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专项 13 非负性的应用（2 技巧 5 类型）
类型一： 绝对值的非负性
任何一个实数的绝对值是非负数
类型二：算术平方根的非负性
1. 二次根式具有双重非负性，即
2. 几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
【考点1 绝对值的非负性】
【典例1】已知﹣2≤x≤1，则化简代数式|x+2|﹣2|x﹣1|+|3-x|的结果是（ ）
A．4x-3 B．2x+3 C．﹣2x+7 D．﹣
2x+3
【答案】B
【解答】解：∵﹣2≤x≤1，
∴x+2≥0，x-1≤0，3-x＞0
∴|x+2|﹣2|x﹣1|+|3-x|=x+2-2（1-x）+3-x=x+2-2+2x+3-x=2x+3.
故答案为：B.【变式1-1】若 |a−3|=−(a−3) ，则a的取值范围是（ ）
A．a≥3 B．a>3 C．a≤3 D．a<3
【答案】C
【解答】解：∵|a-3|=-（a-3）
∴a-3≤0
a≤3.
故答案为：C
【变式1-2】（2020秋•奉化区校级期末）若1＜x＜2，则 的值是（
）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，
∴原式＝﹣1+1+1＝1，
故选：D．
【变式1-3】若|a|＝2，|b|＝1，且|a+b|＝a+b，则（a﹣b）a的结果为（ ）
A．1 B．6 C．9 D．1或9
【答案】D
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝1，
∴a=±2，b=±1，
∵|a+b|=a+b，
∴a+b≥0，
∴a=2，b=±1，
当a=2，b=1时，(a−b) a=(2−1) 2=1，
当a=2，b=−1时，(a−b) a=[2−(−1)] 2=9
故答案为：D
【考点2 算术平方根的非负性】
中被开方数a≥0的应用【典例2】（2022•南京模拟）已知 ，则（x+y）2000（x﹣y）2001的值
为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】B
【解答】解：∵ ，
∴x＝2，y＝﹣ ，
则（x+y）2000（x﹣y）2001＝（2﹣ ）2000×（2+ ）2001
＝[（2+ ）×（2﹣ ）]2000×（2+ ）
＝（4﹣3）2000×（2+ ）
＝1×（2+ ）
＝2+ ．
故选：B．
【变式2-1】（2022春•永川区期末）若 ，则|x﹣y|的值是（ ）
A．5 B．1 C．﹣1 D．2
【答案】B
【解答】解：根据题意，得 ．
解得y＝3，
则x＝2．
所以|x﹣y|＝|2﹣3|＝1．
故选：B．
【变式2-2】（2022春•东莞市期中）已知实数x，y满足 + ＝0，则（xy）2020＝
．【答案】1
【解答】解：∵实数x、y满足 + ＝0， ， ．
∴1﹣x＝0，y+1＝0，
解得x＝1，y＝﹣1，
∴（xy）2020＝（﹣1）2020＝1．
故答案为：1．
≥0的应用
【典例3】（2022春•科左中旗月考）若 ＝3﹣x，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x＞3
【答案】C
【解答】解：根据二次根式的非负性，
可得3﹣x≥0，
∴x≤3．
故选：C．
【变式3-1】（2022春•平桂区 期末）如果 ，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m＜3 D．m≤3
【答案】D
【解答】解：由题意得3﹣m≥0，
∴m≤3．
故选：D．
【变式3-2】（2022春•广阳区校级期末）当1＜a＜2时，代数式 + 的
值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
【答案】A
【解答】解：∵1＜a＜2，
∴a﹣2＜0，a﹣1＞0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣1|
＝2﹣a+a﹣1
＝1．故选：A．
【变式3-3】（2022春•保山期末）若 2、5、n为三角形的三边长，则化简 +
的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10
【答案】A
【解答】解：∵2、5、n为三角形的三边长，
∴3＜n＜7．
∴ +
＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝n﹣3+8﹣n
＝5．
故选：A．
算术平方根的双重非负性的应用
【典例4】（2022春•汉阳区期中）实数x，y使 +（y+2）2＝0成立，求 的值．
【解答】解：∵ +（y+2）2＝0，
∴x﹣3＝0，y+2＝0，
即x＝3，y＝﹣2，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
即 的值是 ．
【变式4-1】（2021秋•冷水滩区期末）已知 ＝0，求 的值．
【解答】解：∵ +（y+2）2＝0，
∴x2﹣9＝0，y+2＝0，
解得x＝±3，y＝﹣2，
当x＝3，y＝﹣2时，＝ ＝1；
当x＝﹣3，y＝﹣2时，
无意义．
综上， 的值为1．
【变式4-2】（2022春•西城区校级期中）若 +（3x+y﹣1）2＝0，求 的平方
根．
【解答】解：∵ +（3x+y﹣1）2＝0，
∴ ，
解得 ，
∴原式＝ ＝3．
∴ 的平方根为± ．
【变式4-3】（2022春•灌云县期末） ＝|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质
解答以下问题：
（1）化简： ＝ ， ＝ ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+ ．
【解答】解：（1）
＝|﹣3|
＝3，
＝|3﹣ |
＝ ﹣3π，
π故答案为：3， ﹣3；
（2）由数轴得π：a＜b＜0＜c，
∴c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴﹣|c﹣a|+
＝﹣（c﹣a）+c﹣b
＝﹣c+a+c﹣b
＝a﹣b．
【考点3 算术平方根钰绝对值的非负性综合】
【典例 5】（2022 春•通海县期末）已知 +|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值为
（ ）
A．﹣1 B．1 C．32023 D．﹣32023
【答案】A
【解答】解：∵ +|b﹣1|＝0．
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
即a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，
故选：A．
【变式5-1】（2022•东坡区校级模拟）已知 +|b+2|＝0，则ab＝（ ）
A．﹣4 B．﹣ C．4 D．
【答案】D
【解答】解：∵ +|b+2|＝0，
∴a﹣2＝0，b+2＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴ab＝2﹣2＝ ．
故选：D．【变式 5-2】（2022 春•新会区校级月考）若 +|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2022＝
（ ）
A．﹣1 B．1 C．52022 D．﹣52022
【答案】B
【解答】解：∵ +|2a﹣b+1|＝0，而 ，+|2a﹣b+1|≥0，
∴ ，
解得 ，
∴（b﹣a）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：B．
【典例6】（2022春•扶绥县期末）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|
b|．
化简： ．
【解答】解：由题意可得，c＜a＜0＜b，
∴a﹣c＞0，
∵|a|＝|b|．
∴a+b＝0，
∴ ．
＝﹣a﹣0+（a﹣c）﹣（﹣c）
＝﹣a﹣0+a﹣c+c
＝0．
【变式6-1】（2022春•梁山县期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代
数式： ﹣|a+c|+ ﹣|﹣b|．
【解答】解：由数轴可知：a＜c＜0＜b＜﹣a，∴a+c＜0，c﹣b＜0，﹣b＜0，
∴原式＝2+（a+c）+|c﹣b|﹣b
＝2+a+c﹣c+b﹣b
＝2+a．
【变式6-2】（2022春•高安市期中） ＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质
解答以下问题：
（1）化简： ＝ ， ＝ ；
（2）若 ＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 ；
（3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简 ﹣|c﹣a|+ ．
【解答】解：（1） ＝|﹣2|＝2， ＝|3﹣ |＝ ﹣3．
π π
∴答案为：2， ﹣3．
π
（2）∵ ＝|1+x|＝﹣1﹣x．
∴1+x≤0，
∴x≤﹣1．
故答案为：x≤﹣1．
（3）由数轴得：a＜b＜0＜c．
∴c﹣a＞0，b﹣c＜0．
∴原式＝|a|﹣（c﹣a）+|b﹣c|
＝﹣a﹣c+a﹣b+c
＝﹣b．
1．（2022春•德城区校级期中）若 ＝3﹣x成立，则x满足得条件（ ）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
【答案】B
【解答】解：∵ ＝|3﹣x|＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，解得x≤3．
故选：B．
2．（2022春•冠县期末）当x＞2时， ＝（ ）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2+x D．±（x﹣2）
【答案】B
【解答】解：由题意可知：2﹣x＜0，
∴原式＝|2﹣x|
＝﹣（2﹣x）
＝﹣2+x，
故选：B．
3．（2022春•礼县期末）已知|a|＝3， ＝5，且|a+b|＝a+b，那么a+b的值是（ ）
A．2或8 B．2或﹣8 C．﹣2或8 D．﹣2或﹣8
【答案】A
【解答】解：∵|a|＝3， ＝5，
∴a＝±3，b＝±5，
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b≥0，
∴当a＝3，b＝5时，a+b＝3+5＝8，
当a＝﹣3，b＝5时，a+b＝﹣3+5＝2，
综上所述：a+b的值是2或8，
故选：A．
4．（2022春•秭归县期中）若1≤x≤4，化简|1﹣x|﹣ 的结果为（ ）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣3 D．5﹣2x
【答案】B
【解答】解：∵1≤x≤4，∴|1﹣x|﹣
＝x﹣1﹣（4﹣x）
＝2x﹣5．
故选：B．
5．（2022 春•绥滨县期末）把（m﹣1） 中根号前的（m﹣1）移到根号内得
（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】D
【解答】解：由题意可知： ，
∴1﹣m＞0，
∴原式＝﹣
＝﹣ ，
故选：D．
6．（2022春•江津区校级期中）若xy≤0，二次根式 有意义，则x，y满足的条件是
（ ）
A．x≥0，y≥0 B．x≥0，y≤0 C．x≤0，y≥0 D．x≤0，y≤0
【答案】C
【解答】解：由题意，得
xy≤0，且x2y≥0，
∴y≥0，x≤0，
故选：C．
7．（2022•雄县一模）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简 的结
果是（ ）
A．2b﹣a B．a+2b C．﹣a D．a【答案】B
【解答】解：由数轴可知：b＜0＜a，|a|＞|b|，
∴a+b＞0，
∴原式＝（a+b）﹣（﹣b）
＝b+a+b
＝a+2b，
故选：B．
8．（2022春•龙凤区期中）已知x，y为实数，且 +（y﹣4）2＝0，则x+y的值为（
）
A．﹣2 B．﹣8 C．2 D．8
【答案】C
【解答】解：∵ +（y﹣4）2＝0，而 ≥0，（y﹣4）2≥0，
∴ ，
解得 ，
则x+y＝2，
故选：C．
9．（2022春•绥江县期中）若（a﹣1）2+ ＝0，则（a﹣b）2022＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2022
【答案】A
【解答】解：∵（a﹣1）2+ ＝0，而（a﹣1）2≥0， ≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
∴（a﹣b）2022＝（﹣1）2022＝1．
故选：A．
10．（2022春•伊宁市校级期末）若实数x，y满足 ，则x﹣y的值是（
）A．1 B．﹣6 C．4 D．6
【答案】D
【解答】解：∵x﹣5≥0，5﹣x≥0，
∴x≥5，x≤5，
∴x＝5，
∴y＝﹣1，
∴x﹣y＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6，
故选：D．
11．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 +1+|a﹣1|的化简结果
是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【解答】解：根据数轴得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．
故选：B．
12．（2022春•东莞市校级期中）已知实数a满足|a﹣2006|+ ＝a，那么a﹣20062
的值是（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
【答案】C
【解答】解：由题意可得，a﹣2007≥0，
∴a≥2007，
∵|a﹣2006|+ ＝a，
∴a﹣2006+ ＝a，＝2006，
a﹣2007＝20062，
∴a﹣20062＝2007，
故选：C．
13．（2021秋•灌南县校级月考）已知y＝ + +7，求 +y的平方根．
【解答】解：由题意得：x﹣4≥0，4﹣x≥0，
解得：x＝4，
则y＝7，
∴ +y＝ +7＝9，
∵9的平方根是±3，
∴ +y的平方根是±3
14．（2022春•钦州期末）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简 ﹣|c﹣
a|+
【解答】解：由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|
＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣c+a﹣b+c
＝﹣b
15．（2022 春•宣州区校级期中）实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简
．
【解答】解：由题意可得：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，﹣2ab＞0，
原式＝﹣（a﹣b）+（a+c）﹣（c﹣b）﹣（﹣2ab）＝2b+2ab．
16．（2021秋•宁远县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：
+ + ﹣ ．
【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜
0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b+c﹣a﹣b＝
4c．
17．（2022春•天水期末）已知：x，y为实数，且y＜ + +3，化简：|y﹣3|﹣
．
【解答】解：依题意，得
∴x﹣1＝0，解得：x＝1
∴y＜3
∴y﹣3＜0，y﹣4＜0
∴
＝3﹣y﹣
＝3﹣y﹣（4﹣y）
＝﹣1．
