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专题 04 勾股定理的应用（综合题）
易错点拨
知识点：勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求 ；
2. 用于解决带有 的证明问题；
3． 与勾股定理有关的
4．勾股定理在实际生活中的应用．
易错题专训
一．选择题
1．（2022•和平区校级开学）如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，
它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的
长度是（ ）尺．
A．7.5 B．8 C． D．9
2．（2021秋•新吴区期末）如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上
拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
3．（2021秋•汝州市期末）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长
是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（ ）m．
A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8
4．（2022•阳谷县校级开学）如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB＝∠CBD＝90°，AC＝3cm，AB
＝4cm，BD＝12cm，则CD长为（ ）cm．
A．5 B．13 C． D．15
5．（2021秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9cm，内壁高
12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
6．（2022春•汉阳区校级月考）如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底
端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（ ）A．15m B．9m C．7m D．8m
二．填空题
7．（2021秋•新郑市期末）图①所示的正方体木块棱长为8cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪
掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为
cm．
8．（2021秋•武功县期末）如图，在长方体的顶点G处有一滴糖浆，棱AE上的P处的蚂蚁想沿长方体表面
爬到容器G处吃糖浆，已知容器长AB＝5cm，宽AD＝4cm，高AE＝4cm，AP＝1cm，那么蚂蚁需爬行的最
短距离是 cm．（结果保留根号）
9．（2021秋•姜堰区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，
一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器
的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 米．
10．（2021秋•禅城区期末）如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化需求，在草地内拐
角位置开出了一条“路”，走此“路”可以省 m的路．11．（2021春•望城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只
蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是 cm．
12．（2021秋•肥城市期中）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙
高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m的路程．
三．解答题
13．（2022春•海安市期中）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m．
（1）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子的底端B也外移0.4m吗？请通过计算说明．
（2）点P为AB的中点，小明用一根绳子的一端固定在点P处，拉直后将另一端固定在点O处．你觉得
这样能防止梯子下滑吗？简要说明理由．14．（2022春•彭州市校级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不
断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，
已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，
飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑
灭？
15．（2022春•宁津县期末）2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，
在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术
人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
16．（2021秋•原阳县期末）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点A出发，沿a，b，d三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点B出发，沿d，c两个面走最短路径
到点A．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？
17．（2021秋•中牟县期末）如图，一架长26m的云梯AB斜靠在竖直的墙上，云梯的底端B到墙底C的距
离为10m．
（1）求这架云梯的顶端距离地面有多高？
（2）如图所示，如果云梯的底端B向墙外滑动了3m，求此时云梯的顶端A下滑的距离．
18．（2022春•延津县期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前
推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，
求绳索AD的长度．19．（2021秋•蓝田县校级期末）如图，学习了勾股定理后，数学兴趣小组的小红和小明对离教室不远的
一个直角三角形空地下边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距离直角顶点B为9米远的点D处同时
开始测量，点C为终点，小明沿D→B→C的路径测得所经过的路程为18米，小红沿着D→A→C的路径测
量得所经过的路程为18米，这时小明说我能求出这个直角三角形的空地斜边上的高了，小红说我也知
道怎么求出这个直角三角形的空地斜边上的高了．你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，
请你求出来；若不能，请说明理由．
20．（2022春•龙湖区期末）在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为 5m的岸上，有人用绳子拉船
靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边
移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）
