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专题 04 勾股定理的应用（综合题）
易错点拨
知识点：勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
易错题专训
一．选择题
1．（2022•和平区校级开学）如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，
它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的
长度是（ ）尺．
A．7.5 B．8 C． D．9
解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，
即： ，
解得：x＝ ，
即芦苇的长度为： 尺，故选：C．
2．（2021秋•新吴区期末）如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上
拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
解：Rt△ACD中，AC＝ AB＝8cm，CD＝6cm；
根据勾股定理，得：AD＝ ＝10（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4（cm）；
故橡皮筋被拉长了4cm．
故选：A．
3．（2021秋•汝州市期末）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干
沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长
是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（ ）m．
A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8
解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，
∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，
如图所示：
AC＝ ＝ ＝1.3（m）．
∴这段葛藤的长＝2×1.3＝2.6（m）．
故选：C．4．（2022•阳谷县校级开学）如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB＝∠CBD＝90°，AC＝3cm，AB
＝4cm，BD＝12cm，则CD长为（ ）cm．
A．5 B．13 C． D．15
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2+AC2＝42+32＝25，
在 Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2＝25+122＝169，
∴CD＝13（cm）．
故选：B．
5．（2021秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9cm，内壁高
12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝ ＝ ＝15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．
6．（2022春•汉阳区校级月考）如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底
端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（ ）
A．15m B．9m C．7m D．8m
解；梯子顶端距离墙角地距离为 ＝24（m），
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为 ＝15（m），
15﹣7＝8（m）．
故选：D．
二．填空题
7．（2021秋•新郑市期末）图①所示的正方体木块棱长为8cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪
掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为
（ 4 +4 ） cm．
解：如图所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD＝ ＝8 cm，则BE＝ CD＝4 cm，
在Rt△ACE中，AE＝ ＝4 cm，
答：从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（4 +4 ）cm．
故答案为：（4 +4 ）．
8．（2021秋•武功县期末）如图，在长方体的顶点G处有一滴糖浆，棱AE上的P处的蚂蚁想沿长方体表面
爬到容器G处吃糖浆，已知容器长AB＝5cm，宽AD＝4cm，高AE＝4cm，AP＝1cm，那么蚂蚁需爬行的最
短距离是 cm．（结果保留根号）
解：∵AE＝4cm，AP＝1cm，
∴PE＝3cm，
如图1，
∴PH＝3+4＝7（cm），∴PG＝ ＝ ＝ （cm）；
如图2，
∴PG＝ ＝ ＝ （cm）；
如图3，
∴PG＝ ＝3 （cm），
故蚂蚁需爬行的最短距离是 cm．
故答案为： ．
9．（2021秋•姜堰区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，
一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器
的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 1. 6 米．解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝ 米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝ 米，
由勾股定理得：AE＝ ＝ ＝0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故答案为：1.6．
10．（2021秋•禅城区期末）如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化需求，在草地内拐
角位置开出了一条“路”，走此“路”可以省 2 m的路．
解：由勾股定理得：草地内拐角位置开出了一条“路”的长为： ＝5（m），
∵3+4﹣5＝2（m），
∴走此“路”可以省2m的路，
故答案为：2．
11．（2021春•望城区期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是 2 5 cm．
解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝ ；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝ ；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB＝ ；
∵25＜5 ，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．
故答案为：2512．（2021秋•肥城市期中）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙
高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 2 6 m的路程．
解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24m，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24m，宽AD＝10m，
∴AC＝ ＝ ＝ ＝26m，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．
故答案为：26m．
三．解答题
13．（2022春•海安市期中）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m．
（1）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子的底端B也外移0.4m吗？请通过计算说明．（2）点P为AB的中点，小明用一根绳子的一端固定在点P处，拉直后将另一端固定在点O处．你觉得
这样能防止梯子下滑吗？简要说明理由．
解：（1）在Rt△AOB中，
OB＝ ＝0.7（米），
∵AO＝2.4，AC＝0.4（米），
∴CO＝2米，
在Rt△DOC中，
DO＝ ＝1.5（米），
∴BD＝DO﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），
故梯子的底端B外移不是0.4m而是0.8m；
（2）不能防止梯子下滑．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，梯子若下滑，绳子的长度不
变，并不拉伸，对梯子无拉力作用．
14．（2022春•彭州市校级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不
断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，
已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，
飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑
灭？解：（1）着火点C受洒水影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，
∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S ＝ AC•BC＝ CD•AB，
△ABC
∴600×800＝1000CD，
∴CD＝480，
∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，
∴着火点C受洒水影响；
（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，
在Rt△CDE中，ED＝ ＝ ＝140（m），
∴EF＝280m，
∵飞机的速度为10m/s，
∴280÷10＝28（秒），
∵28秒＞13秒，
∴着火点C能被扑灭，
答：着火点C能被扑灭．
15．（2022春•宁津县期末）2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，
在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术
人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？解：（1）连接AC，
技术人员测量的是A，C两点之间的距离，
确定∠ABC＝90°的依据是勾股定理逆定理；
（2）∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝ ＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∴S ＝ ×AD•AC＝ ×8×15＝60（m2），
△DAC
S ＝ AB•AC＝ ×9×12＝54，
△ACB
∴S ＝60+54＝114（m2），
四边形ABCD
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
16．（2021秋•原阳县期末）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点A出发，沿
a，b，d三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点B出发，沿d，c两个面走最短路径
到点A．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？解析展开a，b，c与d在同一平面内，如图所示．
由题意可知，甲蚂蚁走的路径为AB， （cm）．
1
乙蚂蚁走的路径为AB， （cm）．
2
因为 ，
所以AB＞AB，故乙蚂蚁先到达目的地．
1 2
17．（2021秋•中牟县期末）如图，一架长26m的云梯AB斜靠在竖直的墙上，云梯的底端B到墙底C的距
离为10m．
（1）求这架云梯的顶端距离地面有多高？
（2）如图所示，如果云梯的底端B向墙外滑动了3m，求此时云梯的顶端A下滑的距离．
解（1）根据题意可知，∠ACB＝90°，AB＝26m，BC＝10m，BB＝3m．
1
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴ ．
答：云梯的顶端距离地面有24m高．（2）由题意得，AB＝26m，CB＝CB+BB＝10+3＝13（m），
1 1 1 1
在RtΔABC中，由勾股定理得： ．
1 1
∴ （m），
∴AA＝AC﹣AC＝（24﹣13 ）（m），
1 1
答：云梯的顶端A下滑了 ．
18．（2022春•延津县期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前
推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，
求绳索AD的长度．
解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x+0.6﹣1.2）m，
故x2＝2.42+（x+0.6﹣1.2）2，5.76﹣1.2x+0.36＝0
解得：x＝5.1，
答：绳索AD的长度是5.1m．
19．（2021秋•蓝田县校级期末）如图，学习了勾股定理后，数学兴趣小组的小红和小明对离教室不远的
一个直角三角形空地下边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距离直角顶点B为9米远的点D处同时
开始测量，点C为终点，小明沿D→B→C的路径测得所经过的路程为18米，小红沿着D→A→C的路径测
量得所经过的路程为18米，这时小明说我能求出这个直角三角形的空地斜边上的高了，小红说我也知
道怎么求出这个直角三角形的空地斜边上的高了．你能求出这个直角三角形的空地斜边上的高吗？若能，
请你求出来；若不能，请说明理由．解：Rt△ABC中，∠B＝90°，
设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m），
则9+a＝x+b＝18（m），
∴a＝9（m），b＝18﹣x（m）
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（9+x）2+a2＝b2，
∴（9+x）2+92＝（18﹣x）2，
解得：x＝3，
即AD＝3（米），
∴AB＝AD+DB＝3+9＝12米，BC＝9米，AC＝15米， ×9×12＝ ×15h，
∴h＝ 米，
答：这个直角三角花台底边上的高为 米．
20．（2022春•龙湖区期末）在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为 5m的岸上，有人用绳子拉船
靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边
移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）
解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴ （m），
∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），
∴ （m），
∴ ）（m）．
答：船向岸边移动了 ）m
