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专项 13 非负性的应用（2 技巧 5 类型）
类型一： 绝对值的非负性
任何一个实数的绝对值是非负数
类型二：算术平方根的非负性
1. 二次根式具有双重非负性，即
2. 几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
【考点1 绝对值的非负性】
【典例1】已知﹣2≤x≤1，则化简代数式|x+2|﹣2|x﹣1|+|3-x|的结果是（ ）
A．4x-3 B．2x+3 C．﹣2x+7 D．﹣
2x+3
【变式1-1】若 |a−3|=−(a−3) ，则a的取值范围是（ ）
A．a≥3 B．a>3 C．a≤3 D．a<3
【变式1-2】（2020秋•奉化区校级期末）若1＜x＜2，则 的值是（
）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1【变式1-3】若|a|＝2，|b|＝1，且|a+b|＝a+b，则（a﹣b）a的结果为（ ）
A．1 B．6 C．9 D．1或9
【考点2 算术平方根的非负性】
中被开方数a≥0的应用
【典例2】（2022•南京模拟）已知 ，则（x+y）2000（x﹣y）2001的值
为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【变式2-1】（2022春•永川区期末）若 ，则|x﹣y|的值是（ ）
A．5 B．1 C．﹣1 D．2
【变式2-2】（2022春•东莞市期中）已知实数x，y满足 + ＝0，则（xy）2020＝
．
≥0的应用
【典例3】（2022春•科左中旗月考）若 ＝3﹣x，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x＞3
【变式3-1】（2022春•平桂区 期末）如果 ，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m＜3 D．m≤3
【变式3-2】（2022春•广阳区校级期末）当1＜a＜2时，代数式 + 的
值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
【变式3-3】（2022春•保山期末）若 2、5、n为三角形的三边长，则化简 +
的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10算术平方根的双重非负性的应用
【典例4】（2022春•汉阳区期中）实数x，y使 +（y+2）2＝0成立，求 的值．
【变式4-1】（2021秋•冷水滩区期末）已知 ＝0，求 的值．
【变式4-2】（2022春•西城区校级期中）若 +（3x+y﹣1）2＝0，求 的平方
根．
【变式4-3】（2022春•灌云县期末） ＝|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质
解答以下问题：
（1）化简： ＝ ， ＝ ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+ ．【考点3 算术平方根钰绝对值的非负性综合】
【典例 5】（2022 春•通海县期末）已知 +|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值为
（ ）
A．﹣1 B．1 C．32023 D．﹣32023
【变式5-1】（2022•东坡区校级模拟）已知 +|b+2|＝0，则ab＝（ ）
A．﹣4 B．﹣ C．4 D．
【变式 5-2】（2022 春•新会区校级月考）若 +|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2022＝
（ ）
A．﹣1 B．1 C．52022 D．﹣52022
【典例6】（2022春•扶绥县期末）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|
b|．
化简： ．
【变式6-1】（2022春•梁山县期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代
数式： ﹣|a+c|+ ﹣|﹣b|．【变式6-2】（2022春•高安市期中） ＝|a|是二次根式的一条重要性质．请利用该性质
解答以下问题：
（1）化简： ＝ ， ＝ ；
（2）若 ＝﹣1﹣x，则x的取值范围为 ；
（3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简 ﹣|c﹣a|+ ．
1．（2022春•德城区校级期中）若 ＝3﹣x成立，则x满足得条件（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
2．（2022春•冠县期末）当x＞2时， ＝（ ）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2+x D．±（x﹣2）
3．（2022春•礼县期末）已知|a|＝3， ＝5，且|a+b|＝a+b，那么a+b的值是（ ）
A．2或8 B．2或﹣8 C．﹣2或8 D．﹣2或﹣8
4．（2022春•秭归县期中）若1≤x≤4，化简|1﹣x|﹣ 的结果为（ ）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣3 D．5﹣2x
5．（2022 春•绥滨县期末）把（m﹣1） 中根号前的（m﹣1）移到根号内得
（ ）A． B． C．﹣ D．﹣
6．（2022春•江津区校级期中）若xy≤0，二次根式 有意义，则x，y满足的条件是
（ ）
A．x≥0，y≥0 B．x≥0，y≤0 C．x≤0，y≥0 D．x≤0，y≤0
7．（2022•雄县一模）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简 的结
果是（ ）
A．2b﹣a B．a+2b C．﹣a D．a
8．（2022春•龙凤区期中）已知x，y为实数，且 +（y﹣4）2＝0，则x+y的值为（
）
A．﹣2 B．﹣8 C．2 D．8
9．（2022春•绥江县期中）若（a﹣1）2+ ＝0，则（a﹣b）2022＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2022
10．（2022春•伊宁市校级期末）若实数x，y满足 ，则x﹣y的值是（
）
A．1 B．﹣6 C．4 D．6
11．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 +1+|a﹣1|的化简结果
是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
12．（2022春•东莞市校级期中）已知实数a满足|a﹣2006|+ ＝a，那么a﹣20062
的值是（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．200813．（2021秋•灌南县校级月考）已知y＝ + +7，求 +y的平方根．
14．（2022春•钦州期末）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简 ﹣|c﹣
a|+
15．（2022 春•宣州区校级期中）实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简
．
16．（2021秋•宁远县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：
+ + ﹣ ．
17．（2022春•天水期末）已知：x，y为实数，且y＜ + +3，化简：|y﹣3|﹣
．
