ,
∴ , 三个角均不相等,
∴不能判定为等腰三角形；选项B：∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 为等腰三角形；
选项C：∵ ,
∴ , 不满足三角形三边关系,
∴不能构成三角形, 故不能判定；
选项D：∵ , 周长为13,
∴ ,
∴ ，但 , 不满足三角形三边关系,
∴不能构成三角形, 故不能判定．
故选：B．
3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在 点相连并可
绕 转动， 点固定， ，点 ， 可在槽中滑动．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质是本题关键．
根据等腰三角形的性质设 ，由性质得 ， ，由外角性质可得
，即可求解．
【详解】解：设 ，
，
．
．
，
．
．
．
．
故选：D．4．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在 中， ， 、 分别是 的中线和角
平分线．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，熟练掌握相关的定理是解题
的关键．
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 的度数，再利用角平分线定义即可得出 ．
【详解】解：∵ ， 是 的中线，
∴ ， ，
∴ °，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
故选：B．
5．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ， 于点 ，． ．于点 ，
交于点 ， ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ， 为 延长线
上一点，且使得 ，下列结论：① ；② ；③ ．其中正确
的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，面积问题，正确地作出辅助线
是解题的关键．由 ， 于点 ，得 ， ， ，由
于点 ，得 ，可推导出 ，进而证明 ，得
， ，所以 ，可判断①正确；连接 ，可证明 ，则 ，推导出 ，则 ，可判断②正确；再证明 ，则 ， ，作
于点 ，则 ，所以 ，再证明 ，得 ， ，
所以 ， ，则 ，可判断③正确，于是得到问题的答案．
【详解】解： ， 于点 ，
， ， ，
，
于点 ， ， 交于点 ，
，
，
在 和 中，
，
． ． ，
， ， ，
，
故①正确；
连接 ，则 ，
， ， 于点 ，
， ，
，
，
，
，
，
故②正确；
，
，
，
，
，
，
， ，
作 于点 ，则 ，，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
故③正确，
故选：D．
二、填空题
6．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形
的周长为 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，先分类讨论等腰三角形的腰和底，
再利用三角形的三边关系验证．最后再求周长即可．
【详解】解：若腰长为5，底边为10，则三边为5，5，10，
，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形；
若腰长为10，底边为5，则三边为10，10，5，
∵
， ，满足三角形三边关系，故能构成三角形，
∵则周长为 ．
故答案为：25
7．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在 中， ，D是 的中点， ，则
的大小为 ．【答案】 /20度
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得 ， ，再根据三角形内角和定理，计算即可．
【详解】解：∵ ， 是 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，在 中， ， ，点D为 上一点，
连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理
是解决问题的关键．
过点A作 于点E，根据等腰直角三角形性质得 ，设 ，则 ，
， ，在 中，由勾股定理求出 ，继而可得 的长为
【详解】解：过点A作 于点E，如图所示：
，
是直角三角形，
在 中， ， ，，
设 ，则 ，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
整理得： ，
，或 ，不合题意，舍去，
，
即 的长为
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，在 中， ， 于 ，点 为线段 上
的一点，过点 作 于点E，交 于点G，且 ，过点A作 交 于点D，若
， ，则 为 ．
【答案】
【分析】过点B作 交 的延长线于点M，则四边形 是矩形，设 ，则 ，
， 则 ， ， ，根
据勾股定理解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是
解题的关键．
【详解】解：过点B作 交 的延长线于点M，
则四边形 是矩形，
∴ ， ，设 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴点A到 的距离等于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理，得 ，
解得 ，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在 中， ， ，点D在 边上，和 关于直线 对称， 的平分线交 于点G，连接 ．
（1） 的度数为 ；
（2）设 ，当θ为 时， 为等腰三角形．
【答案】 或 或
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得， ，根据轴对称的性质可知 ，
．结合已知条件，容易证出 ，则 ，从而求出 ；
（2）由三角形内角和定理可得， ，进而得到 ，由轴对称的性质可得，
，从而计算得 ， 若为等腰三角形，有三种可能，即
、 、 ，计算每种情况下 的值，进一步算出θ的值．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
根据轴对称的性质可知， ， ，
∴
∵ 是 的平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）由轴对称的性质可得， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
①当 时， ，∴ ，
解得 ；
②当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
③当 时， ，
∴ ，
解得 ；
综上，当 或 或 时， 为等腰三角形．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三
角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，运用分类讨论思想是解题关键．
三、解答题
11．（25-26八年级上·吉林·期末）如图， 的角平分线 交 于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)作 ，垂足为 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，
灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由平行线得 ，根据角平分线的定义可得 ，即 ，由等
角对等边可得 即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可得 ，再在 中运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
是 的角平分线
，
，∴ ，
是等腰三角形．
（2）解： 是等腰三角形， ，
，
在 中， ．
12．（25-26七年级上·山东威海·期中）现有a、b、c三个有理数，且 ， ．
(1)求a、b、c的值；
(2)若a、b、c分别是 三条边的长度，
①判断 形状，并说明理由；
②求出此时 的周长．
【答案】(1) 或
(2)①等腰三角形，理由见解析；②7
【分析】本题考查了乘方，绝对值，等腰三角形的判定，正确求得a、b、c的值是解题的关键．
（1）利用偶次方的非负性，绝对值方程，可得a、b、c的值；
（2）① 分情况讨论可得 时，无法组成 ，可得 ，此时 为等腰
三角形；
②根据①求出 的周长即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
或 ；
（2）解：①等腰三角形，理由如下：
当 时，
，即
此时无法组成三角形，
a、b、c是 三条边的长度时， ，
，
是等腰三角形；
②此时 的周长为 ．
13．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，已知在 中， ， ， ，
为 的平分线， 是边 上一动点（点 不与 ， 重合），连接 ，过点 作 于点 ，交射线 于点 ．
(1)当点 在点 的左侧运动时，求证： ；
(2)若 ， ，则 的长为______．
【答案】(1)见解析
(2)1或7
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性
质与判定定理是解题关键．
（1）首先证明 ， ，然后利用“ ”证明 即可；
（2）分点 在点 的左侧和点 在点 的右侧两种情况，结合 求解即可；
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为 的平分线， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：当点 在点 的左侧时，如下图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ；
当点 在点 的右侧时，如下图，
∵ ， ， 为 的平分线，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为1或7；
14．（25-26八年级上·全国·期末）如图， ，射线 ，且 ， ，点P是线段
（不与点B、C重合）上的动点，过点P作 交射线 于点D，连接 ．
(1)如图1，当 时， 是等腰直角三角形．（请直接写出答案）(2)如图2，若 平分 ，试猜测 和 的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)4
(2) ，理由见解析
【分析】（1）证明 ，得出 ，根据 ，得出 是等腰直角三角
形；
（2）延长线段 、 交于点E，证明 ，得出 ，证明 ，
得出 ．
【详解】（1）解：当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴当 时， 是等腰直角三角形．
（2）解： 和 的数量关系： ，
证明：如图2，延长线段 、 交于点E，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线定义，等腰直角三角形的判定，余角的性质，
解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
15．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在 中， 为锐角，作 交 的
延长线于点 ．
(1)若 ，则 的度数为_____．
(2)求证： ．
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟
练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意求出 的度数，再根据 ，得出 即可求出；
（2）设 ，根据题意表示出 的度数，再根据 ，表示出 ，即可求出；
（3）过C作 于E，可证明 为等腰直角三角形，则可求出 和 ，再利
用勾股定理计算即可．【详解】（1）解： ∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：设 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，过C作 于E，
∵ ，
∴由（2）得 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
16．（25-26八年级上·福建莆田·月考）规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，
那么称这两个三角形互为“类似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个
三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类
似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．(1)如图1，在 中， ， 平分 ，则 与 ______（填“是”或
“不是”）互为“类似三角形”．
(2)如图2，在 中， 平分 ， ， ．求证： 为 的完美分割线；
(3)在 中， ， 是 的完美分割线，直接写出 的度数．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)∠ACB＝108°或117°或84°或102°
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点．
（1）先求出 、 、 ，然后根据“类似三角形”的定义即可解答从而得
出结论；
（2）可计算得出 ， ， ， ，再根据“完美分割线”
的定义即可证明结论；
（3）分为当 是等腰三角形和 是等腰三角形两种情况，当 是等腰三角形时，再分为：
三种情形讨论，同样当 是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分
别计算出 的度数即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与 互为“类似三角形”．
故答案为：是．
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ 是等腰三角形， ，
∴ 为 的完美分割线．
（3）（Ⅰ）当 是等腰三角形时，
①如图1，
当 时，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴此种情况符合题意；
②如图2，
当 时，则 ，
此时 ，
∴ ；
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴此种情况符合题意；
③当 时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当 是等腰三角形时，
①如图3，当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ； ，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴此种情况符合题意；
②如图4，
当 ， 时，
∴ ，
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴此种情况符合题意；
③当 时，这种情况不存在；
综上所述： 或 或 或 ．
17．（25-26八年级上·全国·期末）【问题情境】某数学兴趣小组在一组课题学习活动中，对以下问题进行
了研究：在 中， 是线段 上一点，连接 ，以 为直角边作等腰，连接 交 于点 ．
【特例感知】（1）如图①，当点 与点 重合时，通过观察图形可知， 与 之间的数量关系为
___________；
【变式探究】（2）如图②，当点 在线段 上，且不与点 重合．
①请问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
②若 ，当 时，求 的长．
【答案】（1） ；（2）①成立，理由见解析；②3
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质：
（1）证明 即可；
（2）①过点 作 于点 ，证明 可得 ，再证 即可得到
结论；②结合①中的三角形全等得 ．
【详解】解：①根据题意可知， ，
∵点 与点 重合，
在 和 中，
，
，
，
；
故答案为： ；
（2）①成立．
理由如下：
如图，过点 作 于点 ，在 和 中，
在 和 中，
，
②∵ ，
由①可知， ，
18．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图1， 中， ，点D在 上，连接 ，在 的
右侧作 ，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)作点C关于 的对称点F，连接 交 于点M，连接 ．
①直接写出 和 的数量关系；
②如图2，点D和点C重合时，求证： ；③如图3，点D不与点C重合， 时，请你通过测量猜想出 与 的数量关系：______，并对
猜想加以证明．
【答案】(1)见解析
(2) ；②见解析；③ ，见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形及等边三角形的判定和性质，轴对称性质等，
①
理解题意，构造全等三角形是解题关键．
（1）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质及角之间的等量代换即可证明；
（2）①根据轴对称的性质可得出结果；②连接 ，根据平行线的判定和性质得出
，再由轴对称的性质得出 ， ，利用等量代换即
可证明；③根据等边三角形的判定得出 为等边三角形，过点E作 交 于点H，连
接 ，利用全等三角形的判定得出 ， ，结合其性质即可
证明．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）①∵点C关于 的对称点F，
∴ ；
②证明：连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点C关于 的对称点F，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③ ，证明如下：
∵ ， ， ， ，∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
过点E作 交 于点H，连接 ，如图所示：
∴ ，
由（1）得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点C关于 的对称点F，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
