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专题 09 分式方程与应用
知识网络
重难突破
知识点一 分式方程的解法
1、分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
特征：分母中含有未知数.
注意：
整式方程与分式方程的异同点：
①都是方程，都含有未知数；
②整式方程中的未知数一定不在分母中出现，而分式方程中的分母中一定含有未知数；
2、解分式方程的一般步骤
（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解整式方程，得到整式方程的解；
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母等于0的解是原分式方程的增根，使最简公分母不等于0的解是原分式方程的根．
典例1
（2020春•泰兴市校级期中）解方程 ．
【解答】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
经检验 是增根，分式方程无解．
典例2
（2021•成都）分式方程 的解为
A． B． C． D．
【解答】解：分式方程整理得： ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
分式方程的解为 ．
故选： ．
典例3
（2020•营口模拟）若方程 的根为正数，则 的取值范围是
A． B． C． D． 且
【解答】解：方程两边都乘以 得： ，
，
，
，
方程 的根为正数，
，解得： ，
分式方程的解为正数，
， ，
， ，
即 的范围是 ，
故选： ．
知识点二 方程增根、无解问题
1、增根：使原分式方程的分母为零的根叫分式方程的增根.
2、增根产生的原因，解分式方程的第一步是“去分母”，而在分式中当分母的值为0时，分式无意义，所
以在分式方程中，未知数的值不能使分母为 0，即分式方程本身就隐含着分母不为 0的条件，当把分式方
程转化为整式方程后，这个限制条件取消了，未知数允许值的范围扩大了，如果转化后的方程的根恰好是
原方程未知数允许值范围之外的值，那么这个值就是原方程的增根.
注意：分式方程的增根必须满足两个条件：
①增根使最简公分母为0；②增根是分式方程化成的整式方程的根.
3、无解
（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x=1”的形式，即整式方程无解；
（2）整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母等于0，即求得的根为增根.
典例1
（2020春•龙泉驿区期中）如果关于 的分式方程 有增根，则 的值为
A． B．3 C．4 D．10
【解答】解：去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程得： ．
故选： ．
典例2
（2020春•仪征市期中）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．【解答】解：方程整理得 ，
当 ，即 时，方程无解，
方程两边都乘以 得， ，即 ，
整理得， ，
方程无解，
，
解得 ，
．
故答案为： 或 ．
知识点三 分式方程应用题
解分式方程应用题的一般步骤：
（1）审：审清题意，弄清已知量和未知量的关系；
（2）找：找出题目中的等量关系；
（3）设：根据题意设出未知数；
（4）列：列出分式方程；
（5）解：解这个分式方程；
（6）验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际意义；
（7）答：写出答案.
典例1
（2021春•深圳期末）某车间加工1200个零件后采用了新工艺，工效提高了 ，这样加工同样多的零件
少用 ，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工 个零件，则
可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：设新工艺前每小时分别加工 个零件，则新工艺前加工时间为： ；新工艺加工时间为：可得出：
故选： ．
典例2
（2021春•福田区校级期中）新型冠状病毒疫情发生后，全社会积极参入疫情防拉工作，某市为了尽快完
成100万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天
能生产口罩数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．
（1）求甲、乙两个工厂每天各生产多少万只口罩？
（2）在生产过程中甲、乙合作生产5天后，甲厂因设备故障暂停生产，问乙厂至少还需要工作多少天才能
完成任务？
【解答】解：（1）设乙厂每天能生产口罩 万只，则甲厂每天能生产口罩 万只，
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
所以 ，
答：甲厂每天能生产口罩6万只，乙厂每天能生产口罩4万只；
（2）设乙厂还需要工作 天才能完成任务，
由题意得： ，
解得： ，
答：乙厂至少还需要工作12.5天才能完成任务．
巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2021•武侯区模拟）分式方程 的解为
A． B． C． D．
【解答】解：去分母得： ，
去括号得： ，解得： ，
检验：把 代入得： ，
则分式方程的解为 ．
故选： ．
2．（2020•南海区二模）关于 的分式方程 的解为 ，则常数 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：方程两边都乘以 ，得： ，
将 代入，得： ，
解得 ，
故选： ．
3．（2020•盐田区二模）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为
A．3 B．0 C． D．
【解答】解：方程两边都乘 ，
得 ，
原方程有增根，
最简公分母 ，
解得 ，
当 时， ，
故选： ．
4．（2020•成都模拟）下列关于分式方程 的解的情况，判断正确的是
A． B． C． D．无解
【解答】解： ，
，
，
，
，
，经检验， 不是原方程的解，
故选： ．
5．（2020•灵山县模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用 、 两种不同的包装箱进行
包装，单独使用 型包装箱比单独使用 型包装箱可少用6个；已知每个 型包装箱比每个 型包装箱可
多装15本课外书．若设每个 型包装箱可以装书 本，则根据题意列得方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，得： ．
故选： ．
6．（2020•深圳模拟）某药店购进普通一次性医用口罩和 口罩各若干个，已知一只 口罩比一只普
通一次性医用口罩贵4元，用800元购买普通一次性口罩的数量比1800元购买 口罩多100只．设一只
普通一次性医用口罩 元，则根据题意可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解：设一只普通一次性医用口罩 元，则一只 口罩 元，由题意得：
，
故选： ．
二、填空题（共4小题）
7．（2021•邛崃市模拟）关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围是 ．
【解答】解： ，
方程两边同乘以 ，得
，
去括号，得
，
移项及合并同类项，得，
关于 的分式方程 的解为非负数， ，
，
解得， 且 ，
故答案为： 且 ．
8．（2021•郫都区模拟）若 是关于 的分式方程 的解，则实数 的值等于 ．
【解答】解：把 代入方程 得 ，
解得 ．
故答案为4．
9．（2021春•邛崃市期中）若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【解答】解：方程 两边同时乘以 得：
，
整理得： ，
无解，
，即 时，方程无解；
当 时，方程也无解，此时 ，则有 ，
，
．
故答案为：1或 ．
10．（2021•青羊区校级模拟）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
【解答】解：分式方程去分母得： ，
展开得： ，
当 ，即 时，方程无解，不符合题意；
当 ，即 时，
分式方程无解，
，即 ，把 代入得： ，
解得： ，
综上， ．
故答案为：1．
三、解答题（共2小题）
11．（2021春•邛崃市期中）解方程：
（1）解方程： ；
（2）若关于 的方程 有增根，试求 的值．
【解答】解：（1）去分母得： ，
解得： ，
经检验 是增根，分式方程无解；
（2）方程可化为 ，
由题意知 ，
，
故 ．
12．（2021•连云港二模）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，
顺风车行经营的 型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后 型车每辆销售价比去年
增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的 型车数量相同，则今年6月份 型车销售总额将比去
年6月份销售总额增加 ．
， 两种型号车的进货和销售价格表：
型车 型车
进货价格（元 辆） 1100 1400
销售价格（元 辆） 今年的销售价格 2400
（1）求今年6月份 型车每辆销售价多少元；
（2）该车行计划7月份新进一批 型车和 型车共50辆，且 型车的进货数量不超过 型车数量的两倍，
应如何进货才能使这批车获利最多？
【解答】解：（1）设去年6月份 型车每辆销售价 元，那么今年6月份 型车每辆销售 元，
根据题意得 ，解得： ，
经检验， 是方程的解．
时， ．
答：今年6月份 型车每辆销售价2000元．
（2）设今年7月份进 型车 辆，则 型车 辆，获得的总利润为 元，
根据题意得 ，
解得： ，
，
随 的增大而减小，
当 时，可以获得最大利润．
答：进货方案是 型车17辆， 型车33辆．
