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专题 09 分式方程与应用
知识网络
重难突破
知识点一 分式方程的解法
1、分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
特征：分母中含有未知数.
注意：
整式方程与分式方程的异同点：
①都是方程，都含有未知数；
②整式方程中的未知数一定不在分母中出现，而分式方程中的分母中一定含有未知数；
2、解分式方程的一般步骤
（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解整式方程，得到整式方程的解；
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母等于0的解是原分式方程的增根，使最简公分母不等于0的解是原分式方程的根．
典例1
（2020春•泰兴市校级期中）解方程 ．
典例2
（2021•成都）分式方程 的解为
A． B． C． D．
典例3
（2020•营口模拟）若方程 的根为正数，则 的取值范围是
A． B． C． D． 且
知识点二 方程增根、无解问题
1、增根：使原分式方程的分母为零的根叫分式方程的增根.
2、增根产生的原因，解分式方程的第一步是“去分母”，而在分式中当分母的值为0时，分式无意义，所
以在分式方程中，未知数的值不能使分母为 0，即分式方程本身就隐含着分母不为 0的条件，当把分式方
程转化为整式方程后，这个限制条件取消了，未知数允许值的范围扩大了，如果转化后的方程的根恰好是
原方程未知数允许值范围之外的值，那么这个值就是原方程的增根.
注意：分式方程的增根必须满足两个条件：
①增根使最简公分母为0；②增根是分式方程化成的整式方程的根.
3、无解
（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x=1”的形式，即整式方程无解；
（2）整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母等于0，即求得的根为增根.典例1
（2020春•龙泉驿区期中）如果关于 的分式方程 有增根，则 的值为
A． B．3 C．4 D．10
典例2
（2020春•仪征市期中）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
知识点三 分式方程应用题
解分式方程应用题的一般步骤：
（1）审：审清题意，弄清已知量和未知量的关系；
（2）找：找出题目中的等量关系；
（3）设：根据题意设出未知数；
（4）列：列出分式方程；
（5）解：解这个分式方程；
（6）验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际意义；
（7）答：写出答案.
典例1
（2021春•深圳期末）某车间加工1200个零件后采用了新工艺，工效提高了 ，这样加工同样多的零件
少用 ，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工 个零件，则
可列方程为
A． B．
C． D．
典例2
（2021春•福田区校级期中）新型冠状病毒疫情发生后，全社会积极参入疫情防拉工作，某市为了尽快完
成100万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．
（1）求甲、乙两个工厂每天各生产多少万只口罩？
（2）在生产过程中甲、乙合作生产5天后，甲厂因设备故障暂停生产，问乙厂至少还需要工作多少天才能
完成任务？
巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2021•武侯区模拟）分式方程 的解为
A． B． C． D．
2．（2020•南海区二模）关于 的分式方程 的解为 ，则常数 的值为
A． B． C． D．
3．（2020•盐田区二模）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为
A．3 B．0 C． D．
4．（2020•成都模拟）下列关于分式方程 的解的情况，判断正确的是
A． B． C． D．无解
5．（2020•灵山县模拟）某单位向一所希望小学赠送 1080本课外书，现用 、 两种不同的包装箱进行
包装，单独使用 型包装箱比单独使用 型包装箱可少用6个；已知每个 型包装箱比每个 型包装箱可
多装15本课外书．若设每个 型包装箱可以装书 本，则根据题意列得方程为
A． B．
C． D．
6．（2020•深圳模拟）某药店购进普通一次性医用口罩和 口罩各若干个，已知一只 口罩比一只普
通一次性医用口罩贵4元，用800元购买普通一次性口罩的数量比1800元购买 口罩多100只．设一只
普通一次性医用口罩 元，则根据题意可列方程为
A． B．C． D．
二、填空题（共4小题）
7．（2021•邛崃市模拟）关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围是 ．
8．（2021•郫都区模拟）若 是关于 的分式方程 的解，则实数 的值等于 ．
9．（2021春•邛崃市期中）若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
10．（2021•青羊区校级模拟）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
三、解答题（共2小题）
11．（2021春•邛崃市期中）解方程：
（1）解方程： ；
（2）若关于 的方程 有增根，试求 的值．
12．（2021•连云港二模）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，
顺风车行经营的 型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后 型车每辆销售价比去年
增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的 型车数量相同，则今年6月份 型车销售总额将比去
年6月份销售总额增加 ．
， 两种型号车的进货和销售价格表：
型车 型车
进货价格（元 辆） 1100 1400
销售价格（元 辆） 今年的销售价格 2400
（1）求今年6月份 型车每辆销售价多少元；
（2）该车行计划7月份新进一批 型车和 型车共50辆，且 型车的进货数量不超过 型车数量的两倍，
应如何进货才能使这批车获利最多？
