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专题 02 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练
专题1. 最值问题
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，
解题时能达到事半功倍的效果。
题型1. 两个绝对值的和的最值
|x−a|+|x−b|
【解题技巧】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
分类情况（x的取值范
图示
|x−a|+|x−b|
围） 取值情况
当x<a时 无法确定
当
a≤x≤b
时
|x−a|+|x−b|
的值为定值，即为
|a−b|
当 x>b 无法确定
|x−a|+|x−b| |a−b|
结论：式子 在
a≤x≤b
时，取得最小值为 。
例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上
的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点 ， 分别表示数 ，
，则 ， 两点之间的距离为 ．反之，可以理解式子 的几何意义是数轴上表示实数
与实数3两点之间的距离．则当 有最小值时， 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际
上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建
立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如：从“形”的角度看： 可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的
距离； 可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离．
从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ．
根据以上阅读材料探索下列问题：
(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是 ；
（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；
②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子 的最小值为 ．
变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5
与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．（2）找出所有符合
条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是 ．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数
x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
题型2. 两个绝对值的差的最值
|x−a|−|x−b|
【解题技巧】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
分类情况（x的取值范
图示
|x−a|−|x−b|
围） 取值情况
当x<a时
|x−a|−|x−b| |a−b|
的值为定值，即为—
当
a≤x≤b
时
−|a−b|≤|x−a|−|x−b|≤|a−b|当
x>b |x−a|−|x−b|
的值为定值，即为
|a−b|
|x−a|−|x−b| −|a−b| |a−b|
结论：式子 在x≤a时，取得最小值为 ；在 x≥b 时，取得最大值 。
例1.（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是
（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
变式1．（2022·上海七年级期中）代数式 ，当 时，可化简为______；若代数式的最大
值为 与最小值为 ，则 的值______．
例2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣ |x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道， 的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，
一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意
义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求
的最大值；（3）直接写出 的
最大值为______．
题型3. 多个绝对值的和的最值
【解题技巧】最小值规律：
①当有两个绝对值相加：
|x−a|+|x−b|
若已知 a<b ， 的最小值为 b−a ，且数x的点在数a， b 的点的中间；
②当有三个绝对值相加：|x−a|+|x−b|+|x−c|
若已知 a<b<c ， 的最小值为c−a，且数x的点与数 b 的点重合；
③当有
2n+1
（奇数）个绝对值相加：
|x−a |+|x−a |+……+|x−a |+|x−a | a <a <……<a <a
1 2 2n 2n+1 ，且 1 2 2n 2n+1，则x取中间数，即当
x=a |x−a |+|x−a |+……+|x−a |+|x−a |
n+1时， 1 2 2n 2n+1 取得最小值为
(a −a )+(a −a )+……+(a −a )+0
2n+1 1 2n 2 n+2 n ；
2n
④当有 （偶数）个绝对值相加：
|x−a |+|x−a |+……+|x−a |+|x−a | a <a <……<a <a
1 2 2n−1 2n ，且 1 2 2n−1 2n，则x取中间段，
a ≤x≤a |x−a |+|x−a |+……+|x−a |+|x−a |
即当 n n+1时， 1 2 2n−1 2n 取得最小值为
(a −a )+(a −a )+……+(a −a )+(a −a )
2n 1 2n−1 2 n−2 n−1 n+1 n 。
例1.（2022·天津初一月考）若 是有理数，则 的最小值是
________．
变式1．（2022•武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为 ，此时x的取值为
．
例2.（2022·北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．
A，B两点间的距离可以用符号 表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离 ．
例如：当a＝2，b＝5时， ＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时， ＝ ＝7；当a＝－2，b＝－5时，
＝ ＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离 ＝ （也可以表示为 ）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝ ；（2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则 ＝
（3）代数式 的最小值是 ．
（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子
的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果）
变式2.（2022•龙泉驿区期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数
轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点
之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．
例，若|x+5|＝2，那么x为：
①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．
文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．
②图形语言：
③答案：x为﹣7和﹣3．
请你模仿上题的①②③，完成下列各题：
（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
课后专项训练：
1．（2021·湖北武汉·七年级阶段练习）式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___．
1．（2021·安徽芜湖·七年级期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离,3与5,4与﹣2, ﹣4与3, ﹣1
与﹣5.并回答下列各题:
(1)数轴上表示4和﹣2两点间的距离是 ;表示﹣1和﹣5两点间的距离是 .
(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为﹣3.
①数轴上A、B两点间的距离可以表示为 (用含x的代数式表示);
②如果数轴上A、B两点间的距离为|AB|=1,求x的值.
(3)直接写出代数式 的最小值为 .
3．（2022·山东·济南市七贤中学七年级阶段练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x|＝
，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令
x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别叫做|x+1|与|x﹣2|的零点值．）在有理数范围内，
零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
（2）当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
（3）当x＞2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．
综上所述，原式＝ ．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；
（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整数解；
（4）|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．
4．（2022·四川·九年级专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数
形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 的几何意义是数轴上 所对应的点与2所对应
的点之间的距离；因为 ，所以 的几何意义就是数轴上 所对应的点与 所对应的点之
间的距离．
发现问题：代数式 的最小值是多少？
探究问题：如图，点 分别表示的是 ，2， ， ．
∵ 的几何意义是线段 与 的长度之和，
∴当点 在线段 上时， ；当点 在点 的左侧或点 的右侧时，
∴ 的最小值是3．
解决问题：(1) 的最小值是 ；
(2)利用上述思想方法解不等式：
(3)当 为何值时，代数式 的最小值是2．
5．（2022·河北唐山·七年级期末）阅读下面的材料：
我们知道，在数轴上， 表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理， 表示有理数a对应的
点到有理数2对应的点的距离，例如， ，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距
离是3．请根据上面的材料解答下列问题：(1)数轴上有理数 对应的点到有理数3对应的点的距离是
_______；
(2) 表示有理数a对应的点与有理数_______对应的点的距离；如果 ，那么有理数a的值是
_______；(3)如果 ，那么有理数a的值是_______．
(4)代数式 的最小值是_________，此时有理数a可取的整数值有______个．
6．（2022·四川·石室初中七年级阶段练习）阅读下面材料：点 、 在数轴上分别表示实数 、 ， 、
两点之间的距离表示为 ，当 、 两点中有一点在原点时，不妨设 在原点，如图1，，当 、 两点都不在原点时，①如图2，点 、 都在原点的右边
；②如图3，点 、 都在原点的左边，
③如图4，点 、 在原点的两边，
；综上，数轴上 、 两点之间的距离 ．
回答下列问题：
（1）数轴上表示 和 的两点之间的距离是_____，数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离是______，
如果 ，那么 为______．
（2）若 表示一个有理数，则当 在什么范围内时， 有最小值？请写出 的范围及
的最小值．
（3）若 表示一个有理数，则当 在什么范围内时， 有最小值？请写出 的范围及
的最小值．
图1 图2
图3 图4
7．（2022·吉林省第二实验学校七年级阶段练习）数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，
记作 ．数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离记作 ．如 表示数轴表示数3的点与表示
数5的点的距离， 表示数轴上表示数3的点与表示数 的点的距离， 表示数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离， 表示数轴上表示数 的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若 ，则 ______，若 ，则 ______；
（2）若 ，则 能取到的最小值是______，最大值是______；
（3）若 ，则 能取到的最大值是______；
（4）关于 的式子 的取值范围是______．
8．（2022·四川·雅安中学七年级期中）阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|＝ ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x
﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实
数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x
＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；
综上讨论，原式＝
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当x＜2时，|x﹣2|＝ ；（2）根据材料中的方法化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程）
（3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值 ．
9．（2022·重庆梁平·七年级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为 ______；表示－1和2两点之间的距离为
______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ，如果表示数
a和－1的两点之间的距离是3，那么a＝______．
(2)若数轴上表示数a的点位于－5与3之间，求 的值；
(3)当x＝______时， 的值最小，最小值为______．
10．（2022·浙江杭州·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为
AB，在数轴上A、B两点之间的距离 ．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之同的距离为____．
（3） 的最小值为_______． 的最小值为_____．（4） 的最大值为_______．
11．（2022·全国·七年级课时练习） 的最小值是（ ）
A．1 B．1010 C．1021110 D．2020
12．（2022·四川·成都七中万达学校七年级阶段练习）（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，
不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，
①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示x和﹣1的两点分别
是点A和B，则A，B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x＝ ．
②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝ ；
当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为 ；当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为 ．
③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．
13．（2022·四川·渠县第三中学七年级期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离，|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离，|5|=|5-0|，所以|5|表示5在数轴
上对应的点到原点的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表
示为|a-b|．
（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-2、1，那么A到B的距高与A到C的距离之和可表示为
________．（用含绝对值的式子表示）
（2）利用数轴探究：①找出满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是_______．
②设|x-3|+|x+1|=p，当x的値取在不小-1且不大于3的范围时，P的值是不变的，而且是p的最小，这个最
小值是_______，当x的值取在_______的范围时，|x|+|x-2|取得最小值，这个最小值是_______
（3）求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值为______，此时x的值为_______．
（4）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+．．．．．．+|x-2019|的最小值，并求此时x的取值范国（要求写解答过程）
14．（2022·福建·晋江市七年级期中）数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 ．数
轴上表示数 的点与表示数 的点距离记作 ，如 表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距
离， 表示数轴上表示数3的点与表示数 的点的距离， 表示数轴上表示数 的点与表
示数3的点的距离．
根据以上材料回答一列问题：
(1)若 ，则 ______．若 ，则 _____．
(2)若 ，则 能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当 ，求 的最大值和最小值．15．（2022·北京平谷·七年级期末）阅读完成问题：
数轴上，已知点A、B、C．其中，C为线段AB的中点：
(1)如图，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，则线段AB的长为 ， C点表示的数为
;
（2）若点A表示的数为-1，C点表示的数为2，则点B表示的数为 ;
（3）若点A表示的数为t，点B表示的为t+2，则线段AB的长为 ,若C点表示的数为2，则t=
;
（4）点A表示的数为 ，点B表示的为 ，C点位置在-2至3之间（包括边界点），若C点表示的数为
，则 + + 的最小值为 , + + 的最大值为 .专题2. 绝对值化简问题
绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它
的身影，且易错，属于必掌握类型。希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题。
题型1. 已知范围的绝对值化简
【解题技巧】已知范围的绝对值化简步骤：
①判断绝对值符号里式子的正负；
两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0.
两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；
负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；
正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.
②将绝对值符号改为小括号：
若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.
③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.
④化简.
例1.（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则 的值为
（ ）．
A． B． C．0 D．
变式2.（2022·河南周口·七年级期末）有理数 ， 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式
的值是( )
A．-1 B．1 C．3 D．-3例2.（2021·长郡集团郡维学校初一月考）如果 + + =-1，那么 + + + 的值为（
）
A． B． C．0 D．不确定
变式2．（2022·内蒙古赤峰·七年级期中） 、 、 是有理数且 ，则 的值是
（ ）
A． B．3或 C．1 D． 或1
题型2. 未知范围的绝对值化简
|a|=a |0|=0
【解题技巧】绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即 ； ②0的绝对值是0，即 ；③负
|a|=−a |a|≥0
数的绝对值是它的相反数，即 ；④绝对值具有非负性，即 。
例1.（2022•新都区校级月考）已知x为有理数，且|x﹣3|＝2x+3，则x的值为 ．
变式1．（2022·河北·七年级期中）若a、b、c是有理数，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b异号，b，c同
号，求a﹣b﹣（﹣c）的值．
变式2．（2021·江苏·九年级）已知 ，求 ．
例2.（2022·福建福州·七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值
的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思
路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．
【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．
根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．变式3．（2022·湖北咸宁·七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要
的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两
点的距离可用式子 （表示，例如：5和 的距离可用 或 表示．
(1)【知识应用】我们解方程 时，可用把 看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上
找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为 或 所以，方程 的解为
___（直接写答案，不离过程）．
(2)【知识拓展】我们在解方 ，可以设A表示数5，B表示数 ，P表示数x，该方程可以
看作在数轴上找一点P使得 ，因为 ，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有
无数解，x的取值范围是 ．类似的，方程 的___（填“唯一”或“不唯一”），
x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）；
(3)【拓展应用】解方程
课后专项训练：
1．（2021·成都市泡桐树中学七年级期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离
表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离 ，若x是一个有理数，且 ，则
__________．
2．（2022·四川广元·七年级期末）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，化简|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a
﹣b|＝（ ）A．a B．﹣a﹣4b C．3a+2b D．a﹣2b
3．（2021·湖北黄冈·七年级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|c﹣a|+|a+b|+|b﹣c|＝（
）
A．2a B．﹣2b C．2c D．2b
4．（2022·广东河源·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，若m＝|a＋b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣
c|，则m＝____．
5．（2021·河南安阳·七年级期中）已知： 是最小的正整数，且 、 满足 ，请回答问
题：
(1)请直接写出 、 、 的值： __________， __________， __________；
(2)点 为一动点，其对应的数为 ，点 在0到2之间运动时（即 时），请化简式子：
（请写出化简过程）．
6．（2021·广东·深圳市高级中学七年级期末）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b 0，abc 0， 0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求 ＝ ．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
7．（2021·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小
的数，d是最大的负整数．
（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？
（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．
8．（2022·四川成都·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a+c|-|a-b|+|b+c|
=__________．
9．（2021·河北省衡水中学初一期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式
的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．（2022·上海杨浦·期中）若a，b各表示一个有理数，且 ，则算式 的可能值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022·山东日照·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，其中 ，则下
列各式：① ；② ；③ ；④ ，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（2022·全国·七年级）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB＝OC，则下列
结论中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④ ．其中正确的是 ___.（填序号）13．（2021·四川成都·七年级期中）a，b，c在数轴上的位置如图所示：
(1)求 _______
(2) 、 、c在数轴上的位置如图所示，则：化简： ；
(3)求 的最大值，并求出此时x的范围．
14．（2022·全国·七年级）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知a，b是有理数，当a＞0时，则 ＝_______；当b＜0时，则 ＝_______．
(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求 的值．
(3)已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求 的值．
15.（2021·安徽安庆市·七年级期末）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学
思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．
例：三个有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
解：由题意得， ， ， 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当 ， ， 都是正数，即 ， ， 时，则： ，
②当 ， ， 有一个为正数，另两个为负数时，设 ， ， ，
则： ．综上， 的值为3或-1．请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知 ， ，且 ，求 的值；
（2）已知 ， 是有理数，当 时，求 的值．
（3）已知 ， ， 是有理数， ， ，求 ．
16．（2021·长郡集团郡维学校初一月考）如果 + + =-1，那么 + + + 的值为（
）
A． B． C．0 D．不确定
17．（2021·山西晋中·七年级期中）阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用
数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的思想解决一些问题例如：数轴上表示5的点与表示2的点之间
的距离为|5﹣2|＝3，数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7
[理解]（1）如图，在数轴上，点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，A，B两点之间的距离 ．
（2）|﹣8﹣（﹣6）|＝2，它在数轴上的意义为表示 的点与表示 的点之间的距离为2
[归纳]（3）在数轴上，点A表示有理数a，点B表示有理数b，则A，B两点之间的距离可表示为 ．
[应用]（4）若|x﹣2|＋|x＋4|＝10，则满足条件的x的值为 ．
18．（2021·河南·开封市祥符区集慧初级中学七年级期中）当|a|＝5，|b|＝7，且|a＋b|＝﹣（a＋b），则a
＋b的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2或﹣12 D．﹣2
