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2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 09 切线长定理
一．选择题
1．（2020•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下
列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用
切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则
可对④进行判断．
【完整解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，所以①正确；
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
故选：C．
2．（2020秋•林州市期中）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为
BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
【思路引导】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，
QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边
进行求解即可．
【完整解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，
得
CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．
则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．
故选：C．
3．（2020•浙江自主招生）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝
10，AD＝6，则CB长（ ）A．4 B．5 C．6 D．无法确定
【思路引导】方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、
OF、OC、OH，则圆的半径 R，可以看作△BOC，△COD，△AOD 的高，根据 S ＝
梯形 ABCD
S +S +S ，以及梯形的面积公式即可求解．
△BOC △COD △DOA
方法2、利用切线的性质得出∠ADO＝∠ODC，进而得出∠ADO＝∠AOD，即可得出OA＝6，即：OB
＝4，同理：BC＝OB即可得出结论．
【完整解答】解：方法1、
设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．
设CD＝y，CB＝x．
设S ＝S
梯形ABCD
则S＝ （CD+AB）R＝ （y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）
S＝S +S +S
△BOC △COD △DOA
＝ xR+ yR+ ×6R﹣﹣﹣﹣（2）
联立（1）（2）得x＝4；
方法2、连接OD．OC
∵AD，CD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝∠ODC，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD，
∴∠ADO＝∠AOD
∴AD＝OA
∵AD＝6，
∴OA＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝4，同理可得
OB＝BC＝4，
故选：A．
4．（2019•深圳模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切
点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（ ）
A．32° B．48° C．60° D．66°
【思路引导】根据切线长定理可知CA＝CD，求出∠CAD，再证明∠DBA＝∠CAD即可解决问题．
【完整解答】解：∵CA、CD是⊙O的切线，
∴CA＝CD，
∵∠ACD＝48°，
∴∠CAD＝∠CDA＝66°，
∵CA⊥AB，AB是直径，
∴∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，∠CAD+∠DAB＝90°，
∴∠DBA＝∠CAD＝66°，
故选：D．
5．（2020秋•台州期中）如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点
M，N，若PA＝7.5cm，则△PMN的周长是（ ）A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm
【思路引导】根据切线长定理得MA＝MC，NC＝NB，然后根据三角形周长的定义进行计算．
【完整解答】解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴MA＝MC，NC＝NB，
∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．
故选：D．
6．（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，
CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．π B．2π C．4π D．0.5π
【思路引导】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF
是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM
＝NF，得到OE＝2，于是得到结论．
【完整解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．
7．（2020•浙江自主招生）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点
A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，则易证AO⊥BE，
△BOF∽△AOB，则sin∠CBE＝ ，求得OF的长即可求解．
【完整解答】解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F
∵AB，AE都为圆的切线
∴AE＝AB
∵OB＝OE，AO＝AO
∴△ABO≌△AEO（SSS）
∴∠OAB＝∠OAE
∴AO⊥BE
在直角△AOB里AO2＝OB2+AB2
∵OB＝1，AB＝3
∴AO＝
易证明△BOF∽△AOB∴BO：AO＝OF：OB
∴1： ＝OF：1
∴OF＝
sin∠CBE＝ ＝
故选：D．
8．（2012•武汉模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O
的切线，与边BC交于点E，若AD＝ ，AC＝3．则DE长为（ ）
A． B．2 C． D．
【思路引导】连接OD，CD．由切线长定理得CD＝DE，可证明△ADC∽△ACB，则可求得BD，再由
勾股定理求得BC，可证明BE＝DE，从而求得DE的长．
【完整解答】解：连接OD，CD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝ ，AC＝3．
∴CD＝ ，
∵OD＝OC＝OA，
∴∠OCD＝∠ODC，∵DE是切线，
∴∠CDE+∠ODC＝90°．
∵∠OCD+∠DCB＝90°，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠B＝∠ACD，
∴ ＝ ，
∴BC＝ ＝ ＝4，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠B+∠DCB＝90°，∠B+∠CDE＝90°，∠CDE+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝CE＝DE．
∴DE＝ BC＝ ×4＝2．
故选：B．
二．填空题
9．（2020秋•德州期末）如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知
△PCD的周长等于10cm，则PA＝ 5 cm．【思路引导】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB
的长，然后再进行求解．
【完整解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA＝PB；
同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；
则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；
∴PA＝PB＝5cm，
故答案为：5．
10．（2019秋•秦淮区期中）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝
110°，则∠COD的度数是 7 0 °．
【思路引导】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出∠2+∠3＝∠DOC＝70°．
【完整解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，
在Rt△DEO和Rt△DFO中
，
∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），
∴∠1＝∠2，
同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，
Rt△CEO≌Rt△CNO，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，
∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．
故答案为：70°．
11．（2017•新抚区二模）如图，⊙O为四边形ABCD的内切圆，AD＝3，AB＝4，CD＝5，则BC＝ 6
．
【思路引导】直接利用切线长定理得出AD+BC＝AB+DC，进而得出答案．
【完整解答】解：如图所示：∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，
∴AE＝AN，DE＝DF，BN＝BM，CF＝CM，
∴AE+DE+BM+CM＝AN+BN+DF+CF，
即AD+BC＝AB+DC，
∵AD＝3，AB＝4，CD＝5，
∴3+BC＝4+5，
∴BC＝6．
故答案为：6．
12．（2021•哈尔滨模拟）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且
分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为 3 ．【思路引导】通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形 PEF的周长等于PA+PB＝6，又因为
PA＝PB，所以可求出PA的长．
【完整解答】解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，
∴PA＝3；
故答案为：3．
13．（2020秋•崇川区月考）如图，以正方形 ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点
F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 1 4 ．
【思路引导】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；
在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
【完整解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．
14．（2015秋•襄州区期末）已知：PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A、B的一点，
过点C作⊙O的切线分别交PA和PB于点D、E，若PA＝10cm，DE＝7cm，则△PDE的周长为 20 或
34 cm．
【思路引导】分两种情况：①点C在劣弧AB上时，②点C在优弧AB上时；
根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线长即可．
【完整解答】解：分两种情况：
①点C在劣弧AB上时，如图，
当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+CD+CE+PE＝PD+AD+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝20cm．
②点C在优弧AB上时，如图，
当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝2PA+2DE＝20+2×7＝34cm．
综上，△PDE的周长为 20或34cm．
故答案为：20或34．
15．（2015秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的
一个切点，
已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则
剪下的△AMN的周长为 2 0 cm ．【思路引导】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【完整解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝
10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．
故答案是：20cm．
三．解答题
16．（2019秋•增城区期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若
∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
【思路引导】（1）由切线长定理可得PA＝PB，且∠P＝60°，可得△PAB是等边三角形；
（2）由等边三角形的性质可得PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，由圆周角定理和切线的性质可得∠CAB＝
90°，∠PBC＝90°，由锐角三角函数可求AC的长，
【完整解答】解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，且∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形；
（2）∵△PAB是等边三角形；
∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，
∵BC是直径，PB是⊙O切线，
∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC＝ ＝ ，
∴AC＝2× ＝ cm．
17．已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，
以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
【思路引导】利用切线长定理得出四边形CDFP的周长为AD+DC+CB即可得出答案．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，
∵OA，OB是半径，
∴AF、BP都是⊙O的切线，
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE＝FA，PE＝PB，
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB＝2×3＝6．
18．（2018秋•天津期末）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，
求∠P的度数．【思路引导】根据切线长定理得等腰△PAB，运用三角形内角和定理求解即可．
【完整解答】解：根据切线的性质得：∠PAC＝90°，
所以∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，
根据切线长定理得PA＝PB，
所以∠PAB＝∠PBA＝70°，
所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°．
19．（2018•硚口区模拟）如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC
的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
【思路引导】（1）欲证明OQ＝PQ，只要证明∠QOP＝∠QPO即可；
（2）设OA＝r．在Rt△PCQ中，利用勾股定理构建方程求出r，再证明四边形OPDB是平行四边形，
求出OP即可解决问题；
【完整解答】（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝ ＝4 ，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4 ．20．（2015秋•扬州校级月考）如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、
F，且PA＝6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
【思路引导】（1）根据切线长定理得到DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，于是得到DE＝DA+EB，即
可得到结论；
（2）根据切线的性质得到 OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE＝ ∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝
∠AOF，根据四边形的内角和得到∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，即可得到结论．
【完整解答】解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，
∴DE＝DA+EB，
∴PE+PD+DE＝PA+PB＝12，
即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE＝ ∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝ ∠AOF，
∵∠APB＝52°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，
∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝ （∠BOF+∠AOF）＝ ∠BOA＝64°．21．（2017•北湖区校级模拟）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝
6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
【思路引导】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的
性质得∠ABC+∠BCD＝180°，则有∠OBE+∠OCF＝90°，即∠BOC＝90°；（2）由勾股定理可求得BC
的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
【完整解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝
∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；
（2）由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝ ＝10cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴OF＝ ＝4.8cm．22．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交
PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
【思路引导】（1）根据切线长定理得到PA＝PB，AC＝CE，BD＝DE，根据三角形的周长公式计算即
可；
（2）证明Rt△AOC≌Rt△EOC，得到∠AOC＝∠COE和∠DOE＝∠BOD，计算即可．
【完整解答】解：（1）连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA＝PB＝6，
同理可得：AC＝CE，BD＝DE，
△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；
（2）∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC＝∠COE，
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝ ∠AOB＝65°．23．（2012秋•番禺区期中）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO
＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
【思路引导】（1）由切线长定理，易得∠OBE＝∠OBF＝ ∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝ ∠GCF，又
由AB∥CD，则可求得∠BOC＝90°；
（2）由BO＝6，CO＝8，利用勾股定理即可求得BC的长；
（3）利用直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边，即可求得⊙O的半径OF的长．
【完整解答】（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF＝ ∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝ ∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，∴BC＝ ＝10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF＝ ＝ ＝4.8．
24．（2002•天津）已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的
切线交BC边于点E．
（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；
（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF•DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存
在，请说明理由．
【思路引导】（1）连接BD，已知ED、EB都是⊙O的切线，由切线长定理可证得OE垂直平分BD，
而BD⊥AC（圆周角定理），则OE∥AC；由于O是AB的中点，可证得OE是△ABC的中位线，即E
是BC中点，那么Rt△BDC中，DE就是斜边BC的中线，由此可证得所求的结论；
（2）由（1）知：BC＝2BE＝2DE，则所求的比例关系式可转化为（ ）2＝DF•DC，即 DE2＝
DF•DC，那么只需作出与△DEC相似的△DFE即可，这两个三角形的公共角为∠CDE，只需作出
∠DEF＝∠C即可；
①∠DEC＞∠C，即180°﹣2∠C＞∠C，0°＜∠C＜60°时，∠DEF的EF边与线段CD相交，那么交点即
为所求的F点；
②∠DEC＝∠C，即180°﹣2∠C＝∠C，∠C＝60°时，F与C点重合，F点仍在线段CD上，此种情况也
成立；
③∠DEC＜∠C，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，∠DEF的EF边与线段的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的F点．
【完整解答】（1）证明：连接BD．
由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得
ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD．
∴AD∥OE．
即OE∥AC．
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE＝EC，
∴EB＝EC＝ED．
（2）解：在△DEC中，由于ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°﹣2∠C．
①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F
满足条件．
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
这是因为：
在△DCE和△DEF中，
∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE．
∴DE2＝DF•DC．
即（ BC）2＝DF•DC
∴BC2＝4DF•DC．
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°，
此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF•DC．
③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点
F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．
