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特训03 期末解答压轴题（九年级上册+下册）
一、解答题
1．如图，在 中， ， ，点D为 的中点，连接 ，将线段 绕点D顺
时针旋转 得到线段 ，且 交线段 于点G， 的平分线 交 于点H．
(1)如图1，若 ，则线段 与 的数量关系是______， ______；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点C作 交 于点F，连接 ， ．
①试判断四边形 的形状，并说明理由；
②求证： ；
(3)如图3，若 ， ，过C作 交 于点F，连接 ， ，请直接写出
的值（用含m的式子表示）．
2．如图，已知四边形 和四边形 都是正方形，连接 ．
(1)如图1，若点E，F分别在边 ， 上，则
1①点G 线段 上；（填“在”或“不在”）
②线段 与 之间的数量关系为
(2)如图2，将正方形 绕点B顺时针方向旋转α（ ），试探究线段 与 之间的数量关
系，并证明你的结论；
(3)若正方形 旋转到使点A，E，F在同一直线上时，如图3所示，延长 交 于点H．已知
， ， ，直接写出 的长．
3．已知：如图，抛物线 与坐标轴分别交于点 ， ， ，点 是线段
上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点 运动到什么位置时， 的面积有最大值？
(3)过点 作 轴的垂线，交线段 于点 ，再过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 ，请问是否存
在点 使 为等腰直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点．
(1)直接写出A，B，C点的坐标；
(2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E
点坐标；
2(3)如图2所示，过 作两条直线分别交抛物线于第一象限点 ， ，交 轴于 ， ， ．当
为定值时，直线 是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含 的式子表示）；若不经
过，请说明理由．
5．如图，已知 内接于 平分 ，交 于点E，交 于点D，连接 ．
(1)求证： ；
(2)作 于点N，G为 中点，连接 ．
①若 ，求 的长；
②作 于点M，连接 ，若 ，求 的值．
6．综合与实践
提出问题：在一次数学活动课的学习中，小明同学发现：“等边三角形外接圆上任意一点到三个顶点的距
离的平方和等于边长平方的两倍”
(1)初步探究：如图①， 为等边三角形， 是 外接圆 上任意一点，证明 的思
路如下，图②中，在 上截取 ，连接 ，先证明 为等边三角形，再证明
，由此得出 ．请写出 的证明过程
3(2)继续探究：如图②，设 ， ， ， ，求证
(3)拓展探究：如图③，点 为正六边形 的外接圆上一点，设 ， ， ， ，
， ， ．试探究 ， ， ， ， ， 与 之间的数量关系
7．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 上的两点，连接 ， ， ，则
的值为___________；
(2)如图2，在矩形 中， ，点 是 上的一点，连接 ， ，且 ，则 的
值为___________；
【类比探究】
(3)如图3，在四边形 中， ，点 为 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交
的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，求证： ；
【拓展延伸】
(4)如图4，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，点 落在点 处得
，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ，且 ，求 的值．
8．如图1，已知抛物线 经过点 ， 两点，且与y轴交于点C．
4(1)求b，c的值．
(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得 的面积最大？求出点P的坐标及 的面积最
大值． 若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点E为线段 上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于
的直线交于点F，当 面积取得最小值时，求点E坐标．
9．等腰三角形 中 ，且内接于圆O，D、E为边 上两点（D在F、E之间），分别延长 、
交圆O于B、C两点（如图1），记 ， ．
(1)求 的大小（用α，β表示）；
(2)连接 ，交 于H（如图2）．若 ，且 ．求证： ；
(3)在（2）的条件下，取 中点M，连接 、 （如图3），若 ，
①求证： ， ；
②请直接写出 的值．
10．如图1，点C是半圆 上一点（不与A，B重合），O为圆心， 交弧 于点D，交弦
于点E，连接 交 于点F．
5(1)如图1，如果 ，求 的大小；
(2)如图2，如果 ，求 的值；
(3)连接 ，若圆O的直径为4，当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．
11．已知 是圆O中的两条弦， ，垂足为E，连接 ．
(1)如图1．求证： ；
(2)如图2，过点A作 于F， 交 于G，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下连接 ，若 恰好经过圆心O，若圆O的半径为5， ，求 的
长．
12．如图，在 中， ，点 是 外接圆上的一点，且
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 ， ．点 为弧 上一点，过 作 于 点，求证： ；
(3)如图3，点 是弧 上一动点（不与 ， 重合），连 ， ， ．求 的值．
613．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点（A在B的左侧），
与x轴和y轴分别交于E，F两点．
(1)当 时，求A、B两点的坐标；
(2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使 是以 为直角边的直角三角
形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，直线 、 分别交反比例函数 图象的另一支于点 和点 ，连接 、 和
， 交 轴于点 ， 交y轴于点G．若 ，
①求此时反比例函数的表达式．
②求四边形 的面积．
14．如图1，已知点 ， ，且a、b满足 ，平行四边形 的边 与
y轴交于点E，且E为 的中点，双曲线 上经过C、D两点．
7(1)求k的值；
(2)点P在双曲线 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出
满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段AB为对角线作正方形 （如图3），点T是边 上一动点，M是 的中点， ，
交 于N，当T在 上运动时， 的值是否发生变化，若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请
直接写出其值．
15．如图1，在平面直角坐标系 中，点 ，过函数 （ ，常数 ）图象上一点
作 轴的平行线交直线 ： 于点 ，且 ．
(1)求 的值，并写出函数 （ ）的解析式；
(2)过函数 （ ）图象上任意一点 ，作 轴的平行线交直线 于点 ，是否总有 成立？
8并说明理由；
(3)如图2，若 是函数 （ ）图象上的动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，分别过点
作 的垂线交 轴于点 ，问是否存在点 ，使得矩形 的周长取得最小值？若存在，请
求出此时点 的坐标及矩形 的周长；若不存在，请说明理由．
16．问题探究：如图1，在正方形 ，点 分别在边 上， 于点 点 分别
在边 上， ．
(1)①判断 与 的数量关系： _____ ；
②推断： ______(填数值)；
(2)类比探究：如图2，在矩形 中， ．将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上的点
处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ．试探究 与 之间的数量关系，并
说明理由；
(3)拓展应用1：如图3，四边形 中， ， ， ，点
分别在边 上，求 的值．
(4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若 ， ，求 的长．
17．课本再现：如图正方形 对角线 与 相交于点O，E为 上任意点（不与B，C重合），
作 交 于点F．
9(1)在图1中解答下列问题：
Ⅰ．求证：
Ⅱ．当正方形 的面积为4时，小明发现以下结论：
① ；② ；③ ．其中正确的是___________（填序号）
(2)如图2，当点P为线段 上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边 上两点，且
．问： 之间有何数量关系，并说明理由．
(3)如图3，将图2中正方形 改成矩形 ，且 ，其它条件不变，直接写出
之间的数量关系．
18．抛物线 交x轴于A，B两点（点A在点 B 的左边），交y轴于点C．
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)如图1，直线 经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足 的面积与 的
面积相等，求点D的横坐标；
(3)如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线 ， ， 是抛物线
上两点（P点在 点左侧），直线 交抛物线C对称轴于点E，过点 作y轴的平行线分别交x轴，直线
于F，H两点， 交x轴于点G，求证： ．
1019．如图1，直线 交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线 与x轴
的另一交点为 ．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．
①如图2，连接 ，求 面积的最大值；
②加图3，连接 ，将线段 绕O点顺时针旋转 ，得到线段 ，过点E作 轴交直线 于
F．求线段 的最大值及此时点D的坐标．
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