文档内容
第 05 课 特殊平行四边形 解答题（重点 20+16+8 道）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、解答题
1．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求：
（1）∠BAD，∠ABC的度数；
（2）AB，AC的长．
2．如图，在
▱
ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形．
3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于
点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
4．如图所示， 是四边形 的 的平分线， ，交 于 ．
(1)求证：四边形 是菱形；(2)如果 ， ，求菱形 的面积．
5．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，且 ， ．
(1)求证：四边形AMCN是矩形；
(2)若 ， ，AB⊥AC，求四边形ABCD的面积．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点
O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
7．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，
EF．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．
8．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．（1）求证：□ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形，并说明理由．
9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
10．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，
PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
11．已知：如图，在 中，AB=AC， ，垂足为点D，AN是 外角 的平分线，
，垂足为点E，连接DE交AC于点 ．
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当 满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
(3)在（2）的条件下，若 ，求正方形ADCE周长．12．如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”形图案，求 的度数．
13．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.
（1）求证： ；
（2）求证： ；
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=CF，连接
DE，BF．
(1)求证：四边形FBED是平行四边形；(2)已知AO=6，∠ADB=30°，求AD的长．
15．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE．
(1)若∠ADB=40°，求∠E的度数．
(2)若AB=3，CE=5，求AE的长．
16．如图，在 中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．
(1)求证：四边形AMCN是矩形；
(2)若∠B=60°，BC=8，求 的面积．
17．如图，在平行四边形 中， 、 分别为边 、 的中点， 是对角线，过点 作
交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证：四边形 是菱形．
18．如图，在菱形 中 ，E为对角线 上一点，F是 延长线上一点，连接 ， ，
， ， ．（1）求证： ；
（2）若点G为 的中点，连接 ，求证： ．
19．如图，在 中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），
过点P作EF∥AB．分别交AC、BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE.
（1）求证：四边形AEPQ为菱形：
（2）当点P在线段EF上的什么位置时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半?请说明理
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
培优第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．在 中， ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ， 分别是 ， 的中点，连
接 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，则四边形 的面积为__________．
2．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点C与点A重合，EF为折痕，点D的对称点为D′，连接CE．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB＝3，BC＝9，求四边形ABCD′的面积．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝ AC，连接CE、OE，连
接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
4．已知：AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接AE．（1）如图1，求证：AE⊥AC；
（2）如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，若AE＝6，CE＝10，求DF的长．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点
A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)填空：
①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形．
6．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到
四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 ，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足 条件时，四边形EFGH是菱形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？
7．如图，将矩形纸片 沿对角线 折叠，使点 落到点 的位置， 与 交于点 ．
（1）试找出一个与 全等的三角形，并加以证明．（2）若 ， ， 为线段 上的任意一点， 于 ， 于 ，试求 的
值，并说明理由．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝
BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是 ．
9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．
(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；
(2)求出△BPE周长的最小值．
10．如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将 ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接
FQ并延长，交DC于G点． △(1)求证：CE＝BF；
(2)若AB＝4，求GF的值．
11．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋
转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M．
（1）求证：BE＝FM；
（2）求BE的长度．
12．如图，已知四边形 为正方形， ，点 为对角线 上一动点，连接 ，过点 作
，与 相交点 ，以 为邻边作矩形 ，连接 ．
(1)求证：矩形 是正方形；(2)探究：四边形 的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
13．如图，正方形 中，E为边 上一点，作 交 于F．
（1）求 的度数；
（2）若 ，请求出y关于x的关系式．
14．提出问题：（1）如图1，已知在锐角 中，分别以 、 为边向 外作等腰直角
和等腰直角 ，连接 、 ，则线段 与线段 的数量关系是 ；
（2）如图2，在 中， ，分别以边 、 向外作正方形 和正方形 ，连接
， ， ．猜想线段 与线段 的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，
各角均为 ）
（3）在（2）的条件下，探究 与 面积是否相等？说明理由．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC
交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．16．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，
过点F作AE的平行线，两条线交于点G．
(1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；
(2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；
(3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题
1．（2020·湖南娄底·中考真题）如图， 中， ， ，分别在边 、 上的点E
与点F关于 对称，连接 、 、 、 ．
（1）试判定四边形 的形状，并说明理由；
（2）求证：
2．（2018·贵州毕节·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作
CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．
(1)求证：△APD≌△BQC；(2)若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
3．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，
于点E， 于点F．求证： ．
4．（2019·四川内江·中考真题）如图，在正方形 中，点 是 上的一点，点 是 延长线上的
一点，且 ，连结 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ，请求出 的长．
5．（2015·广西梧州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直
平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知矩形 的对角线 相交于点O，点E是边 上一点，
连接 ，且 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，设 与 相交于点F， 与 相交于点H，过点D作 的平行线交 的延长线于点G，
在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（ 除外），使写出的每个三角形的
面积都与 的面积相等．
7．（2022·湖南永州·中考真题）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地 、B、C、 四个位置安
装四个自动喷酒装置（如图1所示），A、B、C、 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了
用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形 的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形 的两条对角线铺设水管．
(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
(2)小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），
满足 ， ， 、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据： ， ）
8．（2022·山东威海·中考真题）如图:
(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2 ，BC＝7，CF＝ ，求四边形AGCH的面积．
