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专题06正方形的性质与判定(重难题型)
1．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值
为 ，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．5 B．10 C． D．8
【答案】A
【分析】
过点C作 ，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C
重合时，PQ有最大值，即AC= ，当 时，PQ有最小值，即直线CD，直线
AB的距离为4，即CH=4，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，过点C作 ，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC= ，
当 时，PQ有最小值，即直线 与直线 的距离为 ，，
，
，
，
,
解得： ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
2．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中， ，直角顶点
P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，
且点O为MN的中点，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】
根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出
的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，∵点O为MN的中点
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用
相关性质，根据角的关系进行计算．
3．如图边长为4的正方形 中， 为边 上一点，且 ， 为边 上一
动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则 的最小值为（
）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】
过 点作 交 于点 ，过 点作 交 于点 ，根据 绕点顺时针旋转 得到线段 ，可得 ， ，利用 易证
，再根据四边形 是矩形，可得 ， ,设 ，则
， ， ，根据勾股定理可得
，即当 时， 有最小值．
【详解】
解：如图示：过 点作 交 于点 ，过 点作 交 于点 ，
∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴
∵ ，四边形 是正方形，
∴ ，
∴
∴ ， ，
∵ ，∴四边形 是矩形，
∴ ， ,
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
即当 时， 有最小值 ，
∴当 时， 最小值是 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，最
值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
4．如图，在正方形ABCD内， ，连接EF，若 ，
两块阴影部分的面积和为4，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．17 B．24 C．26 D．32
【答案】B
【分析】
如图延长BF交CE于N，延长DE交AF于M，只要证明四边形MENF是正方形，即可解
决问题．
【详解】
解：如图延长BF交CE于N，延长DE交AF于M，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，∠BAF=∠DCE，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠ABF+∠CBN=90°，
∠BAF=∠CBN，同理∠ABF=∠BCN，
∴△ABF≌△CBN，同理△ABF≌△DAM，
∴AF=BN=CE=DM，BF=CN=DE=AM，
∴EM=MF=FN=NE，
∴四边形MENF是菱形，
∵∠FNE=90°，
∴四边形MENF是正方形，
∵EF= ，
∴正方形MENF的面积为 =16，
∴正方形ABCD的面积=4×2+16=24，
故选：B．
【点睛】
本题考查正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 如图所示．过点 作的垂线交小正方形对角线 的延长线于点 ，连结 ，延长 交 于点 ．
若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据
可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，
可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH= FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明
△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH= BE，可得BH= ，利用勾股定理可用
BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．
【详解】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 ，
∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，
∵ ，
∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，
∴DF//EH，
∴PH为△CFQ的中位线，
∴PH= QF，CH=HQ，
∵四边形EPFN是正方形，
∴∠EFN=45°，
∵GD⊥DF，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴DG=FD=PC，
∵∠GDQ=∠CPH=90°，
∴DG//CF，
∴∠DGQ=∠PCH，
在△DGQ和△PCH中， ，
∴△DGQ≌△PCH，
∴PH=DQ，CH=GQ，
∴PH= DF= BE，CG=3CH，
∴BH=BE+PE+PH= ，
在Rt△PCH中，CH= = ，
∴CG= BE，
∴ ．故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟
练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
6．如图，正方形ABCD边长为4，点E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF=1，点P、
Q分别是AF、EF的中点，连接PD、PQ、DQ，则线段DQ的长等于（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可以证明 ，因为正方形ABCD边长为4，CE=CF=1，根据勾股定
理可以得到 ，又因为点P、Q分别是AF、EF的中点，根据直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一边以及中位线定理可以得到 ，再根据角的等量转化，
证明 为直角即可求出DQ的值．【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，CE=CF=1，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵点P、Q分别是AF、EF的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ,
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、中位线定理、直角三
角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握上述知识点，能够将 转换为等腰直角三角形
是解题的关键．
7．如图，正方形 的边长为4，点 在边 上运动，点 在边 上运动，运动
过程中 的长度保持不变，且 ．若 是 的中点， 是边 上的动点，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作点C关于直线AB的对称点N，DN交AB于点P，利用直角三角形斜边中线的性质求得
1
DM= ，为定值，则点M在以D为圆心，1.5为半径的圆上，得到当点D、M、 P、N 四
点在同一直线上时，DM+PM+PN有最小值，最小值为DN，利用勾股定理即可求解．
【详解】
如图，作点C关于直线AB的对称点N，连接PN、BN、DN，
DN交AB于点P，
1
∵点C、点N关于直线AB对称，
∴PC=PN，
∵△DEF是直角三角形，M是EF的中点，且EF=3，∴DM= EF= ，为定值，
∴点M在以D为圆心，1.5为半径的圆上，
∵DM+PM+PC= DM+PM+PN DN，
∴当点D、M、 P、N 四点在同一直线上时，DM+PM+PN有最小值，最小值为DN，
∴PM+PC的最小值为DN-DM=DN- ，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴CD=4，CN=8，
∴DN= ，
∴PM+PC的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称－最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确找到点P的位置是解
题的关键．
8．如图，在正方形 中， 是 边上的一点， ， ，将正方形边
沿 折叠到 ，延长 交 于点 ，连接 ， ，如下4个结论：
；② 为 中点；③ ；④ ．其中正确结论
的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①正确．证明∠GCF=∠GCB，∠ECD=∠ECF即可；②正确．可以证明BG=GA=FG；③正
确．证明AF⊥BF，CG⊥BF即可；④正确．证明EF:EG=2:5，求出△AFE的面积即可．
【详解】
解：如图，连接BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠GAE=∠CBG=∠CDE=∠BCD=90°，
由翻折可知：CD=CF，∠CDE=∠CFE=∠CFG=90°，DE=EF=4，∠DCE=∠ECF，
∵∠CFG=∠CBG=90°，CG=CG，CB=CF，
∴Rt△CGB≌Rt△CGF（HL），
∴BG=FG，∠GCF=∠GCB，
设BG=FG =x，
∴∠ECG=∠ECF+∠GCF= （∠DCF+∠BCF）=45°，故①正确，
在Rt△EAG中，∵EG2=EA2+AG2，
∴(4+x)2=82+(12-x)2，∴x=6，
∵AB=AD=AE+ED=12，
∴AG=BG=6，
∴G为AB中点，故②正确，
∵GF=GA=GB，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BF，
∵CB=CF，GB=GF，
∴CG是线段BF的垂直平分线，即CG⊥BF，
∴AF∥CG，故③正确，
∵S = ×6×8=24，EF:FG =4:6=2:3，
△AEG
∴EF:EG=2:5，
∴S = ×24= ，故④正确，
△AFE
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题
时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的
长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
9．如图，在边长为12的正方形 中，E是 上一点， ，且 ，
则 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【分析】延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由条件可以得出∠BCE+∠DCG=45°，就可以得出
∠DCG+∠DCF=45°，就有∠ECG=∠FCG=45°，通过证明△GCE≌△GCF就可以得出
GE=GF，在R△AEG中，由勾股定理就可以得出GE的长．
【详解】
解：延长AD至F，使DF=BE，连接CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠CDF=∠B=90°．
在△CBE和△CDF中， ，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠DCG+∠DCF=45°，
∴∠ECG=∠FCG．
在△GCE和△GCF中 ，
∴GCE≌△GCF(SAS)，
∴GE=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=GD+BE，∴GE=BE+GD；
∵AB=BC=12，BE=4，
∴AE=8．
设AG=x，由（2）可知：GF=GE=16-x．
在Rt△AGE中，由勾股定理，得：x2+64=(16-x)2，
解得：x=6，
∴GE=16-x=16-6=10．
故选：
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解
答时证明三角形全等是关键．
10．如图，在等腰 中， ， ， 是 边上的中点，点 、
分别在 、 边上运动，且保持 ，连接 、 、 ．在此运动变化
过程中，下列结论：
① 是等腰直角三角形；②四边形 不可能为正方形；③ 长度的最小值为
2；④四边形 的面积保持不变；⑤ 面积的最大值为2．其中正确的结论是（
）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤
【答案】B
【分析】
连接CF，证明△ADF≌△CEF然后逐项判断．
【详解】
解：连接CF，∵△ABC为等腰直角三角形，F为斜边上的中点，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB= AB= ，
又∵
∴AD=CE，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．故①正确，
当D，E为AC，BC中点时， 且∠ACB=90°
∴此时四边形CDFE为正方形，故②错误，
∵△ADF≌△CEF，
∴S =S ，
△CEF △ADF
∴S =S = ，故④正确，
四边形CEFD △AFC
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴当DF最小时DE最小，
DF⊥AC时，DF最小为 AC=2，
∴DE最小值为 ，故③错误，
当△CDE面积最大时△EDF面积最小，
△EDF面积最小值为 ×2×2=2，∴△CDE面积最大值为S -2= S -2=4-2=2．故⑤正确．
△ACF △ABC
综上所述，①④⑤正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查正方形的判定，全等三角形与勾股定理的综合应用，解题关键是熟练掌握全等三
角形与勾股定理相关知识点．
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4 ．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，
DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】C
【分析】
连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝4 ，
AB∥CD，∠C＝90°，证得△AEM≌GDM，得到AM＝MG，AE＝DG＝ AB，根据三角形中
位线定理得到MN＝ FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．
【详解】
解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
如图所示:∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4 ，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝ AB＝ CD，
∴CG＝ CD＝2 ，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝ FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝ BC＝2 ，
∴FG＝ ，
∴MN＝ ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理,三角形的中位线定理,正
确作出辅助线且证出AM＝MG是解题的关键．
12．如图的正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC＝10，CF＝8．
若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小为多少？（ ）A．4 B．5 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
由题意知FP的长度最小值即为F到AC的距离，作FM⊥AC，根据题意得正三角形ABC与
正方形CDEF的角分别为60°和90°，知∠FCM=30°，由30°的直角三角形的性质，即可求
解．
【详解】
解：如图，
过点F，作FM⊥AC交AC于点M，
此时FM为FP的最小值，
∵∠ACD＝60°，∠FCD＝90°，
∴∠FCM＝180°﹣∠ACB﹣∠FCD
＝180°﹣60°﹣90°
＝30°，
又∵∠FMC＝90°，
∴MF＝ FC＝4，
即PF的长度最小值为4，
故选：A．
【点睛】
本题考查正方形的性质和正三角形的性质，解题关键是熟练掌握30°的直角三角形性质．
13．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE，而
BE是等边△ABE边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，可求出AB的长，从而求出结
果．
【详解】
设BE与AC交于点P'，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D＝P'B，
∴P'D+P'E＝P'B+P'E＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝4．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答
此题的关键．
14．如图，正方形 的边长为 ， 的平分线交 于点E，若点P，Q分别是 和 上的动点．则 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】
过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出
D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【详解】
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD= ，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=32，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=32，
∴P′D′=4，即DQ+PQ的最小值为4，
故选B．【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、作图与基本作图等知识点的应用，解此题的
关键是根据轴对称的性质找出P'点，题型较好，难度较大．
15．在矩形纸片ABCD中， ，点P，Q分别是在边AB，CD上， ，
将 和 分别沿PG，EQ翻折，点D，B的对应点分别是 ， ，若四边形
是有一边平行于AB的菱形且 ，则AP的长是____________．
【答案】 或3
【分析】
①图甲，设 长为 ，作 ，利用特殊角可求出 及 的长，从而可以求出
的长．②图乙中，设 交 于 ， 交 于 ，则四边形 是矩形，
由题意四边形 ，四边形 都是正方形，四边形 ，四边形 都是
矩形，设 ，列出方程即可解决问题．【详解】
解：①如图甲中，作 ．
，四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
．
②如图乙中，设 交 于 ， 交 于 ，则四边形 是矩形，由题意四边形 ，四边形 都是正方形，四边形 ，四边形 都
是矩形，
设 ，
，
，
而 ，
，
解得 ，
，
综上所述， 或3，
故答案为： 或3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、菱形的性质，解题的关键是通过作辅助线将
特殊角与已知边建立联系，通过勾股定理求出边．
16．如图， 是边长为1的正方形 的对角线 上一点， 且 ． 为
上任意一点， 于点 ， 于点 ，则 的值是_____．
【答案】【分析】
如图（见解析），先利用三角形的面积公式可得 ，再根据正方形的性质、
直角三角形斜边上的中线可得 即可．
【详解】
解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
，
，
，
，即 ，
四边形 是边长为1的正方形，
，
，
又 ，是 斜边 上的中线（等腰三角形的三线合一），
，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等知识点，利用三角形的面积公式得
出 是解题关键．
17．四边形 为矩形，E是 延长线上的一点．
（1）若 ，如图1，求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ，点F是 上的点， ， 于点G，如图2，求证：
是等腰直角三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得出 ，再根据一组对边平行且相等证明即可；
（2）先证矩形 是正方形，再证 ，得出 ，再证
即可．
【详解】证明：（1）∵ 是矩形，
， ，
又 ，
，
，
∴四边形 是平行四边形．
（2） ，
∴矩形 是正方形，
，
，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质和全等三角形的判定与
性质，解题关键是熟练准确运用相关知识进行推理证明．
18．已知正方形 ，对角线 的中点为O，点O同时是正方形 的一个顶点，交 于点E， 交 于点F．这两个正方形的边长都是6，将正方形 绕
点O转动．
（1）如图①，当 垂直 时，两个正方形重叠部分的面积为________；
（2）如图②，将正方形 绕点O转动，求两个正方形重叠部分的面积．
【答案】（1）9；（2）
【详解】
解：（1）9
【解法提示】∵两个正方形的边长都是6，∴两个正方形重叠部分的面积 ．
（2）如解图，连接 ，
在正方形 中， ，
∵ ，
∴ ，且 ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．19．（1）如图①，已知正方形 和 分别是边 上的点，且 ，
连接 和 ，交于点 ．猜想 与 的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图②，将图①中的 绕点 逆时针旋转 得到 ．延长 交
于点 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
图①
图②
【答案】（1） ，见解析；（2）四边形 是正方形，见解析
【详解】
解：（1） ．
证明：∵四边形 是正方形，
．又 ，
．
．
，
．
．
．
（2）四边形 是正方形．
理由：由（1）知 ，
由旋转的性质知 ，
∴四边形 是正方形．
20．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点
G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据角平分线的性质证得EF＝EB，根据正方形的判定即可证得结论；
（2）根据三角形全等的判定证得AGD≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到结论；
（3）首先证得△DFO≌△EGO得到FO＝GO，FD＝EG，根据勾股定理证得DO＝ OF＝OG，根据线段的和差求解即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中， ，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中， ，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，∴DO＝ OF＝ OG，
∴DG＝DO+OG＝ OG+OG＝1，
∴OG＝ ＝ ﹣1，
∴OD＝ ( ﹣1)＝2﹣ ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性
质．熟记各个性质与判定是解题的关键．
21．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，
点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．
（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直
接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的 倍．
【答案】（1）见解析；（2）FG，CG，CD，DB
【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得DE∥AC，由直角三角形斜边中线定理得到CE＝
AB，根据平行线的性质定理和等腰三角形的性质证得∠F＝∠CED，进而得到AF∥CE，根
据平行四边形的判定即可证得四边形ACEF是平行四边形；
（2）根据直角三角形的性质得到AC＝ AB，由（1）知CE＝ AB，求得AC＝CE，推
出四边形ACEF为菱形，得到AE⊥CF，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵BD＝CD，BE＝AE，
∴DE∥AC，
∴∠AEF＝∠EAC，∠CED＝∠ECA，
∵∠ACB＝90°，BE＝AE，
∴CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AF＝AE，
∴∠F＝∠AEF，
∴∠F＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝ AB，
由（1）知CE＝ AB，
∴AC＝CE＝BE，
又∵四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形，
∴AE⊥CF，
∵CE＝BE，
∴∠B＝∠DCE＝30°，
∴∠BED＝∠BAC＝60°，
∵DF∥AC，
∠BDE＝∠ACB＝∠CDE＝90°，∴BD＝CD＝ DE，
∵∠DEB＝∠FEG＝∠CEG＝60°，
∴∠CED＝60°，
∴∠FEG＝∠CED，
∵EF＝CE，∠EGF＝∠CDE＝90°，
∴△EFG≌△ECD（AAS），
∴EG＝DE，FG＝CD，
∴FG＝ DE，
∵CG＝FG，
∴CG＝ DE，
∴等于线段DE的长度的 倍的线段是FG，CG，CD，DB．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性
质，熟练掌握菱形的判定和性质以及直角三角形的性质，是解题的关键．
