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2.1.1 认识一元二次方程教学设计
课题 2.1.1认识一元二次方程 单元 2 学科 数学 年级 九
方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，随着数学应用的广泛性，方程的工具作用显
得更加重要。在前面学生已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方
教 材 程的分式方程等等，已经初步地感受了方程的模型作用，并且积累了一些利用方程解决实
分析 际问题的一些经验，解决了一些实际问题。但是，在现实生活中，有关方程的模型并不都
是线性的，另一种方程——即一元二次方程，在生活中同样具有广泛的应用。
通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，
继而产生一元二次方程。学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景感受，一元二次方
核 心 程是重要的数学模型，体会到学习的必要性。将不同形式的一元二次方程统一为一般形
素养 式。学生从数学符号的角度体会、概括出数学模型的简洁和必要。针对“二次”规定 a≠0
的条件，完善一元二次方程的概念，学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确地说
出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程的一元二次方程的条件。
1.理解一元二次方程的概念，会判断一元二次方程.
2.会将一元二次方程化为它的一般形式,并能指出二次项系数、一次项系数、常数项.
学习
3.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中
目标
数量关系的一个有效数学模型.
重点 掌握一元二次方程的概念和一般形式.
难点 经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,根据实际问题列出一元二次方程.教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.什么叫方程？我们学过的方程哪些？ 通过对这两个问
2.什么叫一元一次方程？ 题情境的回顾，
思考回答 加 深 学 生 对
“元”和“次”
的理解，为本节
课 的 学 习 做 铺
垫。同时，便于
与一元一次方程
进行类比，从而
得到一元二次方
程的概念。
讲授新课 问题1：下幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m， 认真分析，尝 引导学生，
宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积 试列出方程 分析三个实例的
为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽 等量关系，设出
度都相同.你能求出这个宽度吗？ 对应的未知数，
列出方程，为归
纳总结一元二次
方程的概念做准
备.
设所求的宽度为x m，那么地毯的长为(8-
2x)m，宽为(5-2x)m，
根据题意，可得方程：
(8-2x)(5-2x)=18
认真分析，尝
问题2：观察下面等式：102＋112＋122 ＝132＋
试列出方程
142，你还能找到其他的五个连续整数，使前三个
数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那
么后面四个数依次可表示为：(x+1)，(x+2)
，(x+3)，(x+4).
根据题意，可得方程：
x2 + (x＋1)2 + (x＋2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2
问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙
上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果
梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少
米？ 认真分析，尝
试列出方程引导学生根
据已有的方程知
识和经验，将上
述三个方程进行
由勾股定理得，滑动前梯子底端距墙6m，设
化简，并整理成
底端滑动 x m，那么滑动后底端距墙(x+6)
一般形式；然后
m，根据题意，可得方程：
让学生对整理后
(8-1)2 + (x＋6)2 =102
的方程进行观察
议一议：
由上面三个问题，我们可以得到三个方程： 与思考，用自己
(8-2x)(5-2x)=18，(8-1)2 + (x＋6)2 =102 ， 的语言描述它们
x2 + (x＋1)2 + (x＋2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 的共同特点；最
思考：上述三个方程有什么共同特点？ 后再组织全班学
归纳：等号两边都是整式，只有一个未知
生进行交流.
数，未知数的最高次数是2，且都可以化成 ax2＋
先动手整理，
bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式.
再举手说一说
你能根据上述三个方程的共同点，给这样的方程
下个定义吗？
一元二次方程的概念：
只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可
以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形
通过对所列三个
式，这样的方程叫做一元二次方程.
组内交流讨
方 程 共 性 的 分
一般形式： 论.
析，抽象出一元
我们把 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)
二 次 方 程 的 概
称为一元二次方程的一般形式.
念.
二次项：ax2 ，一次项：bx；常数项：c
二次项系数：a ，一次项系数：b. 思考回答
问题
明确一元二
特殊形式
次方程的一般形
式.
练一练：将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一 熟悉一元二次
般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数 方程的一般形
及常数项． 式
课堂练习 1.关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0是一元二次方
程的条件是( )
A．a≠0 B．a＝1 这个环节是巩固
C．a≠1 D．a为任意实数 本课知识点，通
如果方程 － xm2－ － ＋ ＝ 是关于 的一元 过设置一组由浅
7 由学生自己独 入深的练习，来
二次方程，那么 的值为
2. m( 3) x 3 0 x
立思考完成， 检测学生的掌握
． ．
m ( )
并找出做的好 情况，在这部分
．－ ．以上都不对
A ±3 B 3
的同学谈谈自 的设计中，主要
．关于 的方程 － ＋ ＝ 是一元二次方
C 3 D
己的思路和见 是发挥学生作为
2
程，则 的取值范围是 ．
3 x a( 1x) x3 0
解。 教学主体的主动
．已知方程 ＋ ＋ ＋ － ＝ ，当 满
a ________ 性，让学生感受
2
足 时，它是一元一次方程；当 满足
4 m( 2x) m( 1x) m 0 m 学习的乐趣和成
时，它是一元二次方程．
_________ m 功的喜悦。
．把方程 ＋ ＝ － 化成一元二次方程
__________
2 2
的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系
5 (x3 2) 4x( 3)
数和常数项．
根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方
程的一般形式
6.
（ ）有一根 长的铁丝，怎样用它围一个面积
.
为 的长方形
1 1m
2
（ ）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有
0.06m ?
人共握手 次有多少人参加这次聚会？
2
10 .
课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？
板书 课题： 2.1.1认识一元二次方程
1.方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未
知数的最高次数是二次的方程，叫做一元二次方
程．
2.判别一元二次方程的“两个方法”：
(1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含
有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.
(2)根据一般形式要把握两点：一是能化成 ax2＋
bx＋c＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都
可以为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的
情况无关．
