文档内容
专题 02 勾股定理实际应用的五种考法
考点01 勾股定理与网格问题
考点02 勾股定理与折叠问题
考点03 勾股定理解决航海问题
考点04 判断台风影响问题
考点05 梯子滑落高度
考点01 勾股定理与网格问题
1．如图所示网格中，已知 ， 两个格点，现要在网格中另取一格点 ，使得 ，则这样的格
点共有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
设网格中每个小正方形的边长为 ，连接 ,
由图可知， ,
,
,
,
,,
;
综上，共有 个格点使得 ．
故选：C．
2．如图，在 的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是
直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理．
利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：如图，连接 ，
借助网格和勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
∴ 为直角三角形；
∵ ，
∴ 为直角三角形；∵ ，
∴ 为直角三角形；
∴直角三角形有3个，
故选：B．
3．如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C、D均在正方形网格格点上．
(1)图中与线段 的长相等的线段是________；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可
求解．
（1）根据勾股定理可得 ，据此即可求解；
（2）由图推出 得 ，据此即可求解
【详解】（1）解：由图可知： ，
所以与线段 的长相等的线段是 ．
故答案为： ．
（2）解：由图可知： ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
由图可知， ，
所以 ．
4．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的
直尺按下列要求画图．(1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为 的线段 ；
(2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ， 的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理确定线段的长度是解题的关键．
（1）由 ，据此作图即可；
（2）由 ， ，据此作图即可．
【详解】（1）解：如图1中，线段AB即为所求；
（2）解：如图2中， 即为所求．
5．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形
中（如右图）， ．两条直角边分别为 ， ，斜边为 ．则 ．利用
勾股定理解答下列问题：(1)在直角三角形 中， ， ， ，求 的长．
(2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 的网格中，每个小格的顶点叫做格点．
①在图中，利用勾股定理求线段 的长度．
②在图中，画一条格点线段 ，使 ．
【答案】(1) ；
(2)① ；②见详解．
【分析】该题考查了勾股定理．
（1）利用勾股定理，求解即可．
（2）①利用勾股定理求解即可．
②利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）解：① ，所以 ．
②如图2中，线段 即为所求作．
6． 综合与实践：
【问题情境】某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图 是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 ，
每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出 ，其顶点 ， ， 都是格点，同时构造正方形 ，
使它的顶点都在格点上，且它的边 ， 分别经过点 ， ，他们借助此图求出了 的面积．
(1)在图 中，所画的 的三边长分别是 ， ， = ， 的面积为 ， 点 到 的距
离为 ；
(2)在图 所示的正方形网格中画出 （顶点都在格点上），使 ， ， ，
并求出 的面积．
【答案】(1) ， ， ， ， ；
(2)见解析．
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键．
借助网格图形与勾股定理分别计算出 、 、 的长度，利用割补法求出 的面积，再利用
三角形的面积公式求出 边上的高，即为点 到 的距离；
首先根据 和 的长度可知， ， ，借助勾股定理和网格图形画出
和 ，连接 ，即可得到 ．
【详解】（1）解：如下图所示，借助网格，
可得： ， ， ，
在 的正方形 中，
，
又 ，，
解得： ；
故答案为： ， ， ， ， ；
（2）解： ， ，
画图如下，其中 ．
7．图 、图 均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给
定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图 中， 边上找点D，使
(2)在图 中， 边上找点 E，使
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题格点作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等．
（1）如图 中，取格点E，连接 交 于点D，线段 即为所求．根据三边对应相等可判定
，推出 ，进而可证 ；
（2）如图 中，利用格点构造等腰直角三角形 ， 交 于点E，点E即为所求
【详解】（1）解：如图 中，线段 即为所求；（2）解：如图 中，构造等腰直角三角形 ， 交 于点E，点E即为所求．
8．问题背景：在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求此三角形的面积．小辉
同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
（即 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示，这样不需要求 的高，而是借用网格就
能计算出它的面积．请你将 的面积直接填写在横线上：_____．
思维拓展：
我们把上述求 面积的方法叫做构图法，如果 三边长分别为 、 、 ，请利
用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为 ）画出相应的 ，并求出它的面积．
探索创新：
若 三边长分别为 、 、 （ ， ，且 ），试运用构图
法直接写出这个三角形的面积是_______．
【答案】问题背景： ；思维拓展：见解析，面积为 ；探索创新：
【分析】本题是开放性的探索问题，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角
形的面积进行解答．
问题背景：分割法求出三角形的面积即可；思维拓展：根据题意利用勾股定理作出图形即可；
探索创新：易得此三角形的三边分别是直角边长为 ， 的直角三角形的斜边；直角边长为 ， 的
直角三角形的斜边；直角边长为 ， 的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个
直角三角形的面积．
【详解】解：问题背景： 的面积 ，
故答案为： ；
思维拓展：如图所示， 为所求；
的面积 ，
探索创新：构造 如图所示，
．
故答案为： ．
9．综合与实践．
如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面
积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即
，从而得到等式 ，化简便得结论 ．这里用两种求法来表示
同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【知识迁移】
（1）把两个全等的 和 如图②放置，其三边长分别为 ，显然
，用 分别表示出四边形 、梯形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间
的关系，验证勾股定理 ；
【方法运用】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可
得 ，则 边上的高为________；
【拓展延伸】
（3）如图④，在 中， 是 边上的高， ，设 ，请直接写出x的值．【答案】（1）见解析
（2）
（3）x的值为 ．
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证
明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证 ；
（2）计算出 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边 上的高；
（3）运用勾股定理在 和 中求出 ，列出方程求解即可；
【详解】（1）解： ， ， ， ，
，
， ，
，
，
；
（2）解：借助网格，可知 ， ，
边上的高为： ；故答案为： ；
（3）解：在 中， ， ， ，
，
在 中， ， ， ，
， ，
．考点02 勾股定理与折叠问题
10．如图，在 中， ，D是 的中点，E是 上一动点，将 沿
折叠到 ，连接 ，当 是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键．
分三种情形，当 或 或 时，画出图形来解答．
【详解】解：当 时，
∵将 沿 折叠到 ，
．
．
∴点A、 、 三点共线．
∵ ，D是 的中点，
∴ ，
，
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ．
∵在 中， ，
∴ ．
解得 ．
．
当 时， ，∵ ，
．
．
当 时，
∵ ，
∴当 时，四边形 是矩形．
∴ ．
但 ，
∴矛盾．
∴ 不可能为 ．
综上， 或 ．
故答案为：3或 ．
11．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 中， ， ， ．
小华在 边找一点D，在 边找一点E，以 为轴折叠 得到 ，点C的对应点为点M，小
华变换D，E的位置，始终让点M落在 上，则当 为直角三角形时， 的长为
．
【答案】 或 ．
【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，分 和 两种情形，结合折叠的性质，
勾股定理求解即可．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ；
①当 时，如图，由折叠得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，
即： ；
②当 时，如图，
由折叠得， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，∴ ；
综上， 的长为 或 ．12．如图，Rt ，将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，再将
边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的点 处，两条折痕与斜边 分别交于点 ，则线段
的长为 ．
【答案】 /0.8
【分析】利用等面积法求出 ，再根据翻折的性质求出 ，判断 是等腰直角三角形即可
求解．
本题考查解直角三角形，图形的翻折，判断 是等腰直角三角形是解题的关键．
【详解】 ，
，
，
，
，
将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，再将边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的
点 处，
，
且 ，
，且 ，
，
，
故答案为： ．
13．如图，长方形 中， ，点 分别在边 上，沿着 折叠长方形 ，
使点 分别落在 处．（1）如图1，当 落在线段 的中点位置时，则 ；
（2）如图2，若点 与点 重合，连接 ，当线段 的值最小时， 的长度为 ．
【答案】
【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解
答．
（1）由折叠的性质可得 ．设 ，则 ．在 中，利用勾
股定理求出x的值，即可求解；
（2）当 共线时， 的值最小，为 的长．线段 的值最小时，点 在 上的点
处，点 在点 处，在 中，由勾股定理得 ．设 ．由折叠的性质得 ，
．从而得到 ．在 中，利用勾股定理求出y的值，即可求解．
【详解】解：（1）在长方形 中，
为线段 的中点，
．
由折叠的性质，得 ．
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理得 ，
．
解得 ．
．
故答案为：
（2）连接 ，
，
当 共线时， 的值最小，为 的长．线段 的值最小时，点 在 上的点 处，
点 在点 处，如图．，
在 中，由勾股定理得 ．
设 ．
由折叠的性质得 ， ．
．
在 中，由勾股定理得 ，
．
解得
线段 的值最小时， 的长度为 ．
故答案为：
14．如图，在长方形 中， 为 上一点，将 沿着 翻折至 ，
与 交于点 ，且 ，求 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，设 与 交于点 ．由折
叠的性质可知 ，根据三角形全等的性质得出 ．证明
，得出 ，设 ，则 ，根据勾
股定理得出 ，求出结果即可．
【详解】解：如图，设 与 交于点 ．
∵四边形 是长方形，∴ ， ．
由折叠的性质可知 ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ．
根据勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
15．如图，把一张长方形纸片 折叠起来， 为折痕，使其对角顶点A与点 重合，点 与点 重
合．若长方形的长 为8，宽 为4．
(1)求 的长；
(2)求 的值；
(3)求阴影部分 的面积．
【答案】(1)3
(2)20
(3)
【分析】（1）由折叠可知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，
求出 的长即可；
（2）过点 作 于点 ，在 中，由勾股定理求出 的长，即可得 的长，在中，由勾股定理即可得出答案；
（3）过点 作 于点 ，根据三角形面积不变性， ，求出 的长，根据
三角形面积求出结果即可．
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知
识点来分析、判断、推理是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可知 ， ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，则 ．
在 中，
∵ ，
∴由勾股定理，得 ，
即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图，过点 作 于点 ．
在 中， ， ， ．
由 ，
得 ，
∴ ．
16．【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，将 沿
折叠，使点 与点 重合． ，求 的长；
【深入探究】
（2）如图2．将长方形纸片 沿对角线 折叠，使点 落在点 处， 交 于点 ．若 ，
，求 的长．
【答案】（1）12；（2）
【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理．
（1）先求出 ，由折叠性质得： ，在 中，由勾股定理即可求出 的长；
（2）根据长方形性质得 ， ， ，由折叠性质得 ，
，由此依据 判定 和 全等得 ，设 ，则 ，
，然后在 中，由勾股定理求出 ，继而可得 的长．
【详解】解：（1）在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
由折叠性质得： ，
在 中，由勾股定理得： ；
（2）∵四边形 是长方形， ， ，
∴ ， ， ，
由折叠性质得： ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，∴ ，
解得： ，
∴ ．
17．已知长方形 ， ， ，Q为射线 上的一个动点，将 沿直线 翻折至
的位置（点B落在点 处）．
(1)如图1，连接 ，当点 落在 上时， ______；
(2)如图2，当点Q与点A重合时， 与 交于点E，求重叠部分（阴影）的面积；
(3)当直线 经过点D时，求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)2或8
【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解
题的关键．
（1）由勾股定理可求 的长，由折叠的性质可得 ，即可求解；
（2）由平行线的性质和折叠的性质可证 ，由勾股定理可求 的长，即可求解；
（3）分 在线段 上和点D在线段 上两种情况讨论，由折叠的性质可得 ，
， ，由勾股定理可求 ，由勾股定理可求 的长．
【详解】（1）解： ， ，
，
∵将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点 处）．
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
∵将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点 处）．，
，
，
，
，
，
∴重叠部分（阴影）的面积 ；
（3）解：当 在线段 上时，
将 沿直线 翻折至 的位置， ， ， ，
，
，
，即： ，解得： ；
当点D在线段 上时，
∵将 沿直线 翻折至 的位置，
， ， ，
，
，
，
，
；
综上所述： 的长为2或8．考点03 航海问题
18．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点 ，小王的赛车从点 出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，
同时小林的赛车从点 出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于
米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米．
(1)出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距 点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】(1)不会
(2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得 米， 米，得到 米， 米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发 秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
出发 秒钟时， 米， 米
米， 米
米， 米， （米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；
（2）解：设出发 秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得， ，解得
此时 ，
此时 ，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，答：当两赛车的距离之和为 米时，遥控信号将会产生干扰．
19．如图，两艘轮船同时从港口 出发，一艘轮船以 海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以
海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点 ， ，此时两轮船沿 航线汇合．
(1)求 ， 两点之间的距离；
(2)若从港口派一艘轮船在 航线上接应，求该轮船行驶的最短距离．
【答案】(1) 海里
(2) 海里
【分析】本题考查勾股定理的应用，垂线段最短,解决本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
（1）根据题意知： ，根据“路程 速度 时间”分别得出 ， ，再根据勾股定理
得 ，代入数据计算即可；
（2）过点 作 于点 ，根据垂线段最短，当该轮船的航线与 重合时，根据垂线段最短，则
的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等积法求解即可；
掌握并能利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵两艘轮船同时从港口 出发，一艘轮船以 海里／时的航速沿正东方向航行，另一
艘轮船以 海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点 ， ，
∴ ， ， ，
∴ （海里），
答： ， 两点之间的距离为 海里；
（2）如图，过点 作 于点 ，
当该轮船的航线与 重合时， 的长即为该轮船行驶的最短距离，
∵ ，∴ （海里），
答：该轮船行驶的最短距离为 海里．
20．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．
(1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线 方向航行，“海
天”号沿射线 方向航行，则 ______海里， ______海里；
(2)若它们离开港口 小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向
航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案】(1)32；24
(2)“海天”号沿西北方向航行
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的
关键．
（1）根据路程等于速度乘以时间，计算求解即可；
（2）先计算出 的长，再证明 得到 ，据此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得， 海里，
海里；
（2）解：由题意得， 海里，
海里；
∴ ，
∵ 海里，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴“海天”号沿西北方向航行．
21．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达 点后熄灭发动机，在离水面高度为 的岸上，工作人员用绳子
牵引靠岸，开始时绳子 的长为 ．（假设绳子是直的，结果保留根号）(1)若工作人员以 的速度收绳． 后船移动到点 的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？
(2)若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到 点，工作人员手中的绳子被收上来
多少米？
【答案】(1)此时游轮距离岸边还有 米
(2)工作人员手中的绳子被收上来 米
【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在 中，由勾股定理求解即可得到答案；
（2）根据题意，先求出 ，在 中和 中由勾股定理求出线段长，再由
即可得到答案
【详解】（1）解：如图所示：
则 ， ，
若工作人员以 的速度收绳， 后船移动到点 的位置，则绳子缩短了 ，
，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
答：此时游轮距离岸边还有 米；
（2）解：若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到 点，则 ，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
工作人员手中的绳子被收上来 米．
22．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船
同时从位于南北方向的海岸线上某港口 出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海
里，乙船每小时航行8海里．(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于 、 处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东
方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东 方向航行（图2），从港口 离开经过两个小时后位于点 处，此时船上有名乘客需
要以最快的速度回到 海岸线上，若他从 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟
内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据： ）
【答案】(1)乙船沿南偏东 方向航行，理由见解析
(2)他能在14分钟内到海岸线，理由见解析
【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形进行解答．
（1）根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而解答即可；
（2）作 于D，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得 的长，进一步计算得出答
案．
【详解】（1）解：由题意可得： （海里），
（海里），
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴乙船沿南偏东 方向航行；
（2）过点C作 于D，
由题知 ，则 （海里），
∴ 海里，∴ （海里），
（海里），
∴他能在14分钟内到海岸线．
考点04 台风影响问题
23．如图，沿海城市 测得台风中心在东南方向 的 处，该台风中心始终以 的速度沿北偏
西 的方向移动．
(1)填空： ， ；
(2)当台风中心移动到 市正东方向的 处时，求 、 之间的距离？(结果保留根号)
(3)距台风中心 的圆形区域 包括边界 都属台风影响区，求 市受台风影响的时长？
【答案】(1) ； ；
(2) 、 之间的距离为
(3) 市受台风影响的时长为
【分析】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用；
（1）根据题意，即可得到答案；
（2）过 作 于 ，设 ，用 表示 ， ，再根据 列方程，即
可求出 从而解决问题；
（3）过 作 于 ，设台风中心移动到点 处时，城市 开始受影响；移动到点 处时，城市
正好结束影响，即 在 中，求出 ，从而得到 ，进一步求出 市受台风
影响的时长．
【详解】（1）解：由题意知， ．
故答案为： ， ；（2）如图，过 作 于 ，
由题可得 ， ， ，
在 中， ，
设
，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
解得 ，
∴ ，
答： 、 之间的距离为 ；
（3）如图，过 作 于 ，在 中， ，
∴ km，
设台风中心移动到点 处时，城市 开始受影响；
移动到点 处时，城市 正好结束影响，即 ．
于点 ，
，
在 中，
，
，
答： 市受台风影响的时长为 ．
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 由点 向点 移动，已知点 为一海港，且点 与 ， 两点
之间的距离 ， 分别为 ， ， ，以台风中心为圆心周围 以内（包括
）为受影响区域．
(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若海港 受台风影响，且台风中心移动的速度为 ，台风影响海港 持续的时间有多长？（若海
港 不受台风影响，则忽略此问）
【答案】(1)受台风影响，理由见解析；(2)台风影响海港 持续的时间为 ．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应
用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影
响的路径长度，进而计算持续时间．
（1）通过勾股定理逆定理判断 为直角三角形，利用面积法求出C到 的距离 ，比较 与
的大小，确定海港是否受影响；
（2）以C为圆心、 为半径作圆，交 于E、F，利用勾股定理求出 的长度，得到 的距离，
再根据速度公式计算台风影响的持续时间．
【详解】（1）解：海港 受台风影响．
理由：如图，过点 作 于点 ，
因为 ， ， ， ,
所以 是直角三角形． ,
由三角形面积相等可得： ，
即 ，
所以 ．
因为以台风中心为圆心周围 以内(包括 )为受影响区域，所以海港 受台风影响．
（2）如图，设台风中心移动到点 ， 处时刚好影响海港 ，连接 ， ，则 ，
所以 ，因 ，
所以 ．
因为台风中心移动的速度为 ，
，
所以台风影响海港 持续的时间为 ．
25．五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动
广播车在笔直的公路 上，沿东西方向由 向 行驶．小丽的家在公路的一侧点 处，且点 与直线
上的两点 的距离分别为 ，又 ，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．
(1)求 的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路 上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点 时，小丽在家刚好
听到广播，当移动广播车行驶到点 时，小网在家刚好不再听到广播，即 米，问小丽在家
听到广播宣传的时长是多长？
【答案】(1)
(2)小丽在家能听到广播，计算见解析
(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理的逆定理判断 的形状；
（2）过点 作 ，根据等积法求出 的长，然后和250米作比较解答即可；
（3）作 ，根据勾股定理求出 长，再根据时间 路程 时间解答即可．
【详解】（1）解： ，
又 ，
，
是直角三角形，即 ．
（2）解：过点 作 ，垂足为D，
直角三角形，
，
，
解得 ，
小丽在家能听到广播；
（3）解：依题意， ，根据勾股定理， ，
移动广播车的速度为10米／秒，
秒
答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒．
26．某市规划修建铁路 ，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场
C 的北偏西 方向，且 距离为 米，小区A位于商场C的南偏西 方向．火车在行驶的过程中，
以火车头为圆心，半径为 米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以 米 秒的速度
沿铁路 低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪
音影响？
【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒
(2)小明出发4秒后会受到噪音影响
【分析】（1）过 作 于 ，过点B作 于H，根据题意得 ， ，
根据含30度和45度直角三角形的性质求出 米，得到 ，于是得到
小区会受到噪音干扰，设火车到点 小区开始受到噪音干扰，到点 小区受到噪音干扰结束，连接
， ，根据勾股定理即可得到结论．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时 米，
又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则 ， ，则 ，
，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t 的方程，即可得
解．
【详解】（1）解：过 作 于 ，过点B作 于H，
由题意得， ， ，
，
， 米，(米 ，
∴ 米，
，
，
小区会受到噪音干扰，
设火车到点 小区开始受到噪音干扰，到点 小区受到噪音干扰结束，
连接 ， ，
则 米，
米，
(米 ，
(米 ，
干扰的时间 (秒 ，
答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时 米，
又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则 ，
又∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得： ，
答：小明出发4秒后会受到噪音影响．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
27．如图，一艘船以 的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以
的速度由南向北移动，距台风中心 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船
接到台风警报时，它与台风中心的距离 ，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离
，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多少小时它就会进入台风影响区
域．
【答案】7小时
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于 的等式是解题关
键．首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．
【详解】解：由题意，作图如下：
设 小时后，就进入台风影响区，根据题意得出， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
解得： ， 不符合题意，舍去 ．
答：从接到警报开始，经过 小时它就会进入台风影响区．
28．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国
影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心， 为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段 是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且
．若A，C之间相距 ，A，B之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析；
(2)
【分析】（1）作 ， 中，根据勾股定理，求出 的长，进而求得 的长，即可求解，
（2）假设台风在线段 上移动时，会对农场A造成影响，所以 ，根据勾股定理求出
的长，即可，
此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进
行计算是解题的关键．
【详解】（1）解：会受到台风的影响.
理由：如图，过点A作 ，垂足为D，
在 中， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
答：农场A会受到台风的影响，
（2）解：如图，假设台风在线段 上移动时，会对农场A造成影响，所以 ， ，由勾股定理，
可得
∵台风的速度是 ，
∴受台风影响的时间为 ，
答：台风影响该农场持续时间为 ．
29．台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距 市正北方向 的 处有一台风中心，其中心最大
风力为12级，该台风中心正以 的速度沿直线向 处移动，且台风中心风力不变，已知每远离台
风中心 ，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不受台风影响，问：
(1) 市是否受到这次台风影响？请说明理由；
(2) 市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出 市受到台风影响的时间．
【答案】(1)A市受到这次台风影响，理由见解析
(2)A市所受的最大风力是7级， 市受到台风影响的时间为 小时
【分析】（1）过A作 于点D，利用含30°角的直角三角形的性质求得的 长度，再根据题意计
算出受台风影响的半径，即可解答；
（2）由 的长度可求得台风中心在D处时，A处的风的级别，从而确定受到的最大风力．再在 上取
使 ，而 于 ，可得 ； ，再
进一步计算即可．
【详解】（1）解：过A作 于点D．∵在直角 中， ，
，
由题意知：受台风影响范围的半径为 ，
∴A市受到这次台风影响．
（2）解：当台风中心位于点D处时，A市所受风力最大，
风力为 （级）
故A市所受的最大风力是7级．
如图，由（1）可得：受台风影响范围的半径为 ，
在 上取 使 ，而 于 ，
∴ ；∴ ，
∴ （小时）；
∴ 市受到台风影响的时间为 小时．
【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，化为最简二
次根式，理解题意，构建图形解题是解本题的关键．
考点05 梯子滑落高度问题30．如图，梯子 靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为 ，梯子的顶端B到地面的距离为 ，
现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为 ，同时梯子顶端B下降至D，那么
m．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形．
利用勾股定理先求出 ，再求出 ，最后利用线段的和差进行求解即可．
【详解】解：根据题意得， ，
，
由勾股定理得， ，
，
∴ ，
故答案为： ．
31．某中学的办学理念是“让孩子走向世界，让世界走进学校”并将该办学理念做成宣传牌悬挂在教学楼
上．保洁阿姨搬来一架梯子靠在垂直于地面的墙的点A处，梯子底端落在地面的点 处，固定好后开始擦
拭宣传牌，过了一会移动梯子使顶端下滑 至点 处，已知点A与地面的距离 ，梯子的长度
，梯子的底端 向外移动的距离 是多少米？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
在 中，利用勾股定理得出 ，再在 中，利用勾股定理可求出
，即可求出 ．
【详解】解：由题意可得： ，∵ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答：梯子的底端 向外移动的距离 是 米．
32．如图，一架25米长的云梯 斜靠一面竖直的墙 上，这时梯子底端C离墙7米．
(1)这个梯子的顶端A距离地面多远？
(2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？
【答案】(1)这个梯子的顶端A距地面有 远
(2)梯子的底端在水平方向滑动了
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关
键．
（1）在直角三角形 中，利用勾股定理即可求出 的长即可；
（2）首先求出 的长，利用勾股定理可求出 的长，进而得到 的值．
【详解】（1）解：在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
∴ ，
答：这个梯子的顶端A距地面有 远；
（2）解：∵梯子的顶端A下滑了 至点D，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，即
∴ ，
∴
答：梯子的底端在水平方向滑动了 ．
33．小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架 长的梯子 斜靠在竖直的墙 上，这时点 到墙底端 的距离为 ．如果梯子的顶端沿墙下滑 ，那么点 将向外移
动多少米．
(1)请你将小明对思考题的解答补充完整：
解：设点 将向外移动 ，即 ．
则 ， ．
在 中， ， ， 可得方程 ，
解方程，得 ，
答：点 将向外移动
(2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题：
①在思考题中，将“下滑 ”改为“下滑 ”，那么该题的答案会是 吗？为什么？
②在思考题中，梯子的顶端从点 处沿墙 下滑的距离与点 向外移动的距离有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．
【答案】(1) ，0.8， （舍去），0.8
(2)①不会是 ，理由见解析；②有可能，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．
（1）仔细审题，根据已知的解答步骤可知 的长度，只要将其代入 中即可
得到方程，求解即可解答问题，注意x的取值范围；
（2）①只需将（1）中 的长度变为0.9米，列方程求解即可解答；②假设有可能相等，设这个相等的距
离为x，根据勾股定理列出关于x的方程，然后进行求解，看得到的解是否有意义即可完成解答．
【详解】（1）解：设点 将向外移动 ，即 ．
则 ， ．
在 中， ， ，
可得方程 ，
解方程，得 ， （舍去）
答：点 将向外移动故答案为： ，0.8， （舍去），0.8；
（2）解：①不会是0.9米．理由如下：
设点B将向外移动x米，即 ．
则 ， ．
在 中， ， ，
可得方程 ，
解方程，得 ， （舍去）
点 将向外移动 ，不是 ；
②设下滑的距离 与向外移动的距离 均为x米，
则 ， ，
∵ 米， 米， 米， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
故当梯子的顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，
即梯子的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．
34．课本原题呈现：
一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距底而有多高?
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米
吗?
解决问题：
(1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方
向也滑动4米（填会或不会）；
(2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，
梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离．(3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为
“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？
【答案】(1)24；不会
(2)27米
(3)25米
【分析】此题考查勾股定理的实际应用．
（1）直接利用勾股定理求得直角边 的长即可；首先求得 的长，然后利用勾股定理求得线段 的
长，最后求得线段 的长即可；
（2）由勾股定理得出 米，再由 即可得出答案；
（3）先由题意得 米，设 米，则 米，再根据 列
关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出 即可．
【详解】（1）解：由题意可得， ， 米， 米， 米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米；
故答案为：24；不会；
（2）解：由题意可得， ， ， 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 米，
∴ 米，
∴这两面墙之间的距离为27米；
（3）解：由题意得， 米， 米， 米，
∴ 米，
设 米，则 米，
又∵ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ 米，
∴梯子的长度是25米．
