文档内容
特训03 有理数及其运算压轴题（2023新题速递 ）
一、解答题
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下面算式的演算过程：
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
______________． ____________．
_________________．（ 为正整数）
（2）根据规律计算：
．
【答案】（1） ， ， ；（2） ．
【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；
（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．
【解析】（1） ，
，
，
故答案为： ， ， ；
（2）原式 ，
1，
，
，
．
【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．
2．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取
绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，接着再输入整数 后，显示
的结果．比如依次输入 ， ，则输出的结果是 ；此后每输入一个整数都是与前次显示的
结果进行求差后再取绝对值．
(1)若小明依次输入 ， ， ，则最后输出的结果是多少？
(2)若将 ， ， ， 这 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少？
最小值是多少？
(3)若任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ， ， ，全部输入完毕后显示的最后结果为 ，
已知 的最大值为 ，求 的最小值．
【答案】(1)4
(2)最大值是 ，最小值是
(3)6
【分析】（1）依据题干给出的定义列式计算即可；
（2）每一次输出的结果均是非负，再结合依据题干给出的定义列式计算即可；
（3）设 为较大数字，①当 ，即 时，根据最大值为10可得， ，即 的最小值为
；②当 时，根据最大值为10可得 ，
即故 的最小值为 ，问题随之得解．
2【解析】（1）根据题意得： ；
故输出结果为4；
（2）根据题意得： ， ， ，
对于 ， ， ， ，按 ， ， ， 的次序输入完毕后显示的结果为最小值，
即 ，
按 ， ， ， 的次序输入完毕后显示的结果为最大值，
即 ，
故全部输入完毕后显示的结果的最大值是 ，最小值是 ；
（3） 任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ， ， ，全部输入完毕后显示的最后结果为 ，
的最大值为 ，
设 为较大数字，
①当 ，即 时， ，
解得 ，
故 的最小值为 ；
②当 时， ，
则 ，
，
故 的最小值为 ．
综上所述， 的最小值为 ．
【点睛】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，所以当
3时， ；当 时， ，现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
（1）已知 ， 是有理数,当 时，求 的值；
（2）已知 ， ， 是有理数，当 ，求 的值；
（3）已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值.
【答案】（1）0或±2；（2）±1或±3；（3）-1.
【分析】（1）分3种情况讨论即可求解；
（2）分4种情况讨论即可求解；
（3）根据已知得到b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，进一步计算即可求解．
【解析】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，
①a＜0，b＜0，
②a＞0，b＞0，
③a、b异号，
故 = 2或0；
±
（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，
①a＜0，b＜0，c＜0，
②a＞0，b＞0，c＞0，
4③a、b、c两负一正，
④a、b、c两正一负，
故 = 1或 3；
± ±
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc＜0，
则b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，a、b、c两正一负，
则 =-1-1+1=-1
故答案为±2或0；±1或±3；-1．
【点睛】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完
美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点 、点 表示的数分别为 、 ，则
、 两点之间的距离 ，线段 的中点表示的数为 ．如图，数轴上点 表示的数为
，点 表示的数为3．
(1)直接写出：线段 的长度是 ，线段 的中点表示的数为______；
(2) 表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答： ，则 ： 有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为 ，且 是方程 的解，动点 在数轴上运动，若存在某个位置，
使得 ，则称点 是关于点 、 、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？
若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
【答案】(1)4；1
(2) 或4；4
(3)存在； 或2
5【分析】（1）数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点
公式直接求出线段 的长度为4，线段 中点表示的数为1；
（2）按 或 或 化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按 或 或
分类讨论，求出在每种情况下 的值或取值范围，再进行比较，得出结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按 或 或 分类讨论，根据
列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【解析】（1）解：∵数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为3，
∴ ， ，
∴线段 的长度为4，线段 中点表示的数为1；
故答案为：4；1．
（2）解：当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
∴当 时，不存在x的值使 ；
当 时， ，
解得： ；
∴ 时， 或 ；
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 的最小值为4；
故答案为： 或4；4．
（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，
6解 ，
∴ ，
解得： ，
∴点S表示的数为6，
当 时，由 得：
，
解得： ；
当 时，由 得：
，
解得： ；
当 时，由 得：
或 ，
解得： （不符合题意，舍去）或 （不符合题意，舍去），
综上所述：“幸运点”P对应的数是 或2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的思想是
解答本题的关键．
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）【阅读】若点 ， 在数轴上分别表示有理数 ， ， ， 两点之
间的距离表示为 ，则 ，即 表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点 ， 表示的数分别为 ，2，则 _______， 在数轴上可以理解为______；
(2)若 ，则 _________，若 ，则 ________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点 的点位于 和2之间，求 的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数 ， 是否有最小值？如果有，求出最小值，并
7写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)9， 与 的距离
(2) 或7.1，
(3)5
(4)有最小值，7
【分析】（1）根据数轴上表示 的点与表示2的点之间的距离为9，根据两点间距离的定义将 转化
为 即可得到结论；
（2）根据数轴上与3.1相距4个单位的点为7.1或 ，数轴上表示 的点和到表示3的点距离相等的点
所表示的数为 ；
（3）根据题意， 表示a到 的距离加上 到2的距离，由于 位于 和2之间，即 和2的
两点距离之和，即可得到结论；
（4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当 时取得最小值，求出具体结果即可．
【解析】（1）解：数轴上表示 的点与表示2的点之间的距离为9，
，即可表示为 到 的距离，
故答案为：9； 与 的距离；
（2）解： ，
到3.1的距离为4，
， ，
，
到 的距离和 到3的距离相同，
，
故答案为： 或7.1； ；
（3）解： 可表示a到 的距离加上 到2的距离且 位于 和2之间，
原式可看作 与2之间的距离，
；
8（4）解： 可表示为 到 的距离加上 到 的距离加上 到1的距离，
当 时，该式取得最小值，此时 ．
【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
6．（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）在数轴上，点 表示的数为1，点 表
示的数为3，对于数轴上的图形 ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为线段 上任意一点，
如果线段 的长度有最小值，那么称这个最小值为图形 关于线段 的极小距离，记作 ，线段
；如果线段 的长度有最大值，那么称这个最大值为图形 关于线段 的极大距离，记作 ，
线段 ．
例如：点 表示的数为4，则 点 ，线段 点 ，线段 ．
已知点 为数轴原点，点 为数轴上的动点．
(1) （点 ，线段 )=_________， （点 ，线段 ）_________；
(2)若点 表示的数 ，点 表示数 (线段 ，线段 ，求 的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿 轴正方向匀速运动，点 从表示数 的点出发，第1秒以每
秒2个单位长度沿 轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿 轴负方向匀速运动，第3秒以每秒
6个单位长度沿 轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿 轴负方向匀速运动，……，按此规律
运动， 两点同时出发，设运动的时间为 秒，若 (线段 ，线段 )小于或等于6，直接写出 的
取值范围（ 可以等于0）．
【答案】(1)1，3
(2) 或
(3) 或
9【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可；
（2）分为线段 在线段 左侧或线段 在线段 右侧两种情况进行讨论即可；
（3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可．
【解析】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为： ，
∴ （点 ，线段 )=1，
∵点O到线段AB的最小距离为： ，
∴ （点 ，线段 )=3，
故答案为：1，3．
（2）当线段 在线段 左侧时：
（线段 ，线段 ） ，
解得： ，
当线段 在线段 右侧时：
（线段 ，线段 ） ，
解得： ，
综上： 或 ．
（3）当 时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则 ，
当 时，点C表示的数为2t,点D表示的数为 ,则 ，成立；
当 时，点C表示：2，点D表示： ，
此时： （线段 ，线段 ） ，符合题意；
当 时，点C表示：4，点D表示： ，
此时： （线段 ，线段 ） ，不符合题意；
当 时，点C表示： ，点D表示： ，
∴此时： （线段 ，线段 ） ，
10解得： ，
∴ ，
∵ 时，点C表示：6，点D表示： ，
∴ （线段 ，线段 ） ，符合题意；
当 时，点C表示： ，点D表示： ，
∴此时： （线段 ，线段 ） ，
解得： ，
∵当 时，点C表示：8，点D表示： ，
∴ （线段 ，线段 ） ，不符合题意；
当 时，点C表示： ，在6和8之间；点D表示： ，在2和6之间，
∴此时： （线段 ，线段 ） ，
或 （线段 ，线段 ） ，
解得： ，
∴ ，
当 时，点C表示：10，点D表示： ，
此时： （线段 ，线段 ） ，不符合题意；
当 时，点C表示： ，在8和10之间；点D表示： ，在 和4之间，
∴此时 ， ，则当 时， （线段 ，线段 ） ，
综上： 或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离
11的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
7．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为 ， （单位长度），
（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是 ，点D在数轴上表示的数是15．
(1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____．
(2)若线段 以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运
动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？
(3)若线段 以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段 以2个单位长度/秒的速度也向左匀速
运动，设运动时间为t秒，当 时，M为 中点，N为 中点．
①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为 ．则点M表示的数为_____，点N表示的数为
______．（用代数式表示）
②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1) ，14，24
(2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2
(3)① ； ；②MN的长是定值，
【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的
点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点
B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段 的长；
（2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为 ，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向
运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可；
（3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解；
②用两点间距离公式即可求解．
【解析】（1）解：因为点A表示的数是 ，点B在点A右侧，且 ，
所以 ，
所以点B表示的数是 ；
因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且 ，
所以 ，
12所以点C表示的数是14，
点B与点C的距离是 （单位长度），
所以线段BC的长为24个单位长度，
故答案为： ，14，24．
（2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是 ，
根据题意得 ，
解得 ，
所以 ，
答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是 ．
（3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为： ，点C对应的数为： ，
∵M为 中点，
∴点M对应的数为： ，
t秒后点B对应的数为： ，点D对应的数为： ，
∵N为 中点，
∴点N对应的数为： ，
故答案为： ； ；
②线段 的长为定值，
∵点M对应的数为 ，点N对应的数为 ；
∴ ，
∴线段 的长为定值．
【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，
解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系．
8．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后
常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的
观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
13（1）观察分析（特殊）：
①当 ， 时，A，B之间的距离 ；
②当 ， 时，A，B之间的距离 ；
③当 ， 时，A，B之间的距离 ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示 和3的两点A和B之间的距离是5，试求 的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若 ，则 ．
②若 ，则 ．
③若 ， 满足 ，则代数式 的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】（1）7，3；（2） ；（3） 或 ；（4）①4②0或8③6，0
【分析】（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离 即可；
（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ；
（3）解绝对值方程即可；
（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出 ， 的取值范围，然后计算解题．
【解析】（1）② ；
③ ；
故答案为：7，3．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ，
故答案为： ．
14（3）∵
∴ ，
解得： 或 ；
（4）① ，
即 ，
解得： ；
故答案为：4．
②若 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，方程无解；
当 时， ，解得 ；
故答案为：8或0．
③由题可知 ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴代数式 的最大值是 最小值是 ，
故答案为：6，0．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，解题的关键是了解数轴上两点间的距离的含义，利用数形结合、
从特殊到一般的数学思想结合解决问题．
9．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察、理解与应用．
题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在 处，B点在2处，C点在原点处．
15(1) ，表示的意义是 ；
(2) ， ，即用字母表示线段长 ， ，猜想： ，设P、Q
在数轴上分别表示的数为 和220，则线段 ；
(3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为 ， ，则线 ；
(4)应用：若动点P，Q分别从点 和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位
长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问：
①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答）
②t为 秒时P，Q两点之间的距离为2？
【答案】(1)3，数轴上表示 的点到原点的距离
(2)5，320
(3)
(4)①3；②3或7
【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行解答即可得出答案；
（2）根据题目所给的例题，根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；
（3）根据（2）中的结论进行解答即可得出答案；
（4）①根据题意先计算出 为2秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，根据（3）结论
进行计算即可得出答案；②设经过 秒，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，根据（3）中的结
论可得 ，化简得 ，根据绝对值的性质可得 或 ，计算即可得出答
案．
【解析】（1）解： ，表示的意义是数轴上表示 的点到原点的距离；
故答案为：3，数轴上表示 的点到原点的距离；
（2） ， ；
故答案为：5，320；
（3）根据题意可得： ；
16故答案为： ；
（4）①根据题意可得，
为2秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
；
②设经过 秒，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
则 ，
化简得 ，
可得 或 ，
解得： 或 ．
故答案为：3或7．
【点睛】本题主要考查了绝对值，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法意义绝对值的性质进行求解是解
决本题的关键．
10．（2023春·上海·六年级专题练习）现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘
方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ．
【答案】(1)-9
(2)11
(3)6
(4)90
(5) ，
【解析】（1）解：这五个数中，最小的两个数是-3和-6，
所以要使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为 ．
17故答案为：-9；
（2）解：这五个数中，最小的两个数是-6，最大的数是5，
所以要使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为 ．
故答案为：11；
（3）解：取出-6和-1，相除得 ．
所以商的最大值为6；
故答案为：6
（4）解：取出-6，-3,5，则乘积的最大值为 ．
故答案为：90；
（5）解： ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．
11．（2023秋·江苏·七年级专题练习）对于有理数 ， ， ， ，若 ，则称 和 关于
的“美好关联数”为 ，例如，则 ，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1) 和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若 和2关于3的“美好关联数”为4，求 的值；
(3)若 和 关于1的“美好关联数”为1， 和 关于2的“美好关联数”为1， 和 关于3的“美好
关联数”为1，…， 和 的“美好关联数”为1，…．
① 的最小值为______；
② 的值为______．
【答案】(1)8
(2) 或 ；
18(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；
（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表
示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【解析】（1）解： ，
故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ；
（3）解：①∵ 和 关于1的“美好关联数”为1，
∴ ，
∴在数轴上可以看作数 到1的距离与数 到1的距离和为1，
∴只有当 时，
有最小值1，
故答案为：1；
②由题意可知：
， 的最小值 ；
， 的最小值 ；
， 的最小值 ；
， 的最小值 ；
19， 的最小值 ；
∴ 的最小值：
．
故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
12．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间
的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝ ．
②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 ．
③当x＝ 时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣ |+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
【答案】(1)﹣2，6
(2)9
(3)①3；②4；③4；④x＝ ，最小值为
【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；
（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；
（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再
求出符合条件的整数即可求解；③找到2， 2， 3， 3， 4， 4， 4，4， 4的中间数即为所求；④由2|
2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣ |+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣ |+3|x﹣ |+|x﹣ |+2|x﹣ |+3|x﹣3|，可得4个 ，
203个 ，1个 ，2个 ，3个3的中间数是 ，当x＝ 时，式子有最小值．
【解析】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，
故答案为：﹣2，6；
（2）解：∵折叠后点B和点C重合，
∴BC的中点为折痕点，
∴折痕点对应的数是2，
∴点A与数字9重合，
故答案为：9；
（3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和，
∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，
∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，
故答案为：3；
②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和，
∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，
∵|x﹣4|+|x+3|＝7，
∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴ ，
∴满足条件的所有整数x的和是4，
故答案为：4；
③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和，
∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4，
∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；
故答案为：4；
④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣ |+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣ |+3|x﹣ |+|x﹣ |+2|x﹣ |+3|x﹣3|，
表示4倍的x到 的距离，3倍x到 的距离，x到 的距离，2倍x到 的距离，3倍x到3的距离之和，
∴4个 ，3个 ，1个 ，2个 ，3个3的中间数是 ，
∴当x＝ 时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣ |+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为 ．
21【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律
是解题的关键．
13．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如
2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L(8)，则L(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且
2 2
a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为L(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，
a
记为L(81)=4．
3
（1）下列各“劳格数”的值：L（4）=______，L(16)=______，L(64)=______．
2 2 2
（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L（4），L(16)，L(64)满足关系式________．
2 2 2
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？L(M)+L(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
a a
（4）据上述结论解决下列问：已知，L（3）=0.5，求L(9)的值和L(81)的值．（a＞0且a≠1）
a a a
【答案】（1） ；（2）L（4）+L(16)=L(64)；（3） ；（4）
2 2 2
【分析】（1）根据定义写出各“劳格数”的值；
（2）由（1）的结论直接得出结果；
（3）根据定义归纳出一般性的结果；
（4）根据（3）的结论进行计算即可．
【解析】（1）
L（4）=2，L(16)=4，L(64)=6
2 2 2
故答案为：
（2）
L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
故答案为：L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
（3）设
则
即La(M)+La(N)= La(M N)
22故答案为：
（4） La（3）=0.5
【点睛】本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键．
14．（2023春·安徽滁州·七年级校考开学考试）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 ， 等，
类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的3次商”， 记作 ，读作
“ 的4次商”．一般地，我们把n个 相除记作 ，读作“a的n次商”．
初步探究
（1）直接写出结果： ________；
（2）关于除方，下列说法错误的是_________．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n， ；
③ ；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
_______； _______．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；
23（5）算一算： ________．
【答案】（1） ；（2）②③；（3） ， ；（4） ；（5）
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）利用题中的新定义分别判断即可；
（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；
（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；
（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【解析】解：（1） ；
（2）当a≠0时，a=a÷a=1，因此①正确；
2
对于任何正整数n，
当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，因此②错误；
因为3 =3÷3÷3÷3= ，而4 =4÷4÷4= ，因此③错误；
4 3
负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；
故答案为：②③；
（3） ，
= = ；
（4）由题意可得：
将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于 ；
（5）
24=
=
=
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．
15．（2023秋·全国·七年级专题练习）若x是不等于1的实数，我们把 称为x的差倒数，如2的差倒数
是 ，-1的差倒数为 ，现已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差
倒数，…，依此类推．
（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）计算 的值；
（3）计算 的值．
【答案】（1） ， ， ；（2）－1；（3）－1
【分析】本题是阅读理解题，（1）根据阅读理解差倒数的含义，利用公式直接计算可以得到答案；（2）
利用第（1）的结果进行计算即可得到答案；（3）利用第（1）的结果发现这一列数是循环的，且是3个数
循环，所以每这样的3个数的积相等，只要分析好2019个数中有几组这样的3个数就可得到答案．
【解析】解：（1）根据题意，得： ， ， ；
（2） ；
（3）由（1）知，该数列循环周期为3，
所以 ，
则
．
25【点睛】首先，理解好阅读文段中给出的定义很关键，然后，根据具体情境抽象出规律是解决这一类题的
核心钥匙．
16．（2023·全国·七年级专题练习）如图1，在数轴上有 ， 两点，点 表示的数为4，点 在 点的左
边，且 ，若有一动点 从数轴上点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点
从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点 ， 分别从 ， 两点同时出
发，设运动时间为 秒．
(1)写出数轴上点 表示的数为______，P所表示的数为_______（用含 的代数式表示）．
(2)问点 运动多少秒与 相距3个单位长度．
(3)如图2，分别以 和 为边，在数轴上方作正方形 和正方形 ，如图所示，求当 为何值
时，两个正方形的重叠部分面积是正方形 面积的一半，请直接写出结论． ______秒．
【答案】(1) ；
(2)点 运动3秒或5秒时与 相距3个单位长度
(3)4.8或24
【分析】（1）根据两点间的距离可确定点 表示的数，根据 的运动规律可表示出点 表示的数；
（2）分别根据 、 两点的运动规律，用变量 表示这两点所表示的数，求两点间距离即把右边点表示的
数减去左边点表示的数，分情况列一次方程即可求得；
（3）由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化，找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论，
由面积之间的关系列方程即可求得．
【解析】（1）解： 点 在点 的左边， ，点 表示4，
点 表示的数为 ，
动点 从数轴上点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为 ，
故答案为： ； ；
26（2）解：依题意得，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
若点 在点 右侧时： ，
解得： ；
若点 在点 左侧时： ，
解得： ；
综上所述，点 运动3秒或5秒时与 相距3个单位长度；
（3）解： 如图1， 均在线段 上，
两正方形有重叠部分，
点 在点 的左侧，
，
，
重叠部分面积 ，
重叠部分的面积为正方形 面积的一半，
，
解得 （舍去）， ；
如图2， 均在线段 外，
27，
重叠部分面积 ，
，
解得 （舍去）， ，
故答案为：4.8或24．
【点睛】本题主要考查了数轴上求点表示的数及动点和由运动产生图形面积变化的题型，重点在于把握清
楚运动的规律，善于想象抓住根本，善于运用数形结合思想是解题的关键．
17．（2023·全国·七年级专题练习）【知识准备】若数轴上 点对应数 ， 点对应数 ， 为 中点，
则我们有中点公式： 对应的数为 ．
(1)在一条数轴上， 为原点，点 对应数 ，点 对应数 ， ，且有 ．则
的中点 所对应的数为___________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若 点从 点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时 点从
点出发，以每秒2个单位的速度向右运动， 为 的中点 ．设运动时间为 秒， 为何值时 所对应的数
为10．
(3)【拓展延伸】若数轴上 点对应数 ， 点对应数 ， 为 靠近 的三等分点，则我们有三等分点
公式： 对应的数为 ．若数轴上 点对应数 ， 点对应数 ， 为 靠近 的四等分点，则
我们有四等分点公式：M对应的数为 ．
填空：若数轴上 点对应数 ， 点对应数 ， 为 靠近 的5等分点，则我们有5等分点公式：
28对应的数为___________．
在（2）的条件下，若 是 最靠近 的五等分点， 为 中点，则是否存在 ，使得 为
定值？若存在，请求出的范围．
【答案】(1)
(2) 为17时 所对应的数为10
(3) ； 存在 使得 为定值， 的范围为
【分析】（1）根据 ， ，即可求得 的值，从而可以求出
的中点 所对应的数；
（2）先分别表示出点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，再由 为 的中点得
，即可得到答案；
（3） 根据 为 靠近 的三等分点和四等分点的规律即可得出 为 靠近 的五等分点时所对应
的数； 由（2）得点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，点 对应的数是5，点 对应的数是
，从而可得出点 对应的数为： ，点 对应的数为： ，再将
表示出来计算即可得到答案．
【解析】（1）解： ，
，
解得： ，
的中点 所对应的数为： ，
故答案为： ；
（2）解：根据题意画出数轴如图所示：
29点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，
为 的中点，
，
解得： ，
为17时 所对应的数为10；
（3）解： 若数轴上 点对应数 ， 点对应数 ， 为 靠近 的三等分点，则我们有三等分点
公式： 对应的数为 ．若数轴上 点对应数 ， 点对应数 ， 为 靠近 的四等分点，则
我们有四等分点公式：M对应的数为 ，
若数轴上 点对应数 ， 点对应数 ， 为 靠近 的5等分点，则我们有5等分点公式： 对应
的数为 ，
故答案为： ；
由（2）得点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，点 对应的数是5，点 对应的数是 ，
是 最靠近 的五等分点， 为 中点，
点 对应的数为： ，点 对应的数为： ，
，
即 ，
表示 到 的距离， 表示 到10的距离，
30当 时， 为定值， 的值为： ，
故存在 使得 为定值， 的范围为 ．
【点睛】本题考查了数轴的动点问题，数轴的等分点，数轴上两点间的距离等知识，读懂题意，表示出点
表示的数是解题的关键．
18．（2023·全国·七年级专题练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方
法使复杂问题简单化．
材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表
示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值
的几何意义，我们可以求出以下方程的解．
（1）|x﹣3|＝4
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上x表示的点到3的距离等于4
∴x＝3+4＝7，x＝3﹣4＝﹣1
1 2
（2）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x＝
1
﹣2+5＝3，x＝﹣2﹣5＝﹣7
2
材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．
由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示
数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值．
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值
的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在
﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位．
故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x＝1+0.5＝1.5．
1 2
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为 ；
（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．
（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围．
【答案】（1）5；（2）﹣7或8；（3）当x＝ ，最小值为 ；当x＝ 时，最小值为
【分析】（1）由阅读材料直接可得；
31（2）由已知可得：x=-3-1=-4或x=10+1=11，当y=3时，|y-3|+|y+2|+|y-5|有最小值7；
（3）当n是奇数时，中间的点为 ，所以当x= 时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）
= ；当n是偶数时，中间的两个点相同为，所以当x= 时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=1+3+5+…+（n-3）+
（n-1）= ．
【解析】解：（1）由阅读材料可得：：|x﹣3|+|x+2|的最小值为5，
故答案为5；
（2）|x+3|+|x﹣10|的最小值为13，
∵|x+3|+|x﹣10|＝15，
∴x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11，
∵|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|表示数轴上表示y到﹣2，3，5之间的距离和最小，
∴当y＝3时，有最小值7，
∴x﹣y＝﹣7或x﹣y＝8；
（3）|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小，
当n是奇数时，中间的点为 ，
∴当x＝ 时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝ ，
∴最小值为 ；
当n是偶数时，中间的两个点相同为 ，
∴当x＝ 时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝1+3+5+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝ ，
∴最小值为 ．
【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题
是关键．
19．（2023·全国·七年级专题练习）有一台功能单一的计算器，只能完成对任意两个整数求差后再取绝对
值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，再输入整数 ，显示 的结果．比如
32依次输入1，2，则显示结果1，若此后再输入一个整数，则显示与前面运算结果进行求差后再取绝对值的
运算结果．
(1)若小明依次输入−1，0，1，则显示_______________；
(2)若小明将2，3，4，5，打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为________；
所有显示结果的最大值为____________；
(3)若小明依次输入四个连续整数n， ， ， （其中n为整数），则显示结果为____________；
(4)若小明将四个连续整数n， ， ， （其中n为整数），打乱顺序后一个一个地输入（不重
复），则所有显示结果的最小值为_______________；
(5)若小明将1到 这 个整数打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最大值为
_____________．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据题意运算顺序进行计算即可；
（2）根据 ， ， ， ， ， ， ， ，可得按
如下顺序 ， ，可得最大值与最小值；
（3）根据题意运算顺序进行计算即可；
（4）根据 可得最小值；
（5）先将1到n 这n个正整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果为m，根据
分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按 式结构计算分别得出最大值
与最小值，从而得出 时的最大值．
【解析】（1）解：根据题意得： ， ，
故答案为： ；
33（2）根据题意可以得出： ， ， ，
， ， ，
， ，
对于 ，按如下顺序 ， ，
∴所有显示结果最小值为 ，最大值为 ，
故答案为： ， ；
（3）根据题意可得： ，
故答案为： ；
（4）打乱顺序输入，显示结果最小的是 ，
故答案为： ；
（5）对于任意两个正整数 ， 一定不超过 中较大的一个，
对于任意三个正整数 ， 一定不超过 中最大的一个，
以此类推，设小明出入的 个数的顺序为 ，则 ，
一定不超过 中最大的数，
∴ ，
易知， 与 的奇偶性相同，
可以通过这种方式得到 ： ，
任意四个连续正整数可以通过这种方式得到 ： ，
下面根据前面分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按 式结构计算．
当 时， 为偶数，则m为偶数，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结
合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；
当 时， 为奇数，则m为奇数，除1外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1，
34从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；
当 时， 为奇数，则m为奇数，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n和 ，
则最小值为1，
从2开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1和n，最大值为 ；
当 时， 为偶数，则m为偶数，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到
0，
则最小值为0，从3开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2和n，
则最大值为 ．
∴当 时， ，
满足 ，
∴m的最大值为 ，最小值为1，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了整数的奇偶性问题以及含有绝对值的函数最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有
试验观察和分情况讨论的能力．
20．（2023·浙江·七年级假期作业）我们已知道： ，
事实上： （ 为正整数）成立，
故有：当 时， 成立．
由以上结论填写下列代数式结果：
(1) __________．
(2) ___________．
(3) __ ___．
【答案】(1)
(2)
(3)
35【分析】（1）添加一项1后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．
（2）提取 后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．
（3）多次使用题干中的结论计算，即可得到结果．
【解析】（1）根据已知有：当 时， 成立
所以
所以
所以
故答案为：
（2）因为
故答案为：
（3）根据已知有：当 时， 成立
所以 ； ； ；
所以
36又因为
所以上式
故答案为：
【点睛】本题考查了观察、类比、数字累规律探索的知识；解题关键是熟练掌握观察、类比、数字类规律
探索的方法，结合运算法则完成求解．
21．（2023秋·全国·七年级专题练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简 ，当 时， ；当
时， ；当 时， ．求解下列问题：
(1)当 时， 值为______，当 时， 的值为______，当x为不等于0的有理数时， 的值为
______；
(2)已知 ， ，求 的值；
(3)已知： ，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，
，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【答案】(1) ，1，
(2) 或3
(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；
（2）已知 ， ，所以 ， ， 一正两负，根据（1）的结论解即可；
（3） 个正数，负数有 个，式子中有 个正1， 个 ，相加得答案．
【解析】（1）解： ， ， ，
故答案为： ，1， ．
（2） ，
37， ，
， ， 的正负性可能为：
①当 为正数， ， 为负数时：原式 ；
②当 为正数， ， 为负数时，原式 ；
③当 为正数， ， 为负数时，原式 ，
原式 或3．
（3）∵有 个正数，负数的个数为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值
等于1或 ，将题目转化为由几个正1和几个 的问题．
22．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴
上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段 与线段 的长度之比定义为点P的特征值，记作 ．
即 ．例如：当点P是线段 的中点时，因为 ，所以 ．
（1）如图，点 ， ， 为数轴上三个点，点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
① ______；
②比较 ， ， 的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足 ，求 ；
38（3）数轴上的点P表示有理数p，已知 且 为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．
【答案】（1）① ；② ＜ ＜ ；（2） 或 ；（3）198．
【分析】（1）①先确定 的表示的数，然后根据题意求出 即可；②先确定 的表示的数根据题意求出
、 ，然后比较即可；
（2）先由 确定M所表示的数，然后根据题意求出 即可；
（3）根据题意可得PO＞PA且PO为PA的整数倍，然后分别求出所有P所表示的数，最后求和即可．
【解析】解：（1）①∵点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
∴ 表示的数是 ；
∴
故答案是 ；
②∵ 表示的数大约是
∴ ，
∴ ＜ ＜
故答案是 ＜ ＜ ；
（2）∵
∴M表示的数是 或-
39∴ 或 ；
（3）∵P表示有理数， ＜100且为整数
∴PO＞PA且PO为PA的整数倍
由题意可得，当P为OA中点时，则 =1，此时为最小正整数且P表示 ；
当 =2，即PO=2PA,此时P表示 或2；
当 =3，即PO=3PA,此时P表示 或 ；
…
当 =99，即PO=3PA,此时P表示 或 ；
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
=
=2+98×2
=198．
故答案是198．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及有理数的混合运算等知识点，理解题意、确定各点所表
示的数成为解答本题的关键．
40
