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期末考试B卷压轴题模拟训练（一）
一、填空题
19．已知 ， ，则 ____________
【答案】4
【分析】把原式因式分解，再代入xy及x+y即可求解．
【详解】∵ ， ，
∴x+y=4，xy=
∴ xy（x+y）=1×4=4
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知因式分解的应用．
20．关于x的分式方程 的解是负数，则m的取值范围是_________.
【答案】m＞-1且m≠0
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于m的不
等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．
【详解】解：分式方程去分母得：m=-x-1，即x=-1-m，
根据分式方程解为负数，得到-1-m＜0，
解得m＞-1，
又∵x+1≠0，
∴x≠-1，即-1-m≠-1，
∴m≠0，
∴m＞-1且m≠0．
故答案为：m＞-1且m≠0．
【点睛】本题考查解分式方程，解本题时注意考虑分式的分母不为0这一条件．
21．如图所示已知函数 和 的图像交于点 ，则根据图像可得不等式
的解集是________．【答案】
【分析】先将点P的坐标分别代入两个函数解析式中，即可求出两个一次函数的解析式，然后将把y=4代
入 中，得x=1，即可求出直线 与直线y=4的交点坐标，画出图象即可得出结论．
【详解】解：将点P的坐标分别代入两个函数解析式中，可得
，
解得： ，
∴两个一次函数解析式分别为 和
把y=4代入 中，得x=1
∴直线 与直线y=4的交点坐标为（1,4），如下图所示：由图象可知：点P右侧 ，（1,4）左侧
∴ 的解集为x＞-2
的解集为x＜1
∴ 的解集为
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是求一次函数的解析式、求交点坐标和求不等式的解集，掌握用待定系数法求一次函
数的解析式、联立求交点坐标和根据图象求不等式的解集是解决此题的关键．
22．如图，在 中，点D在边 上，点E在边 上， ，连接 ， ，过点A作
于点F，若 ，则 的长是 _____．
【答案】1
【分析】延长 至点G，使 ，根据等边三角形的性质证明 ，进而结合 的直角
三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：延长 至点G，使 ，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质和 的直角三角形的性质，添
加辅助线并灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
23．如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD为
邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______．【答案】
【分析】证明当D，E，F共线时，△AOF为等腰直角三角形，可得AF= AO，当AO有最小值时，AF
最小，由此可得CO= ， AO= AF= ．
【详解】解：当D，E，F共线时，AF最小，如图所示，
∵AB=AC，AB=DF，
∴AC=DF，
又∵∠FDC=∠ACD=45°，
∴DO=OC，
∴OA=OF，
∵∠AOF=90°，
∴AF= AO，
当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，∵CD=2，
∴CO= ，
∵AO=
∴AF=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，寻找AF最小
时的图形的位置是解题的关键．
二、解答题
24．某公司经营甲、乙两种电器，其中甲种电器每件进价为100元．售价为120元；乙种电器每件进价为
80元，售价为110元．由于受有关条件限制，该公司每月销售这两种电器数量和为100件．
(1)若该公司某月销售甲、乙两种电器的总进价为8600元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种电器各多
少件？
(2)若某月该公司销售这两种电器所能获得的总利润不低于2400元，问甲的销售量至多为多少件？
【答案】(1)这个月该公司销售甲种电器30件，则销售乙种电器70件
(2)甲的销售量至多为60件
【分析】（ 1）设这个月该公司销售甲种电器x件，则销售乙种电器为y件，根据“两种电器数量和为100
件，两种电器的总进价为8600元”列二元一次方程组求解即可；
（2 ）设甲的销售量为m件，则乙的销售量为（100﹣m）件，根据“甲的单件利润×甲的销售量+乙的单件
利润×乙的销售量≥2400”列不等式求解即可．
（1）设这个月该公司销售甲种电器x件，则销售乙种电器为y件，根据题意，得： ，解
得 ，答：这个月该公司销售甲种电器30件，则销售乙种电器70件；
（2）设甲的销售量为m件，则乙的销售量为（100﹣m）件，根据题意，得：（120﹣100）m+（110﹣
80）（100﹣m）≥2400，解得m≤60，答：甲的销售量至多为60件．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系与不等关系，并据此列出二元一次方程组和一元一次不等式．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线 交y轴于点A，交x轴于点 ，过点 的直线
平行于y轴，交直线 于点D，点P是直线 上一动点（异于点D），连接 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)设 ，求 的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当 的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角 ，请直接写出点C的坐标．
【答案】(1)
(2)当 时， ；当 时，
(3) 或 或 或
【分析】（1）将 代入 得到 ；
（2）由两直线交点的求法得到点D的坐标；易得线段 的长度，所以根据三角形的面积公式即可得到结
论；
（3）根据三角形的面积公式列方程求得 ，于是得到点 ，推出 ．第1种情
况，如图2，过点C作 轴于点F根据全等三角形的性质得到 ，于是得到
；第2种情况，如图3根据全等三角形的性质得到，于是得到 ；第3种情况，当点P在点D
下方时，得到 或 ．
【详解】（1）∵直线 交x轴于点 ，
∴ ．∴ ．
∴直线 ；
（2）由 得： ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴
当 时， ；
当 时， ；
（3）当 时， ，
解得 ，
∴点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图2， ，
过点C作 轴于点F，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ；
如图3， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴以点B为直角顶点作等腰直角 ，点C的坐标是 或 ．
当 时， ，可得 ，
同法可得 或 ．
综上所述，满足条件的点C坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
26．等腰直角△ABC，△MAD中，∠BAC=∠DM A=90°，连接BM，CD．且B，M，D三点共线（1）当点D，点M在BC边下方，CD＜BD时，如图①，求证：BM+CD=AM；（提示：延长DB到点N，使
MN=MD，连接AN．）
（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，如图②；当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，
如图③，请直接写出线段BM，CD，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）条件下，点E是AB中点，MF是△AMD的角平分线，连接EF，若EF=2MF=6，则CD=
．
【答案】（1）证明见解析；（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，BM=CD+AM；当点D在AC
边右侧，点M在△ABC内部时，BM=CD+AM；（3）12-6
【分析】（1）延长DB到点N，使MN=MD，由题意可证△AND是等腰直角三角形，可得
∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可证△ABN≌△ACD，可得BN=CD，则结论可得．
（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，：在线段BM上截取MN=DM，由题意可证△AND是等
腰直角三角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可证△ABN≌△ACD，可得BN=CD，即可得BM=CD+AM，
当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，延长DM到N，使MN=DM．由题意可证△AND是等腰直角三
角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可证△ABN≌△ACD，可得BN=CD，即可得CD=BM+AM
（3）由题意可得EF是中位线，分类讨论，代入关系式可求CD的长度．
【详解】解：（1）延长DB到点N，使MN=MD，连接AN,
∵等腰直角△ABC，△MAD,
∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,
∵MN=MD，∠DMA=90°，AM=AM,
∴△AMN≌△AMD,
∴AD= AN，∠NAM=∠MAD=45°,
∴∠NAD=90°,
∵∠NAD=∠BAC=90°,
∴∠NAB=∠CAD，且AN=AD，AB=AC,
∴△ABN≌△ACD,
∴BN=CD,
∵MN=BM+BN,
∴AM=MD=BM+CD,
（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，BM=CD+AM,如图：在线段BM上截取MN=DM,
∵等腰直角△ABC，△MAD,
∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,
∵MN=DM,
∴AM=DM=MN，且∠AMD=90°,
∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°,
∴AN=AD，∠NAD=90°,
∵∠NAD=∠BAC=90°,
∴∠BAN=∠DAC，且AN=AD，AB=AC,
∴△ABN≌△ACD,
∴BN=CD,
∵BM=BN+MN,
∴BM=CD+AM,
当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，CD=BM+AM,
如图：延长DM到N，使MN=DM．
∵等腰直角△ABC，△MAD,
∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,
∵MN=DM,
∴AM=DM=MN，且∠AMD=90°,
∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°,
∴AN=AD，∠NAD=90°,∵∠NAD=∠BAC=90°,
∴∠BAN=∠DAC，且AN=AD，AB=AC,
∴△ABN≌△ACD,
∴BN=CD,
∵BN=BM+MN,
∴CD=BM+AM,
（3）∵MF是△AMD的角平分线，∠DMA=90°，AM=DM,
∴AF=DF=MF且点E是AB中点,
∴BD=2EF=12，
∵EF=2MF=6,
∴MF=3,
∴AF=DF=MF=3,
∴AM=DM=3 ,
当点D，点M在BC边下方，CD＜BD时，AM=BM+CD,
∴CD=3 ﹣（12﹣3 ）=6 ﹣12＜0,
故不存在这样的点D,
当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，BM=CD+AM,
∴CD=BM﹣AM=12﹣6 ,
当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，CD=BM+AM,
∵AB＜DM,
∴不存在这样的点D,
综上所述，CD=12﹣6 ,
故答案为12﹣6 .
【点睛】考查了三角形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线是本题的
关键.
