文档内容
专题 04 直角三角形的性质与判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、直角三角形的两个锐角互余......................................................................................................................1
题型二、锐角互余的三角形是直角三角形..............................................................................................................3
题型三、判断三边能否构成直角三角形..................................................................................................................5
题型四、在网格中判断直角三角形..........................................................................................................................7
题型五、利用勾股定理的逆定理求解....................................................................................................................11
题型六、勾股定理逆定理的实际应用....................................................................................................................19
题型七、利用HL判定直角三角形全等.................................................................................................................22
题型八、直角三角形全等的性质和HL综合.........................................................................................................25
B综合攻坚・能力跃升
题型一、直角三角形的两个锐角互余
1．（25-26八年级上·广西钦州·期中）在 中，若一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数为
【答案】50度/
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解决此题的关键，根据直
角三角形的性质，两个锐角互余求解即可．
【详解】解：∵在 中，两个锐角的和为 ，一个锐角为 ，
∴另一个锐角为 ，
故答案为：
2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， ， 分别在 上，
连接 ，若 ，则
【答案】
【分析】本题考查余角，根据直角三角形两锐角互余即可解．
【详解】解：在 中， ，
是直角三角形，
，
．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形 中， ， ， ， 是边 上一点，且 ，过点 作 ，交边 于点 ，则 的周长是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，将 的周长转化为 的和是
解题的关键．由直角三角形的性质可得 ， 由垂直的定义及平角的定义可得
， 再结合等腰三角形的性质可得 ，，即可证明 ， 再利用三
角形的周长公式可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
的周长为： ．
故答案为：16．
4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ，
， ，则 的大小是 ．
【答案】 /64度
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．
根据三角形内角和定理可得 ，再由直角三角形的性质可得
，从而得到 ，进而得到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ．
故答案为：
题型二、锐角互余的三角形是直角三角形
5．（2025八年级上·全国·专题练习）在 中， ，若要使 是直角三角形，则 可以是
（写出一个即可）．
【答案】
（或 ）
【分析】本题考查直角三角形的性质．
由已知可得 为直角或 为直角，即可得 的度数．
【详解】解：在 中， ，要使 是直角三角形，则 为直角或 为直角，
若 为直角，则 ，
若 为直角，即 ，则 ，
∴ 可以是 或 ．
故答案为： （或 ）．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）若 中， ，则最大角 ，
是 三角形．
【答案】
直角
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得 ，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
故答案为： ，直角．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，有两个角的度数分别为 和 ，则这个三角形是
三角形。
【答案】直角【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵一个三角形中，有两个角的度数分别为 和 ，
∴第三个角的度数为 ，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
8．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在 中， ， 、 分别在 、 上，连接
，若 ，则 是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键．
根据三角形内角和定理得到 ，进而等量代换得到 ，进一步推出 ，
由此可得结论．
【详解】解： 在 中， ，
，
，
，
，
是直角三角形．
故答案为：直角．
题型三、判断三边能否构成直角三角形
9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）若 的三边分别是 ， ， ，则下列条件不能判断 是直
角三角形的是（ ）
A． B．
C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定
理的逆定理，三角形的内角和定理．据相关知识逐项进行判断即可．
【详解】解：A、 ，且 ，
，则 ，故能判断 是直角三角形；B、设 ， ， ，则 ，
解得 ，
， ， ，无 角，故不能判断 是直角三角形；
C、 ， ，
，故能判断 是直角三角形；
D、 ， ，
，故能判断 是直角三角形；
故选：B．
10．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列条件中，不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判
断各选项是否能推出直角三角形．
【详解】解：∵对于A：设 ， ， ，则 ， ， ，能
判断 是直角三角形．
对于B：设 ， ， ，则 ， ， ，不是直角，不能
判断 是直角三角形．
对于C： ，且 ， ， ，能判断 是直角三角
形．
对于D：设 ， ， ，则 ， ， ，能判断 是
直角三角形．
故选：B．
11．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理分别判断各选项是否能判定直角三角形.
本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握这些定理是解题的关键.
【详解】解：
对于A: ∵ , ，
∴
∴ ，∴ 是直角三角形.
对于B: ∵ , 设 ,
则
∴ k = 30°
∴
∴ 是直角三角形.
对于C: ∵
∴ ，
∴ 是直角三角形（勾股定理逆定理）.
对于D: ∵ , 设
则
∵
∴ 不是直角三角形.
故选：D.
12．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．通过验证各选项是否满足勾股定理或角度是否
为90度来判断即可．
【详解】解：A、∵ ，∴ ，∴以a为斜边的三角形是直角三角形；
B、∵ ，∴三角形是直角三角形；
C、∵ ，∴以c为斜边的三角形是直角三角形．
D、设 ，则 ，∴ ，∴ ，∴三角
形不是直角三角形．
故选：D．
题型四、在网格中判断直角三角形
13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C
都在格点上，则下列结论错误的是（ ）A． B．
C． 的面积为10 D．点A到直线 的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股
定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可．
【详解】解：A、由勾股定理得： ，A选项正确，不符合题意；
B、 ，
，
，B选项正确，不符合题意；
C、 ，C选项错误，符合题意；
D、设点A到直线 的距离为h，
则 ，即 ，
，D选项正确，不符合题意，
故选：C．
14．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 都
在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点 到直线 的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，化简二次根式，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的
距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理二次根式的化简及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可．
【详解】解：A、 ，本选项结论正确，不符合题意；B、 ， ， ，
，
， 本选项结论正确，不符合题意；
C、 ，本选项结论错误，符合题意；
D、设点 到直线 的距离为h
∴ ，
∴
∴
∴点A到 的距离为2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
15．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点
均在网格线的交点上．
(1)直接写出 三边的长度．
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2) 是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是
解题关键．
（1）根据网格特点，利用勾股定理求解即可得；
（2）利用勾股定理的逆定理求解即可得．
【详解】（1）解：由网格可知， ，
，
．
（2）解：由（1）已得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ 是直角三角形．
16．（24-25八年级上·贵州贵阳·月考）如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点 ， ， ， 在
格点上．
(1)四边形 的周长为 ，面积为 ．
(2)直接写出 的 边上的高的长度为 ．
(3)若 是以 为斜边的直角三角形，且构成 的三边都为无理数，则在图中满足条件的格点
共有 个，请在图中画出满足条件的一个 ．
【答案】(1) ；18
(2)
(3)4，图见解析
【分析】此题考查了无理数的概念、勾股定理以及逆定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的运用
方法．
（1）先分别求出 、 、 、 的长，即可求出四边形 的周长，用面积分割法即可求出四边
形 的面积；
（2）设 边上的高为h，先用等面积法表示出 的面积，再由勾股定理求出 ，即可求解；
（3）根据勾股定理找到满足条件的格点E即可，并判断各边是无理数．
【详解】（1）解：由图可得： ， ， ， ，
∴ 四边形 的周长 ；
∴ 四边形 的面积 ；
故答案为： ；18；
（2）解：设 边上的高为 ，
∴ 的面积 ，
∴ ，
∴ 的面积 ，解得 ，
∴ 的 边上的高为 ，
故答案为： ；
（3）解：如图所示，
由（1）得：
，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为三边都为无理数的直角三角形，同理可证： 、 、 为直角三角形；
∴ 满足条件的格点有4个，如图 即为所求．
故答案为：4，如图 即为所求．
题型五、利用勾股定理的逆定理求解
17．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片 ，已知， ， ， ，
将该纸片折叠，若折叠后点 与点 重合，折痕 与边 交于点 ，与边 交于点 ．
(1)求 的面积．
(2)求折痕 的长．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题
的关键．
（ ）先根据勾股定理逆定理，判断 为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可；
（ ）连接 ，根据折叠的性质可知， ， ，设 ，则 ，在
中利用勾股定理即可求出 的长，同理，在 中利用勾股定理即可求出 的长．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，设 ，
∵折叠后点 与点 重合，折痕 与边 交于点 ，与边 交于点 ．
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
18．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在 中，点E为边 上的一点，连接 ，过点A作
，交 延长线于点F，过点A作 ，垂足为D．已知 ， ， ，
．(1)求线段 的长；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理即可求解；
（2）由（1）知 ，利用勾股定理逆定理易证 是直角三角形，则 ，进而推出
，利用平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
，
∵ ， ，
；
（2）证明：由（1）知 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，已知在 中， ， ， ，动
点 从点 出发，沿着 的三条边逆时针走一圈回到 点，速度为 ，设运动时间为 秒．
(1)求 边上的高；
(2) 为何值时， 为等腰三角形？(3)另有一点 ，从点 开始，按顺时针走一圈回到 点，且速度为每秒 ，若 两点同时出发，当
中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 为何值时，直线 把 的周长分成相等的两部
分？
【答案】(1)
(2)当 秒或6秒或 秒或 秒时， 为等腰三角形
(3)t的值为4秒或12秒时，直线 把 的周长分成相等的两部分．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断 是直角三角形，根据三角形的面积公式计算 的长；
（2）分情况讨论：①动点 在边 上时，有一种情况；②动点 在边 上时，有三种情况；③动点
在边 上时，不能构成三角形；
（3）分情况讨论：根据点P在 边上讨论，根据周长平分进行列方程可得结论．
【详解】（1）解：∵已知在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
如图1，
过C作 于D，
∴
∴
∴
则 边上的高是 ；
（2）解：①当点P在 上，如图2，
当 时，
∵∴ ，
∵动点 从点 出发，沿着 的三条边逆时针走一圈回到 点，速度为 ，设运动时间为 秒．
则 ，
②当点P在 上，如图3， 时，过C作 于D，
在 中，
∵ ， 为 边上的高，
∴ ，
则 ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时，
如图4，作 于H，
则 ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴∴ ，
解得 ，
故当 秒或6秒或6.5秒或5.4秒时， 为等腰三角形；
（3）解：如图5，当 时，P在 上，Q在 上，
由题意得： ，
则 ，
解得 ；
如图6，当 时，P在 上，Q在 上，
由题意得： ， ，
则 ，
解得 ，不符合题意；
当 时，P、Q在 上，
直线 与 重合，直线 不可能把 的周长分成相等的两部分；
如图7，当 时，P在 上，Q在 上，
由题意得： ，
则 ，
，
解得 ，
综上，t的值为4秒或12秒．20．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知 中， ，
(1) ______ 填“是”或“不是” 直角三角形，如图1，过点A作 于点H，则线段 的长
度为______；
(2)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角 ， ，点B，D，E在同一条直线上，连接 ，
请求出 线段长，并说明 与 的位置关系；
(3)在同一平面内有一点P，满足 ，且 ，设点A到直线 的距离为h，请直接写出h的值．
【答案】(1)是
(2) ，
(3)
【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等
内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据勾股逆定理即可判断出 是等腰直角三角形，进而由三线合一可知 ，再根据
是等腰直角三角形，即可得解；
（2）由（1）思路过A作 于点L，易得 ，再证 ，即可得 ，
，据此求解；
（3）由（2）思路可构造手拉手全等，并利用等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半得解．
【详解】（1）解： ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
， 是等腰直角三角形，
；故答案为：是， ；
（2） ，
，
过A作 于点L，
则 ，
在 中， ，
，
由题可知 ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
， ，
记 交点为O，
则 ，
，
；
（3）在 中， ，
当点P在 下方时，如图，
连接 ，将 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在四边形 中， ，
，
，
、C、G三点共线，
为等腰直角三角形，
过A作 于点H，则 ，
即h的值为 ；
当点P在 上方时，如图，
同理可得 ，
，
；
综上，h的值为
题型六、勾股定理逆定理的实际应用
21．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，某农场设置了两个灌溉喷头A，B，且 ，B之间的距离为
，为保障灌溉用水供应，在农田边缘的灌溉渠 上安装了一个供水阀 ，供水阀 到 的距离
（ 于点 ）的长为 ， 到喷头 的管道 的长为 ．(1)求供水阀M到喷头A的距离；
(2)试判断灌溉渠 与管道 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)供水阀 到灌溉喷头 的距离为
(2)灌溉渠 与管道 互相垂直，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关
键．
（1）在 中利用勾股定理求出 的长，则可得到 的长，再在 中利用勾股定理求出
的长即可得到答案；
（2）根据（1）所求可证明 ，则 ，即 ．
【详解】（1）解：由题意得 ，
在 中，因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
在 中， ，
所以供水阀 到灌溉喷头 的距离为 ；
（2）解：灌溉渠 与管道 互相垂直，理由如下：
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在笔直的公路 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路
上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为 ，与公路上另
一停靠站B的距离为 ，停靠站A、B之间的距离为 ，且 ．
(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)若公路 修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？【答案】(1) 是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）可证明 ，则由勾股定理的逆定理可得结论；
（2）利用等面积法可求出 的长，再利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下：
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（2）解：由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
答：一辆货车从C处经过D点到B处的路程是 ．
23．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈
道计划沿三角形区域 的岸边布置．由于 段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员
在 上取一点 ，测得 米， 米， 米， 米．
(1)求证： ：
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 米
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关
键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可推出 ；（2）根据勾股定理求出 的长，据此即可求解．
【详解】（1）证明： 米， 米， 米，
则
，
；
（2）解：由（1）得 ，
，
（米），
（米）．
24．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架
， ，两轮中心的距离 ，滚轮半径 ．
(1)判断支架 与 的位置关系，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘 与点 的距离 ， ，且 ， 和 都与地面平
行，求购物车上篮子的左边缘 到地面的距离．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解
此题的关键．
（1）根据勾股定理逆定理计算即可得解；
（2）运用勾股定理可得 ，过点 作 于点 ，运用等面积法求得 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下
， ，
∵ ，
∴
∴ 是直角三角形；
即 ；（2）解： ，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，
由（1）得， 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴购物车上篮子的左边缘 到地面的距离为 ．
题型七、利用HL判定直角三角形全等
25．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在 和 中， ， 与
分别为 边上的中线，且 ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明 ，
再利用 即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明：∵ 与 分别为 边上的中线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴
26．（23-24八年级下·湖南益阳·月考）如图，点B、F、C、E在同一直线上， ， ，，垂足分别为B、E且 ，连接 、 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，常用的判定方法有 ， ， ， 等，解题的关键是准确
寻找全等三角形的条件．
首先由 得到 ，然后证明 ．
【详解】证明： ，
，即 ．
， ，
．
在 与 中，
．
27．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在 中， 是 的中点， ， ，垂
足分别是 、 ，且 .
求证： ．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，中点定义，垂线定义，由垂直定义可得 ，又
是 的中点，所以 ，然后通过“ ”证明全等即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ．
28．（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加
一个合适的条件，使
(1)根据“ ”，需添加的条件是 ；根据“ ”，需添加的条件是 ．
(2)请从（1）中选择一种加以证明．
【答案】(1) ，
(2)见解析
【分析】（1）根据“ ”和“ ”证明三角形全等所需要的条件解答即可；
（2）根据“ ”和“ ”证明三角形全等即可．
【详解】（1）解：根据“ ”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即
．根据“ ”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即 ．
故答案为： ， ．
（2）解：添加“ ”得证明过程如下：
在 和 中，
，
∴ ，
选择“ ”的证明过程如下；
∵ ，
∴ 都是直角三角形，
在 和 中，
，
∴ ．
题型八、直角三角形全等的性质和HL综合
29．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）如图， 平分 平分 ，点F在线段
的延长线上，点E在线段 上，且 ．(1)求证： ；
(2)试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线性质构造全等三角形．
（1）由角平分线得角相等，结合公共边证三角形全等，得 ；
（2）证 ，得
【详解】（1）证明：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ．
理由：
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
30．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，点 为线段 上一点， ， ，
， ， 平分 ．
(1)证明： ．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先证明 ，再由 证明 ；
（2）先证明 是等边三角形，得 ，再证明 ，得 ，设
，则 ，再求出 ，进而由角平分线的定义得
，然后由直角三角形的性质得 ，进而列出方程，求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
答： 的度数为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性
质是解题的关键．
31．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图1，在等腰 中， ， ， 是
的角平分线．
(1)求 ；
(2)求证： ；
(3)如图2，E在 上，过点E作 垂线，垂足为点G，延长 交 的延长线于点F．若E是 的中
点，求证： ；
【答案】(1)67.5°
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查了等角对等边、角平分线的性质定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性
质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键。
（1）根据等腰三角形的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，再根据三角形
外角的性质求解即可；
（2）如图：过点D作 ，垂足为点M，由角平分线的性质可得 ，易证
可得 ，再证明 可得 ，即 ；再根
据线段的和差以及等量代换即可解答；
（3）如图：过点D作 ，垂足为点M，连接 ，延长 交 于点N，易证 ，从而证
明 ，再证明 ，然后运用等量代换即可证明结论。
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ 。
（2）证明：如图：过点D作 ，垂足为点M，∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）证明：如图：过点D作 ，垂足为点M，连接 ，延长 交 于点N，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．由（2）得 ， ，
∴ ，即 ，
∵点E为 中点， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
32．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）【问题初探】（1）如图1 是 的平分线，点D为 上
一点且 ，求证： ．
小明的想法是：过点C，分别作 和 的垂线，通过构造全等三角形解决问题．
小强的想法是：在 上截取 ，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题．
请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以；
【类比分析】（2）如图2， 是等边三角形， 是顶角 的等腰三角形，M是 延
长线上一点，N是 延长线上一点， ．探究 、 、
之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2） ，证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质（ 、 ）、等边三角形的性质、等
腰三角形的性质，以及截长补短法的几何辅助线应用．解题的关键是：借助角平分线的性质构造全等三角
形，利用全等的对应角关系推导角度和的结论；通过截长补短法构造全等三角形，结合等边、等腰三角形
的边角特征，推导线段之间的数量关系．
（1）选择小明的方法，过点 作 于点 ， 于点 ，证 ，得
，再由 ，即可得出结论；
选择小强的方法，在 上截取 ，连接 ，证 ，得 ，
，再证 ，得 ，然后由 ，即可得出结论；
（2）采用“截长补短法”，在 上截取点 ，使 ，连接 ，结合等边及等腰三角形的性质证
明 ，继而可证 ，由全等的性质可得结论．【详解】（1）证明：选择小明的方法，如图，过点 作 于点 ， 于点 ，
则 ，
是 的平分线，
，在 和 中，
，
，
，
，
，
即 ；
选择小强的方法，如图，在 上截取 ，连接 ，
是 的平分线，
，在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
（2）解： ．
证明：如图，在 上截取点 ，使 ，连接 ，为等边三角形，
．
又 为等腰三角形，且 ，
， ．
．
．
在 和 中，
，
．
， ．
又 ， ，
．
．
在 与 中，
，
．
．
．
一、单选题
1．（25-26八年级上·江西宜春·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，
根据直角三角形两锐角互余的性质求解．
【详解】解：∵直角三角形两锐角互余，
∴另一个锐角 ．
故选：C．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形的两个角分别为 和 ，若 ，则这个三角形是
（ ）三角形
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，利用三角形内角和定理求出 的度数，再根据角度关系判
断三角形的类型．
【详解】∵三角形内角和为180°，且 ，
∴第三个角为： ，
∴三角形有一个直角，故为直角三角形；
故选：B．
3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如果用a、b、c表示 的三边，那么分别满足① ；②
；③ ；④ ，下列条件的三角形中，直角三角形有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理（若三角形两
边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形）与三角形内角和为 是解题的关键．
利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一判断每个条件是否符合直角三角形的定义．
【详解】解：① ，整理得 ，
∴①能判定直角三角形，
② ， ，
∴ ，化简得 ，
即 ，
∴②能判定直角三角形，
③∵ ，
设 、 、 ，
则 ，
∴③能判定直角三角形，④∵ ，
设 、 、 ，
则 ，
解得 ，
∴ ， ， ，三个内角均不为 ，
∴④不能判定直角三角形，
∴能判定直角三角形有3个，
故选：C．
4．（20-21八年级上·广东深圳·期末）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方
形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．点A到直线 的距离是2 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，二次根式的运算，利用勾股定理求出
的长，勾股定理逆定理，得到 是直角三角形，面积公式求出 的面积，过点 作
，等积法求出 的长，进行判断即可．
【详解】解：由勾股定理，得： ， ， ，故选项C
正确；
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，故选项B正确；
∴ ，故选项D错误；
过点A作 于点D，则 ，
∴ ，
即点A到直线 的距离是2，故选项A正确；
故选：D．
5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ， 的角平分线 、 相交于
点 ，过 作 交 的延长线于点 ，交 于点 ．现有下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得 ，继而得出 的度数，即可判
断①；推出 ，根据 证明即可，即可判断②；证明 ，得 ，
，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．
【详解】解：在 中， ，
，
∵ 、 分别平分 ，
，
，
，所以结论①正确，符合题意；
，
又 ，
，
，
∵ ，
，所以结论②正确，符合题意；
（全等三角形对应角相等）， （全等三角形对应边相等），
（等量代换），
，， ，
是 的外角，
，
，所以结论③错误，不符合题意；
又 ，
，
即 ，所以结论④正确，符合题意，
综上所述，所有正确结论的序号为①②④．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题
6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图， ， ，要根据“ ”判定 ，
还需添加的一个条件是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成
“ ”），熟练掌握“斜边直角边”的判定方法是解题的关键．
本题利用“ ”再寻找直角边相等即可判断直角三角形全等，然后即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
① ，
在 和 中，
，
∴ ，
② ，
在 和 中，
，
∴ ，
综上所述：还需添加的一个条件是 或 ，
故答案为： 或 ．7．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）如图，在 和 中， ， ，
，则 的度数为 ．
【答案】 /20度
【分析】本题考查了直角三角形的判定及性质，直角三角形的特征，由 可判定 ，由
全等三角形的性质得 ，由 即可求解．
【详解】解： ，
，
（ ），
，
，
，
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在 中， ， ， ，若 于
D，则CD的长 ．
【答案】 /7.2
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式求解，通过计算三边的平方关系判断三角形是否
为直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法建立等式求解 的长即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
9．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图， ，垂足为 ， 是 上的一点， ，连接
、 ，且 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由已知得 ，再证明
即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， ， 于点
M， 于点N．若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明 ，得到 ，
即可得出结果．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图， 于点A， 于点D， 与 相交于点O，
， ．
(1)求证： ≌ ．
(2)判断 是等腰三角形吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等腰三角形，见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据全等三角形的判定与性质得出
解答．
根据等式的性质得出 ，进而利用HL证明 与 全等；
根据全等三角形的性质得出 ，进而解答即可．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
于点A， 于点D，
在 与 中，
，
；
（2）解： ，，
，
即 是等腰三角形．
12．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，
且左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的跨度 相等．
(1)这两个滑梯的倾斜角 与 的大小关系如何？请说明理由．
(2)求右边滑梯的高度 ．
【答案】(1) 与 互余，理由见解析
(2)3米
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）已知 和 中， ， ，利用 可判断两三角形全等，则
，又可知 ，则可知 与 的大小关系
（2）由全等三角形对应边相等可知 ，则题目可求．
【详解】（1）解： 与 互余；
理由：在 和 中，
，
∴ ，
，
又 ，
，
即两滑梯的倾斜角 与 互余；
（2）解：∵ ，
∴ 米，
答：右边滑梯的高度为3米．
13．（25-26七年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造
出该岛的一个数学模型（如图乙四边形 ）， 是四边形岛屿上的一条小溪流，其中 ，
千米， 千米， 千米， 千米．(1)求小溪流 的长．
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1) 千米
(2) 平方千米
【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾
股定理的逆定理是解本题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）将四边形分成两个三角形，求证 为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵ ， 千米， 千米，
∴ （千米）；
（2）解：∵ 千米， 千米， 千米．
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，则 ，
∴ （平方千米）．
14．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图， 在 中， 是高， 点 E 在 上，
．(1)若 ， 求 的长；
(2)求证： ．
【答案】(1)2
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，
对于（1），根据“斜边直角边”证明 ，可得 ，再根据
得出答案；
对于（2），延长 交 于点F，根据直角三角形的性质得 ，再根据全等三角形的
性质得 ，然后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】（1）解：∵ 是 的高，
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
∴ ；
（2）证明：延长 交 于点F．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
15．（25-26八年级上·全国·期中）小明跑步的路线如图，从A点到 D 点有两条路线，分别是
和 ．已知 米， 米，点C 在点 B 的正东方向120米处，点D 在
点 C的正北方向 60米处．(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(2)通过计算比较两条路线哪条更短．(参考数据：
【答案】(1) ，理由见解析
(2) 路线更短
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可．
【详解】（1）解： ，
理由如下：在 中， 米， 米， 米，
， ，
，
，
；
（2）解：在 中， 米， 米，
由勾股定理得： （米），
（米）， （米），
，
路线更短．
16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数 与 轴相交于点 ，与 轴交于点
．
(1)求出点 和点 的坐标．(2)点 的坐标是 ，求证： 是直角三角形．
(3)在直线 是否存在点 ，使得 是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出 的面积，如果
不存在，请说明理由．
(4)点 是直线 上的点，若 面积是10，请你求出点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)存在， 的面积为 或
(4)点E的坐标为 或
【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，三角形的
面积．
（1）分别令 ， ，即可求出函数图形与坐标轴交点的坐标；
（2）根据两点间距离公式求出 ， ， 的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）当 时， 是等腰直角三角形．分点D在线段 上和当点D在线段 的延长线上两
种情况求解即可；
（4）根据 ，得到点E在 的延长线上，或在 的延长线上，分两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：对于一次函数 ，
令 ，则 ，解得 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ．
（2）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
（3）解：由（2）可知 是直角三角形， ，
∴当 时， 是等腰直角三角形．
如图，当点D在线段 上时，∵ ，
，
∴ ．
如图，当点D在线段 的延长线上时，
．
综上所述，直线 存在点 ，使得 是等腰直角三角形， 的面积为 或 ．
（4）解：∵ ， ，
∴点E在 的延长线上，或在 的延长线上，
①如图，当点E在 的延长线上，过点E作 轴于点G，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴点E的纵坐标为6，把 代入一次函数 ，得 ，
解得 ，
∴点E的坐标为 ．
②如图，当点E在 的延长线上，过点E作 轴于点H，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴点E的纵坐标为 ，
把 代入一次函数 ，得 ，
解得 ，
∴点E的坐标为 ．
综上所述，点E的坐标为 或 ．
