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专题一 微重点 5 极值点偏移问题
(分值：30分)
1.(13分)(2024·宿州统考)已知函数f(x)=(x-2)e-x(其中e=2.718 28…为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的单调区间；(5分)
(2)若a，b为两个不相等的实数，且满足aeb-bea=2(eb-ea)，求证：a+b>6.(8分)
2.(17分)已知函数g(x)=ln x-ax2+(2-a)x(a∈R).
(1)求g(x)的单调区间；(7分)
(x +x )
(2)若函数f(x)=g(x)+(a+1)x2-2x，x ，x (0<x <x )是函数f(x)的两个零点，证明：f' 1 2 <0.(10分)
1 2 1 2 2答案精析
1.(1)解 f'(x)=e-x+(x-2)·(-1)e-x=(3-x)e-x，
令f'(x)>0，解得x<3，
令f'(x)<0，解得x>3，
所以f(x)的单调递增区间为(-∞，3)，
单调递减区间为(3，+∞).
(2)证明 将aeb-bea=2(eb-ea)的两边同时除以eaeb，
a b 2 2
得 - = - ，
ea eb ea eb
a-2 b-2
即 = ，
ea eb
所以f(a)=f(b)，
由(1)知f(x)在(-∞，3)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减，
1
又f(2)=0，f(3)= ，
e3
当x趋近于+∞时，f(x)趋近于0，
则当x∈(2，+∞)时，f(x)>0，
设a<b，则2<a<3<b，
令g(x)=f(x)-f(6-x)
x-2 4-x
= - ，
ex e6-x
3-x 3-x
则g'(x)= -
ex e6-x
e6-x-ex
=(3-x) ，
e6
当2<x<3时，6-x>x，
所以e6-x>ex，3-x>0，
所以g'(x)>0，g(x)在(2，3)上单调递增，
又g(3)=f(3)-f(3)=0，
所以当2<x<3时，g(x)<0，
即当2<x<3时，f(x)-f(6-x)<0，
即f(a)-f(6-a)<0，
即f(a)<f(6-a)，又f(a)=f(b)，
所以f(b)<f(6-a)，
又6-a>3，b>3，
f(x)在(3，+∞)上单调递减，
所以b>6-a，即a+b>6.
2.(1)解 函数g(x)=ln x-ax2+(2-a)x的定义域为(0，+∞)，
1
g'(x)= -2ax+2-a
x
(ax-1)(2x+1)
=- ，
x
①当a≤0时，g'(x)>0，则g(x)在(0，+∞)上单调递增；
1
②当a>0时，若0<x< ，
a
1
则g'(x)>0，若x> ，
a
则g'(x)<0，
( 1)
则g(x)在 0， 上单调递增，
a
(1 )
在 ，+∞ 上单调递减.
a
综上，当a≤0时，g(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间；
当a>0时，
( 1)
g(x)的单调递增区间为 0， ，
a
(1 )
单调递减区间为 ，+∞ .
a
(2)证明 因为x ，x (0<x <x )是f(x)=ln x+x2-ax的两个零点，
1 2 1 2
所以ln x
+x2
-ax =0，ln x
+x2
-ax =0，将两式作差可得
1 1 1 2 2 2
ln x -ln x
1 2
a= +(x +x )，
x -x 1 2
1 2
1
又f'(x)= +2x-a，
x
(x +x )
所以f' 1 2
2
2
= +x +x -a
x +x 1 2
1 22 ln x -ln x
1 2
= - ，
x +x x -x
1 2 1 2
(x +x )
1 2
所以要证f' <0，
2
2 ln x -ln x
1 2
只需证 - <0，
x +x x -x
1 2 1 2
2(x -x )
1 2
即证 >ln x -ln x ，
x +x 1 2
1 2
x
( )
2 1-1
x x
2 1
即证 >ln ，
x x
1+1 2
x
2
x
1
令 =t∈(0，1)，
x
2
2(t-1)
即证 >ln t，
t+1
即证2t-2>(1+t)ln t，
令h(t)=(1+t)ln t-2t+2，
1
则h'(t)=ln t+ -1，
t
1
令u(t)=h'(t)=ln t+ -1，
t
1 1 t-1
则u'(t)= - = <0在(0，1)上恒成立，
t t2 t2
∴h'(t)在(0，1)上单调递减，
h'(t)>h'(1)=0，
∴h(t)在(0，1)上单调递增，
则h(t)<h(1)=0，
即(1+t)ln t<2t-2，
x
( )
2 1-1
x x
2 1
所以 >ln 成立，
x x
1+1 2
x
2
(x +x )
即f' 1 2 <0.
2
