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专题06 弦图中的勾股定理
1．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形
EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵
爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角
边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（
）
A．13 B．14 C．15 D．16
3．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的
正方形的面积为 ，则所有正方形的面积和为（ ）
A． B． C． D．4．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角
三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与中间小正方形的面积差是（ ）
A．9 B．36
C．27 D．3
5．如图，以一直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个正方形的面积如图所示，则字
母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S，S，
1 2
S，已知S＝5，S＝12，则S＝_____．
3 1 2 3
7．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设
直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形
的边长为______．
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是____cm2
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代
数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作
FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．
若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
10．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的
两条直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答：
(1)图2中间小正方形的周长_____，大正方形的边长为_____．
(2)用两种方法表示图2大正方形的面积．（用含a，b，c）①S＝_____；
②S＝______；
(3)利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式_____．
(4)根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：
已知直角三角形的两条直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值．
11．（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数
学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根
据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作
FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．
若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
12．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书
《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完
全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式
表示：
（1）大正方形的面积为_____________；小正方形的面积为_______________；
（2）四个直角三角形的面积和为___，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为
_______________；
（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 ， ， 满足的关系是_________________；
（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则
图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为_______________．
13．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图①所示，它
是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为26，每个
直角三角形的面积为4，求中间小正方形的边长；
（2）现有一张长为 ，宽为 的纸片，如图②所示，请你将它分割成6块，再拼合成一个
正方形．（要求：先在图②中画出分剖线，再画出拼成的正方形，并标明相应数据）
14．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书
《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1、图2中任选一种方法来证明该
定理．(图1、图2均满足证明勾股定理所需的条件)
（2）如图3、图4、图5，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 有 个．（不需要证明）
15．勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古
代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆
方图”，在该图中，以弦 为边长所得到的正方形 是由4个全等的直角三角形再加上中间的
小正方形 组成的，其中 ， ．
（1）请利用面积相等证明勾股定理；
（2）在图1中，若大正方形 的面积是13， ，求小正方形 的面积；
（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形 由八个全等的直角三角形和正方形
拼接而成，记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ，
．若 ，求边 的长度．
16．阅读下列材料并完成任务：
中国古代三国时期吴国的数学家赵爽最早对勾股定理作出理论证明.他创制了一幅“勾股圆方图”
(如图l)，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长
得到的正方形 是由 个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为 ；中间的小正方形边长为 ，面积为 .于是便得到式子： .赵爽
的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒
等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互
不可分的独特风格树立了一个典范.如图2，是“赵爽弦图”，其中 、 、 和
是四个全等的直角三角形，四边形 和 都是正方形，根据这个图形的面积关系，
可以证明勾股定理.设 ， ， ，取 ， .
任务：
(1)填空：正方形 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；
(2)求 的值.
17．【阅读理解】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即
直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方．也
就是说，设直角三角形两直角边为 和 ，斜边为 ，那么 ．迄今为止，全世界发现勾
股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用
三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为 或者是 ，
因此得到 ，运用乘法公式展开整理得到 ．【尝试探究】（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成
正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为 、 ，斜边长为 ，请你根据
古人的拼图完成证明．
（2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中
四个直角三角形直角边分别为 、 ，斜边长为 ，请你帮助完成．
【实践应用】（3）已知 、 、 为 的三边 ，试比较代数式 与
的大小关系．
