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专题 09 分式方程的四种特殊解问题全攻略
题型一、正负解问题
例．如果关于x的方程 的解是正数，那么m的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】D
【详解】解：
解得：
方程 的解是正数，
即
且
故选：D
【变式训练1】若整数a使得关于x的分式方程 的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（ ）
A．﹣3 B．2 C．1 D．4
【答案】D
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∵整数a使得关于x的分式方程 的解为非负数，
∴ ，
∴ 且 （a为整数），
∵一次函数的图象 经过一、二、三象限，
∴ ，
∴ ，
∴ 且 （a为整数），
∴a的值可以为 ，
∴所有符合条件的a的和为 ，
故选D．
【变式训练2】若关于x的一元一次不等式组 恰好有1个整数解，且关于y的分式方程
有正数解，则符合条件的所有整数a的积为（ ）
A．－6 B．8 C．24 D．6
【答案】B【详解】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵该不等式组只有1个整数解，
∴ ，解得 ；
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
解得： ，
当 时，分式方程产生增根，分式方程无解，
∵ 且分式方程有正数解，
∴整数a的值为2或4，
则符合条件的所有整数a的积为8，
故选：B．
【变式训练3】已知关于x的方程 的解是负数，则m的取值范围为______．
【答案】m>－6且m≠－2
【详解】解：原方程 ，
解得 ．
因为 ，即 ，
因为解是负数，即 ，
所以 ，
所以m的取值范围是 且 ．
故答案为： 且【变式训练4】关于x的分式方程 的解是正数，则a的取值范围是______________．
【答案】 且
【详解】解： ，
，解得： ，
∵分式方程的解是正数，
∴ 且 ，
∴ ，
且 ；
故答案为： 且
题型二、整数解问题
例．若关于x的一元一次不等式组 的解为 ，且关于y的分式方程
的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【详解】解： ，由①得： ，由②得：
∵不等式组的解集为 ，∴ ，∴ ，
∵ ，
方程两边同乘 得： ，解得： ，
由于方程的解为正整数，且由题意知： ，
∴ 且 ，∴ 且 ，∴ 且 ，∴ 为 ， ， ， ，
由于 为正整数，所以 为3的正整数倍数，∴ ，
∴所有满足条件的整数a的值之和是0，故D正确．
故选：D．
【变式训练1】若整数k关于x的一元一次不等式组 的解集是 ，且使关于y的分式方程
有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【详解】解：解不等式 得： ，
∵整数k使关于x的一元一次不等式组 的解集是 ，
∴ ，
解分式方程 得： ，
则 是非负整数，
∴ 或 或 ，
当 时， 是方程的增根，舍去，
∴ 或 ，
∴符合条件的所有整数k的值之和为 ，
故选：B．
【变式训练2】若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，关于 的分式方程
有整数解，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A．5 B．6 C．11 D．12
【答案】A【详解】解：由一元一次不等式组 可得 且 ，
∵一元一次不等式组 的解集为 ，
∴ ，
分式方程 变形为： ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵分式方程 有整数解，
∴ 为整数，
∴ 或 或
解得 或 或4或0或3或1，
∵ ，且
∴符合条件的所有整数m分别是：4、3、0，
∴符合条件的所有整数m的和为 ，
故选：A．
【变式训练3】从 ， ， ， ，0， ，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m，若数m使关
于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有非负整数解，那么从这9个
数中抽到满足条件的m的概率是__．【答案】
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
∴符合此条件的有 ， ， ， ，0， ，1这7个数，
解分式方程得 ，
∵方程有非负整数解，
∴在以上7个数中，符合此条件的有﹣3、﹣1这2个，
∴从这9个数中抽到满足条件的m的概率是 ，
故答案为： ．
【变式训练4】若数a使关于x的分式方程 的解为非负数，且使关于y的不等式组
的解集为 ，则符合条件的所有整数a的和为________．
【答案】
【详解】解：原分式方程可化为：
，
等式两边同乘 得： ，
解得： ，
由题意可知： ，且 ，
解得： 且 ；解不等式组： 得： ，
∵关于 的不等式组的解集为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，且 ；
∵ 为整数，
∴ 为 、 、 、 ，
∴符合条件的所有整数 的和为： ，
故答案为： ．
题型三、无解问题
例．已知关于 的方程 无解．则 ______．
【答案】
【详解】解：分式方程去分母得：
解得： ，
∵分式方程无解，
∴
即 ，
解得： ，
故答案为： ．
【变式训练1】若关于x的分式方程 无解，则实数 ________．
【答案】 或
【详解】解：去分母得 ，
整理得 ．
当 ，即 时，方程无解；当 时，由分式方程无解得 ，即 ，
把 代入整式方程得 ，解得 ．
综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．
【变式训练2】若关于x的方程 无解，则a的值为______．
【答案】 或 或
【详解】∵ ，
∴ ，
整理，得 ，
当 时，方程无解，
解得 ；
∵ 的增根为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式训练3】已知关于x的分式方程 无解，则m的取值为（ ）
A． B． 或2 C． 或 或2 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：去分母得： ，
整理得： ，
当 时，方程 无解，此时 ；
当 时， ，
∵分式方程无解，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ．
综上所述， m的取值为 或 或2．
故选∶C
题型三、增根问题
例．若分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【详解】解：原方程可化为 ，
∴ ，
∵分式方程无解，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选A
【变式训练1】关于 的分式方程 有增根，则此分式方程的增根为________．
【答案】
【详解】解：由 可知当 时，分式方程有增根，
∴该分式方程的增根为 ；故答案为 ．
【变式训练2】关于 的分式方程 有增根，则增根为______．
【答案】
【详解】解： 关于 的分式方程 有增根，且分式方程最简公分母为 ，
分式方程 的增根为 ，
故答案为： ．
【变式训练3】关于 的分式方程 有增根，则 的值为__________．
【答案】
【详解】解：∵解分式方程：
∴去分母得：
∴解得
∵关于 的分式方程 有增根
∴该分式方程的增根为：
∴
∴
故答案为：
【变式训练4】已知关于 的分式方程 有增根，则 的值为___________．
【答案】 或
【详解】解：
，当 ，即 或 时，分式方程有增根，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
故m的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
