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专题 02 绝对值四种考法全梳理（高频与压轴题型）
目录
【知识点归纳】.................................................................................................................................1
【考法一、分类谈论化简绝对值】.................................................................................................1
【考法二、绝对值几何意义】.........................................................................................................4
【考法三、双绝对值化简】.............................................................................................................8
【考法四、利用非负性化简绝对值】...........................................................................................10
【课后练习】...................................................................................................................................12
【知识点归纳】
1. 含有字母的绝对值的化简求值
性质： ，即
注：无论a为何值，去绝对值，一定要保证得到的结果为非负数。
2. 借助数轴解绝对值问题
性质： 几何意义：表示x到点a的距离
解题技巧：（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”
思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝
对值（代数法）。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结
合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
【考法一、分类谈论化简绝对值】
例．若 ， ；若 ， ；
①若 ，则 ；
②若 ，则 ．
【答案】 1 1 1
【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝
对值是它本身还是它的相反数．根据实数绝对值的性质 ，根据 的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数
即可．
【详解】解： ，
，
；
，
，
，
故答案为：1， ；
① ，
，
，
，
故答案为：1；
② ，
、 、 中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况，
当 、 、 中有一个负数、两个正数时，
，
当 、 、 中有三个负数时，
，
故答案为：1或 ．
变式1．如果 ，且 ，那么 ．
【答案】 或
【分析】由题意可求出 ，故可分类讨论：①当 时，则 ，从而可化简
绝对值求解；②当 时，则 ，同理求解即可．
【详解】解： ，且 ，
．
对 的值分类讨论如下：①当 时， ， ，
；
②当 时， ， ，
．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查化简绝对值．利用分类讨论的思想是解题关键．
变式2．如果 ，那么 的值是 ．
【答案】0或2
【分析】当 时， ，当 时， ，结合 可知，a，b，c
中至少有2个负数，再分情况讨论即可求解．
【详解】当 时， ，当 时，
同理可得 ，
∵ ，∴a，b，c中至少有2个负数
①若a，b，c中有2个负数，1个正数
则 ， 三个数中有2个负数，1个正数
此时
②若a，b，c中有3个负数，
则 ， 三个数都大于0
此时
综上， 的值为0或2
故答案为：0或2．
【点睛】本题考查绝对值的化简，解题的关键是掌握当 时， ，当 时，
．【考法二、绝对值几何意义】
例．材料一：我们知道 的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离； 的几
何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离； 的几何意义是：数轴上表示数
a， 的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．
（1）
解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，
∴ ， ；
（2）
解：∵ ，
∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到 的距离等于5．
∴ ， ．
材料二：如何求 的最小值．
由 的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和 两点的距离的和，要使
和最小，则表示数x的这点必在 和1之间（包括这两个端点）取值．
∴ 的最小值是3；由此可求解方程 ，把数轴上表示x的点记为
点P，由绝对值的几何意义知：当 时， 恒有最小值3，所以要使
成立，则点P必在 的左边或1的右边，且到表示数 或1的点的距离均
为0.5个单位．
故方程 的解为： ， ．
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空： 的最小值为_______；
（2）已知有理数x满足： ，有理数y使得 的值最小，
求 的值．
（3）试找到符合条件的x，使 的值最小，并求出此时的最小值及x
的取值范围．
【答案】（1）5
（2） 或9
（3）当n是奇数， 时， 的最小值为 ；当n是偶数，
时， 最的小值为【分析】（1）由阅读材料直接可得；
（2）由已知可得： 或 ， 有最小值7，求
得 ，代入计算即可求解；
（3）当n是奇数时，中间的点为 ，所以当 时，
；当n是偶数时，中间的两个点相同为 ，
所以当 时， ．
【详解】解：（1）由阅读材料二可得： 的几何意义是数轴上表示数x的点到
表示数3和 两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在 和3之间（包括这
两个端点）取值，即 ．
∴ 的最小值为5；
（2）∵ 的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和 两点的距离的和，
要使和最小，则表示数x的这点必在 和10之间（包括这两个端点）取值，即 ．
∴ 的最小值为13，
又∵ ，∴ 或 ，
∵ 表示数轴上表示y到 ，3，6之间的距离和最小，
∴当 时，有最小值7，∴ 或 ；
（3） 的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和
最小，
当n是奇数时，中间的点为 ，所以当 时，
；
∴当n是奇数， 时， 的最小值为 ．
当n是偶数时，中间的两个点相同为 ，
所以当 时， ．
∴当n是偶数， 时， 最的小值为 ．
【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键．
变式1.（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差
的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．
例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为 ．
（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为 、2、x，
如图①，当 时， ；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当 时， _______ ；
Ⅱ．由Ⅰ可得：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 在 时有最小值为_______．
（2）直接应用：求 的最小值．
（3）应用拓展：若 ，当 时，直接写出S的取值范围
_______．
【答案】（1）I、 ， ；II 、5；（2）9；（3） ．
【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案；
（2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案；
（3）根据 ，当 时，进而得出 ，再求出其取值
范围即可．
【详解】（1）I．解：由题意可得，
当 时，
，
当 时，
故答案为 ， ；
II．由题意可得，
在 时有最小值为5，
故答案为5；（2）解：由（1）可得，
当x在 ，4两点之间时最短，
即当 时， 的最小值，
最小值为 ，
故 的最小值为9；
（3）由（1）可得， 表示到1，6， 三点的距离之和，当
时， ，
∴可得到当 时最小值，最小值为 ，
当 时，最大值为
故答案为： ．
【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大
两点之间．
变式2．【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当 ， 时，A，B之间的距离 ；
②当 ， 时，A，B之间的距离 ______；
③当 ， 时，A，B之间的距离 ______．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为 ______；
【问题解决】
（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若 ，则 ______．
②若 ，则 ______．
③若x，y满足 ，则代数式 的最大值是______，最小
值是______．
【答案】（1）7，3；（2） ；（3） 或 ；（4）①4②0或8③7，0
【分析】本题考查数轴上两点之间的距离；
（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离 即可；
（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为；
（3）解绝对值方程即可；
（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出 ， 的取值范围，然
后计算解题．
【详解】（1）② ； ③ ； 故答案为：7，3．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ，
故答案为： ．
（3）∵ ，∴ ，解得： 或 ；
（4）① ，即 ，解得： ；故答案为：4．
②若 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，方程无解；
当 时， ，解得 ；
故答案为：8或0．
③由题可知 ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴代数式 的最大值是 ，最小值是 ，
故答案为：7，0．
【考法三、双绝对值化简】
例．若关于 的方程 恰有两个不同的解，则 的取值范围为
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的性质等知识，根据绝对值的性质得 ，再根据
绝对值性质可得 或 ，根据绝对值性质和不等式性质即可求解.
【详解】解： ，
，或 ，
当 时，方程无解或只有一个解，
，
，即 或 ，即 ，
但当 时， 或 都成立，此时 有 个不同的解，
只有 时， 成立，方程恰有两个不同的解.
变式1．如果 ，则 的值是 .
【答案】3.
【分析】由 ，得 ，然后对a，b的大小进行分类解得即可.
【详解】解：由 ，得 .若 ，则 ，原式
，若 ，则 ，原式
，综上得其值为3.
【点睛】本题考查了含绝对值的代数式求值，关键在于讨论绝对值内部的大小，进而取绝
对值求解.
变式2．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定 ，
(1)当 时，则 ___ ， ___ ．
(2)当 时，则 ___ ．
(3)当 ，且 ，求c的值．
【答案】(1)3，7；(2)2或 ；(3)c的值为 或 或 或
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握化简
绝对值，并分类讨论是解题的关键．
（1）将值代入，计算求解即可；
（2）由题意知，分当 时，当 时，当 时，三种情况化简绝对值，计算
求解即可；
（3）由题意知，当 时， ， ，然后分当
时；当 时；当 时；三种情况化简绝对值，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知， ，
，
故答案为：3，7；
（2）由题意知，当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ， ，
∴ ，
当 时，解得， ；
当 时，解得， ；
故答案为：2或 ；
（3）解：当 时， ， ，
当 时， ，则 ，
解得， ；
当 时， ，则 ，
解得， ；
当 时， ， ，
∴ ，
当 时，解得， ；
当 时，解得， ；
综上所述，c的值为 或 或 或 ．
【考法四、利用非负性化简绝对值】
例．设a，b，c为整数，且 ，则
【答案】2
【分析】根据题意可得得到a，b，c之间的关系，从而可得得到所求式子的值．
【详解】解：∵a，b，c为整数，且 ，
∴ 或 ，当 时， ，
∴ ；
当 时， ，∴ ，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了绝对值的性质，化简绝对值，解题的关键是明确题意，利用分类讨论
的数学思想解答．
变式1．已知a，b，c均为整数，且 ，那么 的值
．
【答案】1或2或3或4
【分析】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．首先根据 ， ，
均为整数得 ， 均为非负整数，再根据 即可得出① ，
，② ， ，③ ， ，据此根据每一种情况求出
的值即可．
【详解】解： ， ， 均为整数，
， 均为非负整数，
又 ，
， ，或 ， ，或 ， ，
①当 ， 时， ， ，
；
②当 ， 时， ， ，
；
③当 ， 时，此时 或2，
或 ．
综上所述， 的值是1或2或3或4．
故此题答案为：1或2或3或4．
变式2．已知a，b，c都为整数，且 ，则方程
的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，绝对值方程，根据题意得到 ，
或 ， ，分了讨论 的值，再代入 中
求解绝对值方程即可．
【详解】解：由题意， ， 或 ， ，
当 ， 时，则 ，，即
，
当 ， 时，则 ，
，即 ，
，
，解得 ．
【课后练习】
1．已知： ，且 ．则m共有x个不同的值，
若在这些不同的m值中，最大的值为y，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义分情况说明即可求解．
【详解】解： ，
，
a，b，c三个数中有两负一正，当a，b为负，c为正数时，
；
当a，c为负，b为正数时，
；
当b，c为负，a为正数时，；
，
m共有3个不同的值，在这些不同的m值中，最⼤的值为0，
，
，
故答案为：3．
2．已知在数轴上与实数 对应的点如图所示，则 的值
为 ．
【答案】2
【分析】本题考查数轴和有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，先根
据数轴，求出 的取值范围，依此确定 的取值范围，再去
绝对值符号计算即可．
【详解】解：根据数轴得：
∴ ， ， ， ，
∴ ，
故答案为：2．
3．适合 的正整数a的值有 个
【答案】8
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，分当 时，当 时，当 时，
三种情况去绝对值得到 的取值范围，从而得到只有当 时
成立，据此求出满足题意的正整数a的值即可得到答案．
【详解】解：当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
∴只有当 时 成立，
∴正整数a的值有 ，共8个，故答案为：8．
4． 、 、 、 为互不相等的有理数，且 ， ，则
．
【答案】 或
【分析】分类讨论，当 和 时，然后利用 得出
的值．
【详解】当 时，
∵ ，即 ，
∴ 与 必互为相反数（否则 ，不合题意），
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ 或 ，
∴ ( 不合题意，舍去)， ，
∴ ，
∴
当 时，
∵ ，即 ，
∴ 与 必互为相反数（否则 ，不合题意），
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ 或 ，
∴ ， ( 不合题意，舍去)，
∴ ，
∴故答案为：6或2
【点睛】本题主要考查了根据已知条件确定符号及去绝对值的运算，解题的关键是分类讨
论去绝对值符号．
5．在 ， ， ， ， ， ， ， 中，每个字母的值恰好是 ，0，1这三个数值中的
一个，若 ，则 ．
【答案】4 或 10
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0
时，这5个字母可能是什么数．根据已知条件 中，每个字母的值恰好是 ，
， 这三个数值中的一个， ，求出其中 个字母的值的和为
，进行推导即可．
【详解】解： 中，每个字母的值恰好是 ， ， 这三个数值中的一个，
， ，
有 个字母的值分别为 ， ， ，另 个字母的值的和为 ，
这 个字母的值分别为： ， ， ， ， 或 ， ， ， ， ，
这 个字母的值分别为 ， ， ， ， ， ， ， 或 ， ， ，0，0，0，0， ，
；
或 ；
故答案为： 或4．
6．已知 ，则 的最大值是
，最小值是 ．
【答案】 15
【分析】 表示数轴上表示x的点到表示 和2的两个点的距离之和，得
．同理， ， ，可得 ，
， ．于是 ．
【详解】解： 表示数轴上表示x的点到表示 和2的两个点的距离之和，
∴ ．
同理， ， ，
而 ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∴ ．故答案为：15，
【点睛】本题考虑数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键．
7．已知整数 满足 ，则 的值为 ．
【答案】0或
【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可．
【详解】∵ ，且整数 ，
∴ 或 ，或
∴ ；
或 ；
或 ；
综上， 的值为0或 ．
故答案为：0或 ．
8．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数
学问题的重要思想方法．在数轴上点 分别表示数 ． 两点间的距离可以用符号
表示，利用有理数减法和绝对值可以计算 两点之间的距离 ．
例如：当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
综合上述过程，发现点 之间的距离 （也可以表示为 ）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：
(1)表示数 和 的两点间距离是6，则 _________；
(2)如果数轴上表示数 的点位于 和3之间，则 _________；
(3)代数式 的最小值是多少？
(4)如图，若点 在数轴上表示的有理数分别为 ，则式子
的最小值为_________（用含有 的式子表示结果）．
【答案】(1) 或4
(2)7
(3)2
(4)【分析】（1）根据题意可得 ，求解即可获得答案；
（2）根据题意可得 ，从而得到 ， ，进而得到 ，
，即可求解；
（3）分情况讨论，可得 时，代数式存在最小值，化简即可求解；
（4）根据题意可得，原式表示 的对应点到 对应的点的距离之和，从而得到
当 时， 有最小值，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，可得 ，
∴ 或 ，
解得： 或4．
故答案为： 或4；
（2）∵表示数 的点位于 和3之间，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：7；
（3） 表示点 到1，2，3的距离之和，
当点 在1左侧时，如下图，
此时 ，
∴ ；
当点 与表示1的点重合时，如下图，
此时 ，
∴ ；
当点 在1，2之间时，如下图，
此时 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ；
当点 与表示2的点重合时，如下图，
此时 ，
∴ ；
当点 在2，3之间时，如下图，
此时 ，
∴ ，
∴ ；
当点 与表示3的点重合时，如下图，
此时 ，
∴ ；
当点 在3右侧时，如下图，
此时 ，
∴ ．
综上所述，当 时，该代数式有最小值，
此时 ；
（4） ，
∴原式表示 的对应点到 对应的点的距离之和，
如下图，
∴当 时， 有最小值，
∴此时原式
．
【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义、数轴上两点间的距离等知识，利用数形结合
和分类讨论的思想解答是解题的关键．
