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复习专题十五 能量守恒定律
——精剖细解细复习讲义
知识点1：能量守恒定律
1、功能关系
功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。
功和能的关系，一是体现到不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是
做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。
2、能量守恒定律的内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物
体转移到别的物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
3、能量守恒定律的表达式
ΔE ＝ΔE 。其中ΔE 为末状态的能量减去初状态的能量，ΔE 为初状态的能量减去末状态
减 增 增 减
的能量。
4、功能关系如下表所示
比较
做功特点 功能关系
力
做功与路径无关，只与初、末位置的
重力 W ＝－ΔE＝mgh －mgh
G p 1 2
高度差有关
做功只与弹簧的劲度系数和形变量有 W ＝－ΔE＝k(Δx)2－k(Δx)2(不
弹 p 1 2
弹力(弹簧)
关 要求计算)
滑动摩擦力做功与路径有关，可以做
摩擦力 |W |＝F ·s(s为路程)
f滑 f滑
正功、负功，也可以不做功
一对滑动摩擦力 做功代数和小于零 |W |＝Q＝|ΔE |＝F ·x
f滑 机械能 f滑 相对
一对静摩擦力 做功代数和为零
作用力和反作用力可以做功，也可以
一对相互作用力 不做功，做功代数和可以大于零、小
于零，也可以等于零
合力如果是恒力，可以根据功的定义
合力 F ·x＝ΔE(动能定理)
合 k
式求解
重力及弹簧弹力以外 重力及弹簧弹力以外的其他力所做的
W ＝ΔE
其他力 机械能
的其他力 功将改变系统的机械能
5、能量守恒定律的理解某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等，即ΔE ＝ΔE
减
。
增
某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等，即ΔE
A减
＝ΔE 。
B增
解题时要明确初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，
求出减少的能量总和ΔE 与增加的能量总和ΔE ，最后由ΔE ＝ΔE 列式求解。
减 增 减 增
牢记三条功能关系：
合外力的功等于动能的变化；
重力的功等于重力势能的变化，弹力的功等于弹性势能的变化；
除重力、弹力外，其他力的功等于机械能的变化。
能是物体运动状态决定的物理量，即状态量；而功则是和物体运动状态变化过程有关的物理量，
是过程量。
做功可以使物体具有的能量发生变化，而且物体能量变化大小是用做功的多少来量度的。
弹簧的能量问题：系统内只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒；如果系统内每个
物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同；当水平弹簧
为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。
6、能量守恒定律的解题步骤
明确研究对象；
对研究对象进行受力分析和运动分析；
分析有哪些力做功以及相应的能参与了转化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能）、内
能等。
分析哪些能量增加，哪些能量减少。
列出能量转化守恒关系式：ΔE ＝ΔE 进行求解。
减 增
对结果进行讨论和分析。
能量守恒定律的内容表述
1．自由摆动的秋千摆动幅度越来越小，下列说法正确的是（ ）
A．机械能守恒
B．能量正在消失
C．只有动能和重力势能的相互转化
D．减少的机械能转化为内能，但总能量守恒【答案】D
【详解】秋千摆动，秋千克服摩擦做功，将它的机械能转化为内能散失，使秋千停下来，所以使秋
千停下来的原因是受到空气的阻力，根据能量守恒，自然界的能量只是由一种形式向另一种形式转
化，总和是不变的。
故选D。
2．下列说法中正确的是（ ）
A．能就是功，功就是能
B．做功越多，物体的能量就越大
C．外力对物体不做功，这个物体就没有能量
D．能量转化的多少可以用做功来量度
【答案】D
【详解】A．能是状态量，功是过程量，功和能是两个不同的概念，所以不能说功就是能，能就是
功，故A错误；
B．若阻力对物体做负功，做的负功越多，物体的能量反而就越小，故B错误；
C．外力对物体不做功，只是说明物体的能量不变化，不能说明物体没有能量，故C错误；
D．因功是过程量，能是状态量，所以能量转化的多少可用功来量度，故D正确。
故选D。
3．关于功和能，下列说法正确的是（ ）
A．功有正负，功是矢量 B．功有正负，单位是焦耳（J），是标量
C．能量的单位是焦耳，功的单位是瓦特 D．能量既可以消失，也可以创生
【答案】B
【详解】AB．功的单位是焦耳（J），功虽然有正负，但是不表示方向，是标量，故A错误，B正
确；
CD．能量的单位是焦耳，能量既不会消失，也不会创生，只会从一个物体转移到另外一个物体，
或者从一种形式转变为另一种形式，故CD错误。
故选B。
利用能量守恒定律解决实际问题
4．如图（a），倾角为37°的斜面固定在水平地面上，一小物块从底端O点以一定初速度冲上斜面。
以O点为原点，沿水平方向建立Ox坐标系，物块沿斜面运动过程中，动能E 随x的变化规律如图
k
（b）中的曲线I和II所示，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小为10m/s2，则物块的质量m及物块与斜面间的动摩擦因数μ分别为（ ）
A．m=1kg，μ=0.25
B．m=1kg，μ=0.2
C．m=1.25kg，μ=0.25
D．m=1.25kg，μ=0.2
【答案】A
【详解】由能量守恒定律可得
解得
故选A。
5．冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一。某冰滑梯的示意图如图所示，螺旋滑道的摩
擦可忽略，倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数 相同，不同滑板与滑道的动摩擦因数
不同，但是 满足 。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上匀减速下滑，且
滑行结束时停在水平滑道上，以下 、 的组合符合设计要求的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设倾斜滑道的倾角为 ，为使所有游客在倾斜滑道上匀减速下滑，可知需当 时有
可得
即
同时滑行结束时停在水平滑道上，从开始到倾斜滑道底部间由能量守恒有
即
因为有
可知需满足
解得
滑行结束时停在水平滑道上，从开始运动到停止在水平滑道上的过程中，根据能量守恒有
解得又因为
可知需满足
由上分析可知
，
故选C。
6．草地滑坡是不少生态公园中的休闲项目，其滑道可简化为由一段倾斜直轨道和一段水平直轨道
平滑连接而成。甲、乙两游客分别乘坐相同滑车沿两条不同滑道从同一高度由静止下滑，最终停在
水平轨道上，如图所示，已知游客甲的质量比乙大，滑车与两滑道的动摩擦因数相同，且处处相同，
不计空气阻力，则（ ）
A．两游客在倾斜滑道滑行的时间相同
B．滑到倾斜滑道底端时的速度甲比乙大
C．两游客在滑道上停于同一位置
D．两游客所乘滑车在滑道上滑行产生的热量相等
【答案】C
【详解】A．设倾斜滑道倾角为 ，游客在倾斜滑道滑行的加速度满足
设倾斜滑道长度为L，根据运动学公式可得
解得由图可知，甲游客下滑的加速度比乙游客的小，甲游客滑行倾斜滑道长度大于乙游客滑行倾斜滑道
长度，可知甲游客在倾斜滑道滑行的时间大于乙游客在倾斜滑道滑行的时间。故A错误；
B．在倾斜滑道滑行过程，根据动能定理可得
解得
两游客下滑高度相同，甲游客在倾斜滑道滑行对应的水平距离更大，可知滑到倾斜滑道底端时的速
度甲比乙小。故B错误；
C．游客从静止滑下到最终停止在水平轨道上，根据动能定理可得
可得
可知两游客整个滑行过程的水平位移相等，即两游客停止同一位置。故C正确；
D．根据能量守恒可知两游客所乘滑车在滑道上滑行产生的热量等于减少的重力势能，则有
由于游客甲的质量比乙大，所以甲游客所乘滑车在滑道上滑行产生的热量大于乙的。故D错误。
故选C。
能量守恒定律的简单应用
7．如图所示，有三个斜面a、b、c，底边的长分别为L、L、3L，高度分别为3h、h、h。某物体与
三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。三种情况相
比较，下列说法正确的是（ ）A．因摩擦产生的热量
B．因摩擦产生的热量
C．物体到达底端的动能
D．物体损失的机械能
【答案】A
【详解】ABD．物体下滑，除重力外有摩擦力做功，根据能量守恒，损失的机械能转化成摩擦产生
的内能。
x为斜面的长度，θ为斜面的倾角，由图可知a和b底边相等且等于c的 ，故摩擦生热的热量关系
为
即
损失的机械能
即
故BD错误，A正确；
C．设物体滑到底端时的速度为v，根据动能定理得则
根据图中斜面高度和底边长度可知滑到底边时动能大小关系为
故C错误。
故选A。
8．在倡导“节约型社会”的氛围下，自动充电式电动自行车应运而生。电动车的前轮装有发电机，
发电机与蓄电池连接，当下坡或刹车时，自行车就可自动连通发电机向蓄电池充电，将机械能转化
成电能储存起来。当人骑车以500J的初动能在粗糙的水平路面上运动，第一次关闭自动充电装置，
让车自由滑行，其动能-位移关系如图线①所示；第二次启动自动充电装置，其动能-位移关系如图
线②所示。设转化装置的效率为 ，则（ ）。
A．自由滑行时，人和车所受的合力为100N
B．启动充电装置后，人和车所受的合力先减小后增大
C．启动充电装置后向蓄电池所充电能为200J
D．启动充电装置后转化为电能的功率保持不变
【答案】C
【详解】A．自由滑行时人和车所受的合力为摩擦力，设其大小为 ，在整个运动过程中，由动能
定理得
解得A错误；
B．启动充电装置后，设人和车所受的合力大小为F，在很短的一段位移 内动能的变化量为 ，
由动能定理得
则
由数学知识知，F等于图线切线的斜率的绝对值，由题图知，图线的切线的斜率逐渐减小，故人和
车所受的合力F减小，B错误；
C．启动充电装置后，在整个过程中，由能量守恒定律得
解得
C正确；
D．设在很短的一段时间 内通过的位移为 ，由能量守恒定律得，转化的电能
则
即
因为人和车所受的合力F减小，人和车的速度v减小，故转化的电能的功率P减小，D错误。
故选C。
9．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连
接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为
L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能增加了 mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变
【答案】B
【详解】A．圆环在下落过程中受到弹簧的拉力，拉力做负功，圆环在下落过程中机械能减少， A
错误；
BC．圆环沿杆下滑过程中，对于圆环和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统
的机械能守恒，圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度
所以圆环重力势能减少了 mgL，弹簧弹性势能增加了 mgL ，C错误B正确；
D．圆环沿杆下滑过程中，对于圆环和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的
机械能守恒，圆环沿杆下滑过程中速度先增大在减小，圆环的动能先变大后变小，则圆环重力势能
与弹簧弹性势能之和先变小后变大，D错误。
故选B。
能量守恒定律与曲线运动结合
10．如图所示，一根轻质弹簧的一端固定在O点，另一端连接一个质量为m的小球，当小球静止
时，球心到O点的距离为l，图中的实线是以O为圆心，l为半径的圆弧，用水平力F拉球，使球缓
慢上升，则（ ）A．小球可能沿弧线a向上运动
B．弹簧弹力的大小可能不变
C．水平拉力F先增大后减小
D．水平拉力做的功大于小球重力势能的增加
【答案】D
【详解】设运动到某位置时，弹簧与竖直方向夹角为 ，弹簧的弹力为T，水平拉力为F，对小球
进行受力分析可得
AB．随着小球向上运动，角 逐渐增大，弹簧的弹力逐渐增大，因此小球可能沿弧线b向上运动，
AB错误；
C．由上式可得
因此随着角 逐渐增大的过程，水平拉力F逐渐增大，C错误；
D．根据能量守恒可知，水平拉力做的功一部分转化为小球的重力势能，另一部分转化为弹簧的弹
性势能，D正确。
故选D。
11．物理李老师星期天带儿子到汉中尤曼吉游玩，他们乘坐过山车经过半径为15米圆轨道的最低
点时发现动力已关闭，此时速度显示屏上的数字为30m/s，当到达最高点时李老师体验到了完全失
重的感觉。过程可简化为右图，如果李老师质量为60千克，g=10m/s，那么李老师从最低点运动到
2
最高点的过程中（ ）A．李老师的机械能守恒
B．李老师在最低点时对座位的压力是3600N
C．李老师在最高点时，他的重力的功率是7320W
D．李老师的机械能不守恒，他损失的机械能是4500J
【答案】D
【详解】A．李老师从最低点运动到最高点的过程中，有阻力做功，其机械能不守恒，故A错误；
B．在最低点，由牛顿第二定律及向心力公式得
代入数据解得此时其所受支持力大小为
由牛顿第三定律可知，李老师在最低点时对座位的压力大小是
故B错误；
C．李老师在最高点时，其重力方向与速度方向垂直，他的重力的功率是零，故C错误；
D．李老师在最高点时完全失重，只有重力提供向心力，则
由能量守恒得
解得
故D正确。
故选D。
12．滑雪是一种常见的体育项目，具有很强的观赏性.半径为 的四分之一圆弧轨道如图所示，质量
为 的运动员（含滑板）从 点由静止开始滑下，到达最低点 时，运动员对轨道的压力为 ，
已知轨道半径远大于运动员的身高，重力加速度为 ，则运动员下滑的过程中，下列说法正确的是
（ ）A．机械能守恒
B．先失重后超重
C．重力的功率一直变大
D．阻力做功为 mgR
【答案】B
【详解】运动员在最低点时根据牛顿第二定律有 ，解得 ， 可
知运动员的机械能不守恒，可知有阻力做功，根据动能定理得 ，选
项A、D错误；运动员在圆弧轨道上加速度先向下后向上，先失重后超重，故B正确；重力的功率
开始时为零，到达最低点时重力与速度方向垂直，则重力的功率也为零，则重力的功率先增大后减
小，选项C错误.
多选题
13．如图所示，质量为 、长度为 的木板静止在光滑的水平面上，质量为 的小物体（可视为
质点）放在木板的最左端，现用一水平恒力 作用在小物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运
动．已知物体和木板之间的摩擦力为 ．当物体滑到木板的最右端时，木板运动的距离为 ，则在
此过程中（ ）
A．物体到达木板最右端时具有的动能为B．物体到达木板最右端时，木板具有的动能为
C．物体克服摩擦力所做的功为
D．物体和木板系统产生的内能为
【答案】AB
【详解】A.物体受到重力、支持力、拉力和摩擦力，根据动能定理，有 ，故A
正确；
B.木板受到重力、压力、支持力和摩擦力，根据动能定理，有 ，故B正确；
C.物体在摩擦力作用下前进的距离为 ，物体克服摩擦力所做的功为 ，故C错误；
D.根据功能关系，小物体和木板系统增加的内能等于它们相对运动克服摩擦力做的功，即等于
，故D错误．
14．歼-20战机在飞行表演结束后，降落至跑道并打开了阻力伞，在伞的阻力及跑道摩擦力的合力f
作用下减速至静止，且合力f与速度v成正比。已知歼-20战机落地时的速度为 ，动能为E ，落
k0
地后滑行的总时间为 ，滑行的总距离为 ，用x表示位移，P表示合力f的功率， 表示合力f
对歼-20战机做功的大小，E 表示歼-20战机的动能，则该过程中各物理量之间的关系图像可能正确
k
的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BCD
【详解】A．合力f与速度v成正比，则
根据
可知加速度逐渐减小，故A错误；
B．合力f的功率为
速度随着时间的增大在减小，故功率和时间为二次函数关系，为曲线，故B正确；
C． 表示合力f对歼-20战机做功的大小，则
由于合力f逐渐减小，故 图像的斜率减小，故C正确；
D．整个过程中能量守恒，则
则
合力f逐渐减小，故 的斜率逐渐减小，故D正确。
故选BCD。
15．物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空气阻力 （k为常量）的作用。物体初始位置足够高，则有关物体下落过程中速度v随下落时间t、加速度a随
下落时间t、动能 随下落高度h、机械能E随下落高度h的变化关系图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】A B．由牛顿第二定律
随着速度的增大，加速度逐渐减小到零，因速度和时间不是线性变化关系，加速度和时间也不是线
性变化关系。故A正确，B错误；
C．由动能定理
阻力随着速度的增大逐渐而增大，最后阻力大小等于重力大小，故 图像的斜率为 ，逐
渐减小到零。故C正确；
D．设初始位置机械能为 ，下落高度 处机械能为 ，由功能关系
故 图像的斜率的绝对值为 ，阻力逐渐减小到等于重力大小。故D错误。
故选AC。
16．如图所示，质量为m的小球与一长度为l的轻绳和一原长也为l的轻弹簧相连。轻绳的一端固定在O点，轻弹簧的一端固定在O’点，O与O’等高相距为2l。现从如图所示位置静止释放小球，
当轻绳顺时针转过θ=60°时小球速度为零。以下说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大弹性势能为
B．最低点时弹簧弹力对小球的功率最大
C．弹簧对小球做功
D．在最低点时绳子上拉力为
【答案】AD
【详解】根据题意，当小球下降到最低点，速度为0时，受力情况如下图
A．运用能量守恒，重力做的功转化为弹簧的弹性势能，小球动能没有变，所以弹性势能的大小等
于 ，故A正确；
B．最低点小球速度为零，功率为零，故B错误；
C．根据动能定理，重力做正功 ，弹簧对小球做功为 ，动能的变化量为0，故C错
误；
D．由图所知，最低点时，弹力的方向恰好与圆弧轨道相切，即与绳子拉力方向垂直，此时速度为0，所需的向心力为0，沿着绳子的方向，拉力与重力的分力相等，所以拉力为 ，故D正确。
故选AD。
解答题
17．如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直 圆弧轨道在B点平滑连接，右端与一倾角
为37°的固定光滑斜面轨道在C点平滑连接，斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量 的滑块从圆
弧轨道的顶端A点由静止释放，第一次经过B点时的速度大小 ，之后经水平轨道BC后滑
上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点（弹簧未超过其弹性限度），水平轨道BC长为
1m，滑块与水平轨道BC之间的动摩擦因数 ，CD长为1m，取 ， 。
求：
（1）圆弧轨道的半径和滑块第一次经过B点时对轨道的压力大小；
（2）整个过程中弹簧具有的最大弹性势能；
（3）若滑块与BC之间的动摩擦因数 可调节，弹簧始终在弹性限度内，若滑块最终只经过B点3
次，求滑块与BC之间的动摩擦因数 的取值范围。
【答案】（1）1.8m， ；（2） ；（3）
【详解】（1）滑块从A到B的运动过程，根据机械能守恒定律有
解得
设滑块第一次经过B点时所受轨道的支持力大小为F ，根据牛顿第二定律有
N
解得根据牛顿第三定律可知，滑块第一次经过 点时对轨道的压力大小为 。
（2）由于滑块每次经过水平轨道BC时都要克服摩擦力做功消耗机械能，所以只有第一次压缩弹簧
时，弹簧弹性势能最大，根据能量守恒定律有
解得
（3）由于圆弧轨道光滑，所以只要滑块在第2次经过B点时速度不为零，就一定会再次经过B点，
且为使滑块最终只经过B点3次，需要滑块在第4次到达B点前速度减为零。假设滑块恰好在第2
次经过B点时速度为零，则此时滑块与BC之间的动摩擦因数具有最大临界值 ；假设滑块恰好
在第4次经过B点时速度为零，则此时滑块与BC之间的动摩擦因数具有最小临界值 。根据能
量守恒定律有
解得
，
所以若滑块只经过B点3次，滑块与BC之间的动摩擦因数应满足
18．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内粗糙半圆形轨道在B点平滑相接，半圆形轨道半径为
R，一质量为 的物块（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，获得向右速度后脱离弹簧，
经过B点进入半圆形轨道后瞬间对轨道的压力大小为其重力的8倍，之后沿圆周运动，到达C点时
对轨道的压力恰好为0。重力加速度为g，求：
（1）释放物块时弹簧的弹性势能；
（2）物块从B点运动到C点过程中克服摩擦力做的功；
（3）物块离开C点后落回水平面时，重力的瞬时功率大小。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）物体在B点时
解得
根据能量守恒可知弹簧的弹性势能为
（2）物体在C点时
化简得
物体从B到C的过程中
解得物体克服摩擦力做功
（3）物体从C点飞出后做平抛运动，竖直方向有
所以重力的功率为
19．质量 的圆环A和质量 的重物B用轻绳跨过一滑轮连接，重物B放置在倾角为30°固定在水平地面的斜面上，轻绳平行于斜面，B与斜面间的动摩擦因数 ，圆环A套在竖
直固定的光滑直杆上，滑轮中心与直杆的距离为 。现将圆环A从与滑轮上表面等高处a静
止释放，下降 到达b位置。已知直杆和斜面足够长，不计空气阻力，重力加速度g取
。求：
（1）当圆环A滑动到b时，圆环B的速度大小（答案可保留根号）；
（2）圆环A从a到b过程中，绳子拉力对圆环A做的功（保留两位小数）；
（3）圆环A从a到b过程中，重物B与斜面间由于摩擦产生的热量。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）当圆环A运动到 时，设此时轻绳与竖直杆的夹角为 ，则有
设重物B沿斜面上滑的距离为 ，则有
由运动关系可知此时圆环A的速度 与重物B的速度 的关系为
根据能量守恒定律有
解得（2）根据题意，设圆环A从 到 过程中，绳子拉力对圆环A做的功为 ，由动能定理有
代入数据解得
（3）圆环 从 到 过程中，重物B与斜面间由于摩擦产生的热量为
