文档内容
专题 06 期末复习专题：平行四边形
目录
【考点一 利用平行四边形的性质求解】................................................................................................................3
【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】................................................................................................7
【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】..................................................................................................12
【考点四 平行四边形中的折叠问题】..................................................................................................................16
【考点五 判断能否构成平行四边形】..................................................................................................................24
【考点六 平行四边形中的作图】..........................................................................................................................26
【考点七 平行四边形中的性质和判定】..............................................................................................................31
【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】......................................................................................................37
【考点九 平行四边形与中位线综合问题】..........................................................................................................41
【考点十 多边形内角和、外角和问题】..............................................................................................................47
知识点01 平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“
▱
”表示，平行四边形 ABCD表示为
“ ▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
知识点02 平行四边形的性质
平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形：
性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD；
②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO.
性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.
知识点03 平行四边形的判定定理
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
（1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC.
（2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC.
（3）判定方法 3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即 AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC.
（4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.
（5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO.
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；
②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边
相等，是无法判定为平行四边形的.
知识点04 三角形的中位线定理
（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
（2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点 D、E分
别为AB、AC的中点， .
知识点05 多边形的概念、内角和、外角和
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个
角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凹多边形
凸多边形
3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个
多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
n(n3)
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 2 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(n2) 180°
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 n ；
5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°．
特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外
角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等
外角的度数．
【考点一 利用平行四边形的性质求解】
例题：（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在 中， ， ， 、 相交
于点O， 交 于点E，则 的周长为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将 绕点A，逆时针旋转 得到 ，连接 ，
点E恰好在线段 上，则 的度数为 ．
2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在 中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为
半径作弧，分别交 、 于 、 两点；②分别以点 、 为圆心，大于 的一半长为半径作弧，两
弧交于点 ；③作射线 交 的延长线于点 ．若 ， ， ，则 的长为
．3．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形 内， ， ， ， 为线
段 上一点，若 为等腰三角形，则
【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】
例题：（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，
都是等边三角形，下列结论中：① ；② ；③四边形 是平行四边形；
④ ；⑤ ．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练】
1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形 中， 是 的中点，连接
．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④若 ，则
平行四边形 的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 是对
角线 上的两点，且 ．对于结论：① ；② ；③四边形 是平行
四边形；④ ．正确的个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形 中， 平分
，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】
例题：（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，点E是平行四边形 的 边上一动点，以 为一条
边作平行四边形 ，使点A始终在 边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形
的面积，下列说法正确的是（ ）
A．始终不变 B．逐渐减小 C．先减小再增大 D．不能确定
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图1， 中， ，动点E从C点出发，以每秒2个单位
长度的速度沿 匀速运动至B点停止，设运动的时间为t（单位：秒）， 的面积为S，且
S与t之间的关系如图2所示，则下列说法正确的是（ ）A． 边长为2 B．平行四边形 的周长为16
C． 的面积为18 D．m的值为8
2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，动
点P、Q分别从A、C同时出发，点P以 的速度由A向D运动，点Q以 的速度由C向B运动，
其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形 的任意两
个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ．
3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，平行四边形 中， ， 两动点M， N同时从
点A出发， 点M在边 上以 的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿 的路
径匀速运动，到达点B时停止运动． 的面积 与点 N的运动时间 的关系图象如图2所示，
已知 ．
（1） N点的运动速度是 ；
（2）c处的数值等于 ．
【考点四 平行四边形中的折叠问题】
例题：（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，
点 的对应点为点 ，连接 ．
(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，则 ___________， ___________．(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】
如图，在 中，点E是 边上的动点，现将 沿 折叠，点 是点B的对应点，连接 ．
【问题探究】
(1)如图1，当点 恰好落在 边上时，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图2，若 ， ， ，当点 落在 上时，求 的长．
2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在 中， ， ， ，点 分别为边
上异于端点的动点，且 ，连结 ，将四边形 沿着 折叠得到四边形 ．
(1)如图1，边 ， 交于点 ，若 ，求证：四边形 为平行四边形；
(2)如图2，当点 落在点 处时，求折痕 的长；
(3)当点 落在 的边上时，求点 之间的距离．
3．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”
为主题开展数学活动．
在平行四边形纸片 中，点E为 边上任意一点，将 沿 折叠，点B的对应点为 ．
(1)如图1，若点 恰好落在边 上时， 四边形 的形状是 ．
(2)如图2，若点 三点在同一条直线上时，求证： ；(3)如图3，若 时，连接 ，并延长交 于点F．若平行四边形纸片 的面积为24，
，求线段 的长．
【考点五 判断能否构成平行四边形】
例题：（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形 中，已知 ，对角线 ， 相
交于点 ，若增加下列条件，则可以使四边形 成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，四边形 的对角线相交于点 ，下列条件能判定四边形
是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点O，下列条件
不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． ，
C． ， D．【考点六 平行四边形中的作图】
例题：（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图， 在平行四边形 中， ．
(1)利用尺规作图，在 边上确定点E，使点E到边 ， 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ， ， 求 的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江西·期末）如图，在 中， ．
(1)尺规作图：在 上确定一点 ，使 ，作 的平分线交 于点 ；（不写作法，保
留作图痕迹）
(2)在（1）所做的图形中，连接 ，若 ，且 ， ，则 ．
2．（23-24八年级下·江西抚州·期末）已知四边形 是平行四边形， 为对角线，分别在图①、图②
中按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图①， 为 上任意一点，请仅用无刻度直尺在 上找出另一点 ，使 ；
(2)如图②， 为 上任意一点，请仅用无刻度直尺在 上找出另一点 ，使 ．
3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形 是平行四边形，对角线 与 相交于点O，
(1)尺规作图，作 的垂直平分线 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在第（1）问的基础上，若直线 交 于点E，交 于点F，试判断四边形 是不是平行四边形，并说明理由．
【考点七 平行四边形中的性质和判定】
例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）如图， 中，D是 边上任意一点，F是 中点，过点C
作 交 的延长线于点E，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图， 的对角线 ， 相交于点 ， ， 分别是 ，
的中点，连接 ， ， ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ．求 的的长．
2．（24-25八年级上·重庆·期末）在四边形 中， 是 的中点，连接 ， ， 是线段
上一点，连接 ， ，过 作 ，交 于点 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)如果 ， ， ，求 的度数．
3．（24-25九年级上·山东威海·期末）在四边形 中，对角线 ， 交于点O．(1)如图1，若 ，求证：四边形 是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，将对角线 绕点O顺时针旋转一个角度 ，分别交 ， 于点E，
F（如图2），求证：四边形 是平行四边形；
(3)如图3，若 ，过点D作 ， ，连接 ，求 的最小
值．
【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】
例题：（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形 中， ， ，点 是
边上的动点，连接 ， ， 是 的中点， 是 的中点，则 的最小值是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在 中， ，点H、G分别是边 、
上的动点，连接 、 ，点E为 的中点，点F为 的中点，连接 ，则 的最小值为
．
2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图， ， 平分 ，过点 作 的延长线于点
，点 为 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在 中， ，点 在边 上，点 在边 上，
且 ，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，则线段 的长为 ．
【考点九 平行四边形与中位线综合问题】例题：（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在 中， 及 分别是 的中点， 是 延
长线上的点，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形
(2)求证：
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图， 分别是 的 和 边上的中线，过C
作 ，交 的延长线于点F，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)连接 ，若 ，求线段 的长．
2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在 中， 和 的角平分线 ， 交于
边上的点 ．
(1)求证：E为 的中点；
(2)若点F为 的中点，连接 交 于点G．写出 与 间的数量关系，并说明理由．
3．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的
中点翻折，还会发现新的结论．
【实践探究】
（1）在 中，点 为 的中点， 沿着 向上折叠，点 落在 处，连接 并延长交
于点 ．判断四边形 的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（2）连接 ，兴趣小组发现 ，若 ， ，求 的长．【考点十 多边形内角和、外角和问题】
例题：（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的
八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ．
2．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转 ，再沿直线
前进15米，又向左转 ⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米．
3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）如图1螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯
视图如图2．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交 于点P，量得 长为 ，六边形
的边长为 长为 ．
