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2021-2022 学年北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编
专题 09 分式方程的实际应用
一、选择题
1．（2021八上·江油期末）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km
所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h，则轮船在静水中航行的速度是（ ）
A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h
【答案】A
【完整解答】解：设轮船在静水中航行的速度是xkm/h，
由题意得： ，
∴81x-162=69x+138，
∴12x=300，
解得x=25.
故答案为：A.
【思路引导】设轮船在静水中航行的速度是xkm/h，根据“顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所
需的时间相同”，建立方程求解，即可得出结果.
2．（2021八下·长沙开学考）某次列车平均提速 ，用相同的时间，列车提速前行驶 ，提
速后比提速前多行驶 ，设提速前列车的平均速度为 ，下列方程正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：根据提速前列车的平均速度为 ，得提速后的速度为 ，列车用相同时间比提速前多行驶 ，列方程得 .
故答案为：A.
【思路引导】根据时间等于路程除以速度，分别表示出提速前行驶400km所用的时间及提速后行驶500km
所用的时间，然后根据时间相同就可列出方程.
3．（2021八上·新泰期中）为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长 的
道路进行改造拓宽．为了尽量减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计
划增加10%，结果提前6天完成任务，求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．嘉琪同学根据题意列
出方程 ，则方程中未知数 所表示的量是（ ）
A．实际每天改造道路的长度 B．原计划每天改造道路的长度
C．原计划施工的天数 D．实际施工的天数
【答案】B
【完整解答】设原计划每天铺设管道x米，则实际每天改造管道（1+10%）x，
根据题意，可列方程：
所以嘉琪所列方程中未知数x所表示的量是原计划每天改造管道的长度，
故答案为：B．
【思路引导】设原计划每天铺设管道x米，则实际每天改造管道（1+10%）x，根据题意列出方程即可。
4．（2021八上·玉屏期中）某煤厂原计划x天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因
此提前2天完成任务，列出方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【完整解答】解：∵原计划x天生产120吨煤
∴原计划每天生产 吨，采用新技术，提前2天完成，
∴实际每天生产的吨数为：
根据题意得
故答案为：D．
【思路引导】由原计划x天生产120吨煤，可得原计划每天生产 吨，实际每天生产的吨数为
，根据“ 采用新的技术，每天增加生产3吨 ”列出分式方程即可.
5．（2021八上·泰安期中）供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人小王骑摩
托车先走15分钟后，抢修车装载着所需材料才出发，结果他们同时到达。已知抢修车的速度是摩托车的
1.5倍，若设摩托车的速度为x千米/小时，则根据题意可得方程( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【完整解答】解： 设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，
根据题意得： .
故答案为：D.
【思路引导】 设摩托车的速度为x千米/小时，得出抢修车的速度为1.5x千米/小时，根据摩托车所用的时间比抢修车所用的时间多 小时，列出方程即可得出答案.
6．（2021·金乡模拟）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新
技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的
时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】解：设更新技术前每天生产x万份，则更新技术后每天生产(x+10)万份，
根据题意得： ，
故答案为：B．
【思路引导】本题主要根据“ 现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间
相同”列方程。应用的公式是：工作时间=工作总量÷工作效率。
7．（2021八下·青神期中）某文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去游览，面包车的租金为180
元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，设实际参加游览的同学共x人，
则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：设实际参加游览的同学共x人，根据题意得
故答案为：A.
【思路引导】抓住关键已知条件：结果每个同学比原来少分摊了3元车费，据此列方程即可.8．（2021八下·金牛期末）现有 两工厂每小时一共能做900个零件，两个工厂工作相同的时间后，
得到 工厂做的96个零件， 工厂做的84个零件，设 工厂每小时能做 个零件，根据题意列
出分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：设A工厂每小时能做x个零件，
根据题意可得： ，
故答案为：A.
【思路引导】此题的等量关系为：A工厂每小时能做的零件个数+B工厂每小时能做的零件个数=900；96÷A
工厂每小时能做的零件个数=84÷B工厂每小时能做的零件个数，据此列方程即可.
9．（2021八下·南岸期末）我国西北地区某村的耕地面积为 ，森林面积 ，为了治理该
地区的土地沙化问题，该村决定退耕还林，计划将部分耕地改为种植树木，使得耕地面积与森林面积之比
为4∶7.设有 的耕地改为种植树木，那么x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】设有 的耕地改为种植树木，
∴改完后耕地面积为（70-x）hm2，森林面积为（20+x）hm2，
∵耕地面积与森林面积之比为4∶7，∴ ，
故答案为：A.
【思路引导】设有 的耕地改为种植树木，再把改完后耕地面积和森林面积分别用含x的代数式表
示出来，根据其比为 4∶7 构建方程求解即可.
10．（2021八上·铜仁月考）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180
元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，
则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【完整解答】解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得： .
故答案为：D.
【思路引导】分别表示出(x-2)人、x人的平均费用，然后根据每个同学比原来少摊了3元钱车费就可列出
关于x的方程.
二、填空题
11．（2021八下·锦州期末）我国元代数学家朱世杰的著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题：“六
贯二百一十钱，请人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：用6210文钱请人代买
一批椽．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则正确的方程是 ．
【答案】【完整解答】依据题意，得：
故答案为：
【思路引导】根据题意中的等量关系列出分式方程，求出答案即可。
12．（2021八上·巴南期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米，甲同学先步行600米然后乘
公交车去学校，乙同学骑自行车去学校，已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的 ，公交车速度是乙骑
自行车速度的2倍.甲乙两同学同时从家出发去学校结果甲同学比乙同学早到2分钟，若甲同学到达学校时，
乙同学离学校还有m米，则 .
【答案】600
【完整解答】解：设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是 x米/分钟，公交车的速度是2x
米/分钟，
根据题意得
，
解得：x=300米/分钟，
经检验x=300是方程的根，
则乙骑自行车的速度为300米/分钟.
那么甲同学到达学校时，乙同学离学校还=2×300=600米.
故答案为：600.
【思路引导】设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是 x米/分钟，公交车的速度是2x
米/分钟，根据题意找到等量关系：甲步行的时间+甲公车时间=乙的时间-2分钟，列方程即可得到乙的速
度，甲同学到达学校时，乙同学离学校还有2x米,即可得到结论；13．（2021八上·黄陂期末）一个圆柱形容器的容积为 ，开始用一根小水管向容器内注水，水面高
度到达容器高度的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时4
个小时.设小水管每小时注水 ，依题意可列方程为 .
【答案】
【完整解答】解：设小水管的注水速度为 立方米/小时，
依题意得： ，即 ，
故答案为： .
【思路引导】根据小水管的注水时间+大水管的注水时间=4列出方程.
14．（2021八上·沙坪坝期末）全民齐心协力共建共享文明城区建设.某服装加工厂计划为环卫工人生产
1200套冬季工作服，在加工完480套后，工厂引进了新设备，结果工作效率比原计划提高了20%，结果共
用54天完成了全部生产任务.若设该加工厂原计划每天加工x套冬季工作服，则根据题意列方程为
.
【答案】
【完整解答】解：设该加工厂原计划每天加工x套冬季工作服，则提高效率后每天加工 套，
故答案为：
【思路引导】设该加工厂原计划每天加工x套冬季工作服，则实际每天加工 套，则按原计划的效率加工 天，按提高后的工作效率加工 天，从而可得答案.
15．（2021八上·越城期末）小王与小李约定下午3点在学校门口见面，为此，他们在早上8点将自己的
手表对准，小王于下午3点到达学校门口，可是小李还没到，原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟.
如果小李按他自己的手表在3点到达，则小王还需要等 分钟（正确时间）
【答案】30
【完整解答】解：正确的表时间是1小时60，错误的表显示是56，比值总是 ；
设小王还需要等x分钟
那人是按错误的7小时=420分，
此时正确的表应该是（420+x）分，
则 ，
解得：x=30.
经检验x=30是原方程的解
所以小王还需要等30分钟
【思路引导】由题意可知正确的表时间是1小时60，错误的表显示是56，由此可求出其比值，设小王还需
要等x分钟，用含x的代数式表示出正确的表应该的时间，然后根据其比值建立关于x的方程，解方程求
出x的值即可.
16．（2021八下·乐山期中）甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以
速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目
的地？（ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是 ．（只需填入序号）
【答案】②
【完整解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，
甲： ，乙： ，整理得
甲到达用的时间更多，所以乙先到。
【思路引导】本题需要根据甲乙各自路程、速度、时间的关系，整理出各自到达目的地用的总时间，然后
进行比较，具体计算过程中运用到了分式的运算、偶次幂的非负性，要学会用做差的方法进行比较大小。
17．（2020八上·兖州期末）某中学假期后勤中的一项工作是请 名木工制作200把椅子和100张课桌，
已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一
组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．
【答案】13
【完整解答】解：设制作课桌的工人为 名，则制作椅子的工人有 名，
则制作 把椅子所需时间 ，
制作 张课桌所用的时间为 ，
令 ，
当 值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短，
当 时，即 ，
解得 不符合实际，
当 时， ，当 时， ，
即当 时，完成此项工作时间最短．
故答案是：13．
【思路引导】先求出 ，再求出 ，最后计算求
解即可。
18．（2021八上·汉寿期末）某市为绿化环境计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多
30%，结果提前5天完成任务.若设原计划每天植树 棵，则根据题意可列方程为 .
【答案】
【完整解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1＋20%）x＝1.2x，
根据题意可得： ，
故答案为： .
【思路引导】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1＋20%）x＝1.2x，根据“原计划所用时间−实际
所用时间＝5”列方程即可.
三、解答题
19．（2021八上·芜湖期末）为积极创建全国文明城市，甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程．
若由甲、乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可
以完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
【答案】解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，
依题意，可得 ，
解得：x＝60，.
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴乙工程队单独完成此项工程需要的天数为1÷（ ）＝30，
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
【思路引导】根据题意先求出 ， 再解方程求解即可。
20．（2021八上·红桥期末）一辆汽车开往距离出发地 的目的地，出发后第一小时内按原计划的
速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前 到达目的地．求第一小时
的行驶速度．
【答案】解：设第一小时的行驶速度为 ，
根据题意得
化简得
去分母得
去括号得
移项、合并同类项得
解得
经检验 是原方程的解
∴ 第一小时的行驶速度为 ．
【思路引导】设第一小时的行驶速度为 ， ，根据题意列出方程
求解即可。
21．（2021八上·燕山期末）列方程解应用题：
“共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问
题做出了巨大贡献．某农业基地现有A，B两块试验田，A块种植普通水稻，B块种植杂交水稻．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍，A块试验田种植面积比B块试验田多5亩，两块试验田的总产量
都是6750千克．求杂交水稻的亩产量是多少千克？
【答案】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，
根据题意，得 ，
解这个方程，得 ．
经检验： 是方程的解，符合题意．
千克．
答：杂交水稻的亩产量是1080千克．
【思路引导】设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，根据题意列出方程，解之并
检验即可得出答案。
22．（2021八上·石景山期末）列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作
效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
【答案】解：设引进新设备前工程队每天建造道路 米，则引进新设备后工程队每天改造 米，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．
【思路引导】根据题意先求出 ， 再解方程即可。
23．（2021八上·南充期末）新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控.某呼吸机厂接到
生产600台呼吸机的任务，以每天比原来多生产50台呼吸机的速度进行生产，结果所用时间与原来生产
450台呼吸机所用时间相同.
（1）求该厂现在每天生产多少台呼吸机?
（2）完成这批任务后，该厂又接到在10天内至少生产2400台呼吸机的任务，问该厂每天还应该至少
比现在多生产多少台呼吸机才能完成任务?
【答案】（1）解：设该厂现在每天生产x台呼吸机.根据题意，得： .
解得， .
经检验： 是分式方程的解.
答：该厂现在每天生产200台呼吸机.
（2）解：设该厂每天还应该比现在多生产y台呼吸机.
根据题意，得： .
解得， .
答：该厂每天还应该至少比现在多生产40台呼吸机才能完成任务.
【思路引导】（1）此题的等量关系为：实际每天完成的工作效率=原来每天的工作效率+50；600÷实际每
天完成的工作效率=450÷原来每天的工作效率，设未知数，列方程，求解即可；
（2）此题的不等关系为：完成这批任务后，该厂又接到在10天内至少生产2400台呼吸机的任务，据此设
未知数，列不等式，然后求出不等式的最小正整数解即可.
24．（2021八上·鞍山期末）2022年元旦及春节来临之际，我市对城市亮化工程招标，按照甲、乙两个工
程队的投标书，甲、乙两队施工一天的工程费分别为1.5万元和1.2万元，根据甲乙两队的投标书测算，
应有三种施工方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成．②乙队单独做这项工程，要比规定日期多3天完成．③若甲、乙
两队合作2天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
（1）求规定如期完成的天数．
（2）在确保如期完成的情况下，你认为以上三种方案哪种方案最节省工程款；通过计算说明理由．
【答案】（1）解：设工程期为x 天，则甲队单独完成用x 天，乙队单独完成用（x+3）天．
解得x＝6，
经检验：x＝6是原方程的解，且适合题意，
答：按规定用6天如期完成；
（2）解：在不耽误工期的情况下，有方案①和方案③两种方案合乎要求，
但方案①需工程款1.5×6＝9 （万元），
方案③需工程款1.5×2+1.2×6＝10.2（万元），
因为10.2＞9，故方案①最节省工程款且不误期．
【思路引导】（1）设工程期为x 天，则甲队单独完成用x 天，乙队单独完成用（x+3）天．列出方程，解
之并检验即可；
（2）在不耽误工期的情况下，有方案①和方案③两种方案合乎要求，求出各自需要的工程款，再比较大
小即可。
25．（2021八下·衡阳期末）某旅游商品经销店欲购进 、 两种纪念品， 种纪念品每件进价
是 种纪念品每件进价的1.5倍，用600元购买 种纪念品的数量比用同样金额购买 种纪念品的
数量多10件.
（1）求 、 两种纪念品的每件进价分别为多少元？
（2）若该商店 种纪念品每件售价25元， 种纪念品每件售价37元，该商店准备购进 、
两种纪念品共40件，且 种纪念品不少于30件，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大利润
为多少元？
【答案】（1）解：设 种纪念品的进价为 元，则 纪念品的进价为 元，由题意，得
，
解得： .
经检验得： 是原方程的根.
故 ，
答： 、 两种纪念品的进价分别为20元，30元
（2）解：设总利润为 元，进A种纪念品a件，由题意，得
，
∴ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， 元
【思路引导】（1）根据题目描述，假设A种纪念品进价x元则B进价为1.5x，根据数量=总价÷单价及
A、B两种商品的数量差列出方程，求得x即可；
（2）根据（1）得出的进价，根据利润=（售价-进价）×数量的关系式建立函数解析式，进行根据函数性
质求解即可.26．（2021八上·巴南期末）在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲队单独
完成这项工程需要时间比规定时间早25天，乙单独完成这项工程需要时间比规定时间多20天.若由甲乙两
队先合作10天，剩下的工程由乙队单独做，正好在规定时间内完成（既没提前，也没延后）.
（1）求规定时间是多少天？
（2）乙队单独施工2天后，甲队开始加入合作，合作时，甲队的人数增加了10%，每个人的效率提高了
3a%，同时乙队的人数增加了a%，每个人的效率提高了40%，结果合作20天完成了任务，求a的值（假设
每队每人的效率相等）.
【答案】（1）解：设规定时间为x天,则由题意可得：
，
解之得：x=70，
经检验，x=70是原方程的解且符合题意，
∴规定时间是70天.
答：规定时间是70天
（2）解：由（1）可知甲乙两队每天的效率分别为 ，
∴由题意可得：
，
解之可得：a=10
【思路引导】（1）设规定时间为x天,根据“甲乙合做10天的工作量+乙队独做（x-10）天的工作量=1”
可以得到关于x的分式方程，解方程并检验即可得到解答；
（2）由（1）可以得到甲乙两队每天的效率分别为 ，因为效率与人数成正比，所以人数增加了
多少，效率也增加了多少，根据乙队独做两天的工作量+甲乙两队分别增加工人及提高效率的前提下合做
20天完成的工作量=1列出关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值.
27．扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时
间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量?【答案】解：设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本
由题意列方程，得
解得 x=20，
经检验x=20是方程的解.
答：卓玛平均每分钟清点图书的数量为20本
【思路引导】设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本，则扎西平均每分钟清点图书的数量为（x+10）本，
根据卓玛清点完200本图书所用的时间与扎西清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，
求解即可.
28．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，
商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化
器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．求一台A
型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
【答案】解：设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，
由题意得， ，
解得：x=1200，
经检验x=1200是原方程的根，
则x+300=1500，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元。
【思路引导】根据两种类型的净化器的台数是相同的，可列出方程，解出价格。
