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专项 12 相似三角形-手拉手旋转型综合应用（2 大类型）
模型一：有公共顶点的直角三角形
模型二：有公共顶点的任意三角形【类型1：有公共顶点的直角三角形】
【典例1】如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AC、BC的中点，连接
DE，tan∠BAC＝ ．
【问题背景】如图 2，将△CDE 绕 C 点旋转一定的角度，连接 BE、AD，求证：
△ADC∽△BEC；
【尝试运用】如图3，当△CDE绕C点旋转过程中，AD、BE交于点H，连接CH，CH
＝5，求AH﹣ BH的值；
【拓展延伸】如图3，若CD＝1，当△CDE绕C点旋转过程中，直接写出△ABH面积的
最大值是 ．
【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴ ，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC∽△BEC；
（2）过点C作CF⊥CH交AH于点F，则∠ACB＝∠FCH＝∠DCE＝90°，
∴∠ACF＝∠BCH，∠ACD＝∠BCE，
∵ ，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CAF＝∠CBH，
∴△ACF∽△BCH，
∴ ，
∴AF＝ ，CF＝ ，
在Rt△CFH中，由勾股定理得：
FH＝ ＝ ，
∴AH﹣ ，
∴AH﹣ BH的值为： ；
（3）设BC交AH于G，
由（2）得：∠CAG＝∠HBG，
∵∠AGC＝∠BGH，
∴∠BHG＝∠ACG＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴点H在以AB为直径的圆上运动，
当△ABH为等腰直角三角形时，△ABH面积的最大，由（1）得AC＝2CD＝2，BC＝ ，
∴AB ＝ ，
∴△ABH面积的最大值为 AB× ＝ AB2＝ ，
故答案为： ．
【变式1】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，
点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．
【初步探究】
（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直
接写出BF与DE的数量关系与位置关系： ；
【类比探究】
（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD
和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且 ，其他条件不变．
①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；
②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．
【解答】解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，
∴CF＝CE，∠ECF＝90°，
∴∠BCD＝∠ECF，
∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCE，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，
∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，
∴∠CDE+∠DMF＝90°，
∴∠BND＝90°，
∴BF⊥DE，
故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；
（2）①如图③， ，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ECF＝90°，
∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCE，
∵ ，
∴△BCF∽△DCE，
∴ ＝ ；
②如图③，连接BD，
∵△BCF∽△DCE，
∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝12，
∵CE＝6， ，
∴ ＝ ，
∴CF＝8，BC＝16，
∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，
∴∠BOD＝90°，
∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，
在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，
在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，
在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，
在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，
∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，
∴BD2+EF2＝400+100＝500，
∴DF2+BE2＝500．
【类型2：有公共顶点的任意三角形】
【典例2】已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC．
【解答】证明：∵△ABD∽△ACE，
∴ ，
∴ ，
而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC．
【变式2】如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE．
【解答】证明：∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE， ＝ ．
∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
即∠BAC＝∠DAE，
又∵ ＝ ．
∴△ABC∽△ADE．
【典例3】如图，正△ABC的边长为6，点D是BC边上一点，连接AD，将AD绕点A顺时
针旋转60°得AE，连接DE交AB于点F．
（1）填空：若∠BAD＝20°，则∠BDF＝ °；
（2）若当点D在线段BC上运动时（不与B、C两点重合），设BD＝x，BF＝y，
试求y与x之间的函数关系式；
（3）若 ＝ ，请求出AE的长．
【解答】解：（1）∵AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠AED＝∠ADE＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BDF＝∠EAF，
∵∠BAD＝20°，∴∠EAF＝40°，
∴∠BDF＝40°；
（2）∵∠EDA＝60°，
∴∠BDF+∠ADC＝120°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADC+∠DAC＝120°，
∴∠BDF＝∠DAC，
∴△BDF∽△CAD，
∴ ，
∵BF＝y，BD＝x，AB＝BC＝AC＝6，
∴ ，
∴ ；
（3）过点D作DG⊥AC于G，如图，
∵BC＝6， ，
∴BD＝2，CD＝4，
∵∠ACB＝60°，
∴CG＝2，DG＝2 ，
∴AG＝4，
∴AD＝ ，
∵△AED是等边三角形，
∴AE＝AD＝ ．【变式3】（1）如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
（2）如图（2），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，延长BD到点E，使
∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2 ，求出AD的长．
（3）如图（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝
30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上， ＝ ，试证明△ADF∽△ECF，并求
出 的值．
【解答】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，
∴ ，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：过点A作AM⊥AB，过点D作DM⊥AD，两条垂线交于M，连接BM，
∴∠BAD+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
∴△ADM∽△CDB，
∴ ，
∵∠BDC＝∠ADM，
∴∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴ ，
∴BM＝ AC＝ ＝6，
∴AM＝ ，
∴AD＝ AM＝ ；
（3）解：由（1）同理可得，△ABD∽△ACE，
∴ ，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∵∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴ ，
∵AD＝ AE，
∴ ，
∴ ＝3．
1．如图（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似
比为2），画出ΔOB C ；
1 1（2）点B的对应点B 的坐标是 ，点C的对应点C 的坐标是 ．
1 1
【解答】解：（1）如图，△OB C 即为所求；
1 1
（2）观察图象可知，B （﹣6，2），C （﹣4，﹣2）．
1 1
故答案为：（﹣6，2），（﹣4，﹣2）．
2．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
（2）△ABD∽△ACE．
证明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴ ，
∴AB×AE＝AC×AD，
∴ ，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC，AC的中
点，连接DE．
（1）求： 的值；
（2）将△CDE绕点C逆时针方向旋转一定的角度， 的大小有无变化？请仅就图2的
情形给出证明．
【解答】解（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝ ＝ ＝2 ，
∵点D、E分别是边BC，AC的中点，
∴AE＝ ，BD＝ ，
∴ ；
（2）没有变化，理由如下：
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵ ，
∴△ECA∽△DCB，
∴ ．4．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，
CE＝2.5，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵ ，
∴△ACD∽△BCE；
（2）解：过A作AG⊥CD于G，
由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，
∴AG＝CG，
在Rt△ACG中，由勾股定理得：
∴CG＝AG＝3 ，
∴S ＝ ＝ ．5．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE
＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上， ，求 的值．
【解答】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴ ，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE， ，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴ ，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴ ，
∴ ＝3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴ ＝3．
6．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、
CE，求证：（1）△ABC∽△ADE
（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE为多少
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵AC：BC＝3：4，
设AC＝3x，则BC＝4x，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝5x，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE， ，
∴∠EAC＝∠DAB， ，
∴△AEC∽△ADB，
∴ ，
即BD：CE＝5：3．
7．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：
①△ ≌△ ；
②△ ∽△ ．
【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝
30°，
求证：△ACE∽△ABD．
【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝
30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上， ，求 的值．
【解答】【问题背景】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴△ABC∽△ADE．∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE，
故答案为：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE．
【尝试应用】∵△ABC∽△ADE，
∴ ，∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△ACE∽△ABD；
【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知，△ABD∽△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE＝30°，
∵∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
8．如图，点B在线段CD上，在CD的同一侧作两个等腰直角△ABC和△BDE，且∠ACB
＝∠BED＝90°，AD与CE，BE分别交于点P，M，连接PB．
（1）若AD＝k•CE，则k的值是 ；
（2）求证：△BMP∽△DME；
（3）若BC＝ ，PA＝3，求PM的长．
【解答】（1）解：∵等腰直角△ABC和△BDE，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠EBD＝45°，DE＝BE，
∴AB＝ BC，BD＝ BE，∠ABD＝∠CBE＝135°，
∴ ，
∴△ABD∽△CBE，
∴ ，
∴AD＝ CE＝k•CE，∴k＝ ，
故答案为： ；
（2）证明：∵△ABD∽△CBE，
∴∠BEC＝∠BDA，
∴点B，点D，点E，点P四点共圆，
∴∠BPD＝∠BED＝90°，∠PBM＝∠EDM，
∴△BMP∽△DME；
（3）∵BC＝ ，
∴AB＝ BC＝2 ，
∵sin∠ABP＝ ＝ ＝ ，
∴∠ABP＝60°，
又∵∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠PBM＝30°，
∵PB＝ ＝ ＝ ，
∴PM＝PB•tan∠PBM＝ • ＝1．
9．如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB
上，且 BD＝ ，将△BDE 绕点 B 按顺时针方向旋转，记旋转角为 （0°≤ ＜
α α
360°）．
（1）问题发现
当 ＝0°时， 的值为 ，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为 ；
（2α）拓展探究
试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：
（3）问题解决
当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．【解答】解：（1）∵△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，
∴DE∥AC，
∴ ，
∴ ，
∵∠B＝45°，
∴直线AE，CD相交形成的较小角的度数为45°，
故答案为： ；45；
（2）无变化，理由如下：
延长AE，CD交于点F，CF交AB于点G，
∵△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°， ，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABE，
又∵ ，
∴△ABE∽△CBD，
∴ ，∠BAE＝∠BCD，
∴∠F＝180°﹣∠BAE﹣∠AGF＝180°﹣∠BCD﹣∠BGC＝∠ABC＝45°；
（3）如图，当DE在AB上方时，作AH⊥CD于H，由A，D，E三点在同一条直线上知，∠ADB＝90°，
∴AD＝ ，
由（2）知∠ADH＝45°， ，
∴AH＝ ＝ ，CD＝ ，
∴S△ACD ＝ CD×AH＝ ＝12+ ，
当DE在AB下方时，同理可得S△ACD ＝ ×CD×AH＝ ＝12﹣
，
