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专题06正方形的性质与判定(重难题型)
1．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值
为 ，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．5 B．10 C． D．8
2．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中， ，直角顶点
P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，
且点O为MN的中点，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
3．如图边长为4的正方形 中， 为边 上一点，且 ， 为边 上一
动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则 的最小值为（
）A． B．4 C． D．
4．如图，在正方形ABCD内， ，连接EF，若 ，
两块阴影部分的面积和为4，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．17 B．24 C．26 D．32
5．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 如图所示．过点 作
的垂线交小正方形对角线 的延长线于点 ，连结 ，延长 交 于点 ．
若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD边长为4，点E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF=1，点P、
Q分别是AF、EF的中点，连接PD、PQ、DQ，则线段DQ的长等于（ ）
A．4 B． C． D．
7．如图，正方形 的边长为4，点 在边 上运动，点 在边 上运动，运动
过程中 的长度保持不变，且 ．若 是 的中点， 是边 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．8．如图，在正方形 中， 是 边上的一点， ， ，将正方形边
沿 折叠到 ，延长 交 于点 ，连接 ， ，如下4个结论：
；② 为 中点；③ ；④ ．其中正确结论
的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在边长为12的正方形 中，E是 上一点， ，且 ，
则 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．如图，在等腰 中， ， ， 是 边上的中点，点 、
分别在 、 边上运动，且保持 ，连接 、 、 ．在此运动变化
过程中，下列结论：
① 是等腰直角三角形；②四边形 不可能为正方形；③ 长度的最小值为2；④四边形 的面积保持不变；⑤ 面积的最大值为2．其中正确的结论是（
）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4 ．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，
DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
12．如图的正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC＝10，CF＝8．
若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小为多少？（ ）
A．4 B．5 C．4 D．5
13．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，
在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）A．2 B．2 C．3 D．4
14．如图，正方形 的边长为 ， 的平分线交 于点E，若点P，Q分
别是 和 上的动点．则 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
15．在矩形纸片ABCD中， ，点P，Q分别是在边AB，CD上， ，
将 和 分别沿PG，EQ翻折，点D，B的对应点分别是 ， ，若四边形
是有一边平行于AB的菱形且 ，则AP的长是____________．
16．如图， 是边长为1的正方形 的对角线 上一点， 且 ． 为
上任意一点， 于点 ， 于点 ，则 的值是_____．17．四边形 为矩形，E是 延长线上的一点．
（1）若 ，如图1，求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ，点F是 上的点， ， 于点G，如图2，求证：
是等腰直角三角形．
18．已知正方形 ，对角线 的中点为O，点O同时是正方形 的一个顶点，
交 于点E， 交 于点F．这两个正方形的边长都是6，将正方形 绕
点O转动．（1）如图①，当 垂直 时，两个正方形重叠部分的面积为________；
（2）如图②，将正方形 绕点O转动，求两个正方形重叠部分的面积．
19．（1）如图①，已知正方形 和 分别是边 上的点，且 ，
连接 和 ，交于点 ．猜想 与 的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图②，将图①中的 绕点 逆时针旋转 得到 ．延长 交
于点 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
图①
图②20．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点
G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
21．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，
点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．
（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直
接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的 倍．
