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第五章 重点突破训练：分式方程类型题举例
典例体系 （本专题 6 5 题 3 4 页）
考点1：分式方程有增根问题
典例：（2020·广西百色·期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方
程的根．对于分式方程：
（1）若该分式方程有增根，则增根为________．
（2）在（1）的条件下，求出 的值．
【答案】（1） 或 ；（2）-4或6．
【解析】解：（1）当分母值为0时，分式方程有增根，可得：，解得： 或 ，
即增根是： 或 ，
故答案为： 或 ；
（2）解：
①若 时，
②若 时，
．
方法或规律点拨
本题考查分式方程的增根，注意掌握增根的求法即令最简公分母为0以及求有增根的方程中参数的值，应
先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
巩固练习
1．（2020·景泰县第四中学期末）若解方程 时，出现增根，则增根是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【解析】解：方程两边都乘x（x+1），
得2（x+1）=mx，
整理得：（m-2）x=2，
∴x≠0，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x（x+1）=0，
解得x=0或-1，
∵x≠0，
∴增根可能是-1．
故选：C．
2．（2020·辽宁灯塔·期末）已知方程 有增根，则这个增根一定是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】分式方程的最简公分母为 ，
∵分式方程有增根，，
解得 ，
故选：B．
3．（2020·山东昌乐·期末）若解关于 的方程 时产生增根，那么 的值为( )
A．1 B．2 C．0 D．-1
【答案】A
【解析】将原方程两边都乘（x-2）得: ,
整理得 ，
∵方程有增根,
∴最简公分母为0,即增根是x=2;
把x=2代入整式方程,得m=1.
故答案为:A.
4．（2020·湖南鹤城·期末）若关于 的分式方程 有增根，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】去分母得：m=x-1-2x+6，
由分式方程有增根，得到x-3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=2，
故选：A．
6．（2020·河北景县·初二期末）若关于x的方程 =0有增根，则m的值是
A．3 B．2 C．1 D．－1
【答案】B
【解析】若关于x的方程 =0有增根，则x=1为增根．
把方程去分母可得m-1-x=0，把x=1代入可得m-1-1=0，解得m=2.
7．（2020·广西平桂·期末）如果方程 无解，那么a的值为 （ ）．
A．±1 B．－1 C．0 D．1
【答案】A
【解析】对原方程进行化简： ，，
若此方程无解：
（1）转换成整式方程， 此方程无解，
∴ 即 时，原方程无解；
（2） 此方程的解为 是原方程的增根，此时 则原方程也无解；
故答案选A．
8．（2020·四川青白江·初二期末）关于x的分式方程 有增根，则增根为（ ）
A．x=1 B．x=－1 C．x=3 D．x=－3
【答案】A
【解析】当x＝1时，分母为零，没有意义，所以是增根．故选A．
9．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部月考）已知关于x的方程 会产生增根，则k的值为
___．
【答案】6
【解析】分式方程去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程得： ．
故答案为：6．
10．（2020·江苏丹阳·期末）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为_______．
【答案】1
【解析】解：方程两边都乘 ，得
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得 ，
当 时，
故m的值是1，
故答案为1
11．（2020·河南遂平·期末）若分式方程 有增根，则 的值为________．
【答案】-1
【解析】解：分式方程去分母得：1+3（x-2）=-a，由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，
代入整式方程得：-a=1，
解得：a=-1．
故答案为：-1．
考点2：分式方程无解问题
典例：（2020·浙江东阳·初一期末）若关于x的分式方程 无解，则a的值为_____．
【答案】﹣1或0
【解析】解：去分母，得ax+a＝2a+2，
整理，得ax＝a+2，
当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝ ．
∵当x＝﹣1时，分式方程无解，
∴ =﹣1，解得：a=﹣1．
故答案为：﹣1或0．
方法或规律点拨
本题考查了分式方程无解的情况，解题的关键是既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解
的情形．
巩固练习
1．（2020·福建宁化·期末）若关于x的方程 无解，则m的值是（ ）
A．m=3 B． C． 或3 D． 或1
【答案】D
【解析】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+2，
整理得：（m﹣1）x=1，
当m﹣1=0，即m=1时，方程无解；
当m﹣1≠0时，
x﹣2=0，即x=2时，方程无解，
此时 =2，即 ，
故选D．
2．（2020·贵州织金·初二期末）已知：关于x的分式方程 无解，则m的值为（ ）A．-4或6 B．-4或1 C．6或1 D．-4或6或1
【答案】D
【解析】解：两边都乘以 (x+2)(x-2),得
2(x+2)+mx=3(x-2)
当m=1时，2(x+2)+mx=3(x-2)无解，分式方程无解；
当x=2时，2(x+2)+mx=3(x-2)
8+2m=0
m= -4
当x=-2时，2(x+2)+mx=3(x-2)
0-2m=-12
m=6
故选D.
3．（2020·福建南平·初三二模）如果关于x的方程 无解，则m的值是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．–2
【答案】A
【解析】解：方程去分母得：m+1﹣x=0，
解得x=m+1，
当分式方程分母为0，即x=3时，方程无解，
则m+1=3，
解得m=2.
故选A.
4．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）若关于x的方程 无解，则m的值
为__．
【答案】-1或5或
【解析】去分母得： ，
可得： ，
当 时，一元一次方程无解，
此时 ，
当 时，
则 ，解得： 或 .
故答案为： 或 或 .
5．（2019·河南太康·期末）若关于x的分式方程 无解，则m＝_____．
【答案】6，10
【解析】解：∵关于x的分式方程 无解，
∴x= ，
原方程去分母得：m（x+1）-5=（2x+1）（m-3）
解得：x= ，m=6时，方程无解．
或 是方程无解，此时m=10．
故答案为6，10．
6．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）当m=_________________时，方程
无解．
【答案】-3
【解析】解：分式方程去分母得：m＝2（x −1）－3，
由分式方程无解，得到x－1= 0，即x＝1，
代入整式方程得：m＝-3．
故答案为：-3．
7．（2020·山东青岛·初二期末）小颖在解分式方程 +2时，△处被污染看不清，但正确答
案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是_____．
【答案】1．
【解析】解：去分母得：x﹣2＝△+2（x﹣3），
由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：△＝1．
故答案为：1．
8．（2019·张掖市育才中学期末）已知关于x的分式方程 无解，则k的值是__________．
【答案】1【解析】解：分式方程去分母得：x-2=k+2（x-3），
即x=4-k，
由分式方程无解得到x-3=0，即x=3，
代入整式方程得：3=4-k，
解得：k=1，
故答案为：1．
9．（2020·湖北黄石·初二期末）关于x的分式方程 无解，则m的值为_______．
【答案】1或6或
【解析】解：
当 时，显然方程无解，
又原方程的增根为：
当 时，
当 时，
综上当 或 或 时，原方程无解．
故答案为：1或6或 ．
考点3：常规题型--行程问题
典例：（2020·广东荔湾·初二期末）列方程解应用题：
初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出
发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队
伍提前15分钟到达基地，问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【答案】（1）大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；（2）张老师追上大巴的
地点到基地的路程有30公里．
【解析】（1）设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，根据题意得： ，
解得：x=40，
经检验：x=40是原方程的解，
1.5x=1.5×40=60．
答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；
（2）设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：
，
解得：y=30，
答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
方法或规律点拨
本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系
列出方程．
巩固练习
1．（2020·山西朔州·初二期末）自2019年11月20日零时起，大西高铁车站开始试点电子客票业务，旅客
购票乘车更加便捷．大西高铁客运专线是国家《中长期铁路网规划》中的重要组成部分，它的建成将意味
着今后山西人去西安旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列
车．已知高铁线路中从A地到某市的高铁行驶路程是400km，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3
倍，若高铁的平均速度（km/h）是普通列车平均速度（km/h）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通
列车所需时间缩短3.6h，求普通列车和高铁的平均速度．
【答案】普通列车的平均速度是100km/h，高铁的平均速度是250km/h．
【解析】解：普通列车的行驶路程为：400×1.3=520（km）．
设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为2.5km/h，则根据题意得：
，
解得x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．
则高铁的平均速度是100×2.5=250（km/h）．
答：普通列车的平均速度是100km/h，高铁的平均速度是250km/h．
2．（2020·江苏泰州·中考真题）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可
选择，路线 为全程 的普通道路，路线 包含快速通道，全程 ，走路线 比走路线 平均速
度提高 ，时间节省 ，求走路线 的平均速度．
【答案】75km/h
【解析】解：设走线路A的平均速度为 ，则线路B的速度为 ，则，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解；
∴走路线 的平均速度为： （km/h）；
3．（2019·景泰县第四中学初三一模）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强
对外贸易的竞争力，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速
度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度．
【答案】70 km/h
【解析】设汽车原来的平均速度是x km/h，根据题意得：
，解得：x=70．
经检验：x=70是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度70km/h．
4．（2020·江苏南京·初二期末）某地新修一条公路，甲、乙两个工程队承包此项工程，如果甲工程队单独
施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队先共同施
工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．原来规定修好这条路需多少时间？
【答案】原来规定修好这条路需12个月．
【解析】解：设原来规定修好这条路需x个月．
根据题意，得： ＋ =1
解得：x=12
经检验，x=12是原方程的解，
答：原来规定修好这条路需12个月．
5．（2019·浙江嘉兴·初一期末）如图1是某机场的平地电梯，电梯AB的长度为108米，如图2所示，若
两人不乘电梯在地面匀速行走，小明每分钟的路程是小王的1.5倍，且2分钟后，小明比小王多行走36米．
（1）求两人在地面上每分钟各行走多少米？
（2）若两人在平地电梯上行走，电梯向前行驶，两人也同时从A出发，以他们原来的速度匀速在电梯上
行走，当小明到达B处时，小王还剩24米．①求平地电梯每分钟行驶多少米？
②当小明到达B处时，发现有一袋行李忘在A处，于是马上从地面返回A处，拿了行李后立即乘平地电梯
(同时行走)去B处．求小王到达B处后在原地等待小明的时间．
【答案】（1）小明在地面上每分钟行走54米，小王在地面上每分钟行走36米；（2）①平地电梯每分钟
行驶27米；②小王到达B处后在原地等待小明的时间为 分钟．
【解析】（1）设小明在地面上每分钟行走x米，小王在地面上每分钟行走y米，依题意有
，
解得 ．
答：小明在地面上每分钟行走54米，小王在地面上每分钟行走36米；
（2）①设平地电梯每分钟行驶a米，依题意有
，
解得：a=27．
经检验，a=27是原方程的解，即平地电梯每分钟行驶27米；
②设小王从A到B的时间为m分钟，则
(27+36)m=108，
解得：m ，
设小明从A到B的时间为n分钟，从B到A的时间为t分钟，则
(54+27)n=108，
解得：n ，
54t=108，
解得：t=2，
2 2 (分钟)．
答：小王到达B处后在原地等待小明的时间为 分钟．
6．（2020·湖南怀化·初三其他）李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘
带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师
骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、
取手机、启动电瓶车等共用4分钟．
（1）求李老师步行的平均速度；（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．
【答案】（1）李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；（2）李老师能按时
上班．
【解析】解：（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，
由题意得： ，
解得：x=76，
经检验，x=76是原分式方程的解，且符合题意，
则5x=76×5=380，
答：李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；
（2）由（1）得，李老师走回家需要的时间为： =12.5（分钟），
骑车走到学校的时间为： =5，
则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4=21.5＜23，
答：李老师能按时上班．
考点4：常规题型--工程问题
典例：（2020·湖北阳新·初三其他）某工程队（有甲、乙两组）承包一条路段的修建工程，要求在规定时
间内完成．
（1）已知甲组单独完成这项工作所需时间比规定时间多32天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时
间多12，如果甲、乙两组先合作20天，剩下的由甲组单独做，则要误期2天完成，那么规定时间是多少
天？
（2）在实际工作中，甲、乙两组合做这项工作的 后，工程队又承包了其他路段的工程，需抽调一组过
去，从按时完成任务的角度考虑，你认为留下哪一组最好？请说明理由．
【答案】（1）28天；（2）留下乙组最好．
【解析】解：（1）设规定的时间是 天，根据题意得:
，
解得 ，经检验 是原方程的根，
答：规定的时间是28天；
（2）设甲、乙两组合作完成这项工作的 用了 天，根据题意得：
，
解得： ，若甲组单独做剩下的工程所需时间为 （天），
∵ ，
∴甲组单独做剩下的工程不能在规定的时间内完成，
若乙组单独做剩下的工程所需时间为 （天）
∵ ，
∴乙组单独做剩下的工程能在规定的时间内完成，
∴留下乙组最好.
方法或规律点拨
此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键．路程问题一般用到路程=时间×速度．
巩固练习
1．（2019·广西玉林·期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改
造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数
的1.5倍．如果由甲、乙先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定天数是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民用
水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙合做来完成，则该工程施工费用是多少？
【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）该工程的施工费用为153000元
【解析】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
，
解得 ，
经检验 是方程的解，
答：这项工程的规定时间是30天；
（2）该工程由甲、乙合做完成，所需时间为；
(天），
则该工程的施工费用是：18×（5500+3000）=153000（元），
答：该工程的施工费用为153000元．
2．（2020·山东昌乐·期末）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．
该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．
5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?
【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．
【解析】(1)设这项工程的规定时间是 天，则甲队单独施工需要 天完工，乙队单独施工需要 天完工，
依题意，得: ．
解得: ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答:这项工程的规定时间是30天．
(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，
（天），
答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．
3．（2020·黑龙江甘南·初二期末）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造，已知这项
工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20
天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合作完成这项工程所需的天数．
【答案】（1）60 （2）24
【解析】解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，
根据题意得：
解之得：x=60，
经检验：x=60是原方程的解．
所以乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．
（2）设两队合做完成这项工程所需的天数为y天，
根据题意得：( )y=1，
解之得：y=24，
所以两队合做完成这项工程所需的天数为24天．
4．（2020·四川青羊·石室中学期中）在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完
成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2:3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下
的工程再由乙队做15天完成.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m天，乙队共做了n天完成.已知甲队每天的施工费为15万元，
乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数
之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？【答案】（1）甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）甲、乙两队各工作20，60天，完成此
项工程总费用最少，最少费用是780万元.
【解析】
（1）设甲、乙两队单独完成这取工程各需2x，3x天，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
∴ ， ，
答：甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；
（2）由题意得： ，
令施工总费用为w万元，则 ．
∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时，完成此项工程总费用最少，此时 ， 元，
答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.
5．（2020·陕西西安·初二期末）甲、乙两个筑路队共同承担一段一级路的施工任务，甲队单独施工完成此
项任务比乙队单独施工完成此项任务多用15天．且甲队单独施工60天和乙队单独施工40天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
（2）若甲、乙两队共同工作了4天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程
进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至
少再单独施工多少天？
【答案】（1）甲队单独完成此项任务需45天，乙队单独完成此项任务需30天；（2）4天
【解析】解：（1）设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需（x+15）天
根据题意得
经检验x＝30是原方程的解，则x+15＝45（天）
答：甲队单独完成此项任务需45天，乙队单独完成此项任务需30天．
（2）解：设甲队再单独施工y天，依题意，得 ，
解得y≥4．
答：甲队至少再单独施工4天．
考点5：分式方程+代数计算
典例：3．（2020·湖南雨花·其他）在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护
口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的
生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．
（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？
（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超
过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了
一番．再满负荷生产13天能否完成任务？
【答案】（1）甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；（2）至少应安排乙
生产线生产32天；（3）再满负荷生产13天能完成任务．
【解析】解：（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，依题意有
﹣ ＝2，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
2x＝2×20＝40，
故甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；
（2）设安排乙生产线生产y天，依题意有
0.5y+1.2× ≤40，
解得y≥32．
故至少应安排乙生产线生产32天；
（3）（40+20）×3+[40×（1+50%）+20×2]×13
＝180+1300
＝1480（万个），
1440万个＜1480万个，
故再满负荷生产13天能完成任务．
方法或规律点拨
本题考查了分式方程和一元一次不等式、代数计算的应用，根据题意列出分式方程和不等式是解答本题的
关键．
巩固练习
1．（2021·浙江长兴·开学考试）某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批
同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
(1)求文化官第一批购进书包的单价是多少？
(2)商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？
【答案】（1）第一批购进书包的单价为80元（2）商店共盈利1350元
【解析】解：(1) 设第一批购进书包的单价为x元.
依题意,得 ,
整理,得20(x+4)=21x,
解得x=80.
检验：当x=80时，x(x+4)≠0∴x=80是原分式方程的解.
答:第一批购进书包的单价为80元.
(2) =300+1050=1350
答:商店共盈利1350元.
2．（2020·山东青州·期中）某服装店用 6000 元购进一批衬衫，以 60 元/件的价格出售，很快售完，然后
又用 13500元购进同款衬衫，购进数量是第一次的 2 倍，购进的单价比上一次每件多 5 元，服装店 仍
按原售价 60 元/件出售，并且全部售完.
（1）该服装店第一次购进衬衫多少件？
（2）将该服装店两次购进衬衫看作一笔生意，那么这笔生意是盈利还是亏损？求出盈利（或 亏损）多
少元？
【答案】（1）该服装店第一次购进衬衫 150 件.（2）这笔生意共盈利 7500 元.
【解析】解：（1）设该服装店第一次购进衬衫x件．由题意得：
解得：x＝150，经检验：x＝150 是原方程的解．
答：该服装店第一次购进衬衫150 件．
（2）第一次购进的单价为 6000÷150＝40（元/件）
第二次的购进数量为：150×2＝300（件）
第二次购进的单价为：40＋5＝45（元/件）
这笔生意的利润为：（60－40）×150＋（60－45）×300＝7500（元）
答：这笔生意共盈利 7500 元．
3．（2020·广东初三二模）某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了10 350元，乙种电
器共用了9 600元，甲种电器的件数是乙种电器的1.5倍，甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少
90元．
（1）甲、乙两种电器各购进多少件？
（2）商场购进两种电器后，按进价提高40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电器商场共获利多少元？
【答案】（1）甲购进45件，乙购进30件；（2）7980元
【解析】解：（1）设乙种电器购进 件，则甲种电器购进 件 ,
依题意得 ，
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解，
答：甲种电器购进45件，乙种电器购进30件．
（2）售完这批电器商场共获利（10350+9600）×40%=7980元.
答：售完这批电器商场共获利7980元.
4．（2019·重庆梁平·初二期末）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千
克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了
10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果
不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元；
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元.
【答案】（1）6元；（2）盈利388元.
【解析】解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得： ，解得：x=6．
经检验，x=6是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
（2）第一次购水果1200÷6=200（千克），第二次购水果200+20=220（千克），
第一次盈利为200×（8﹣6）=400（元），
第二次盈利为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）=﹣12（元），
∴两次共赚钱400﹣12=388（元）．
答：该老板两次卖水果总体上是盈利了，共赚了388元．
5．（2020·山东长清·初三二模）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲乙两种型号的机器人用来
进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分10kg，甲型机器人分类800千克垃圾所用的时间与乙
型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等．
（1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？
（2）现在两种机器人共同分类500kg垃圾，工作2小时后，甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退
出后，乙型机器人还需工作多长时间才能完成？
【答案】（1）甲型机器人每小时分类40kg垃圾．乙型机器人每小时分类30kg垃圾；（2）甲型机器人退
出后乙型机器人还需要工作12小时．
【解析】解：（1）设甲型机器人每小时分类xkg垃圾．则乙型机器人每小时分类（x﹣10）kg垃圾，依题意，得： ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的根，且符合题意，
∴x﹣10＝40﹣10＝30．
答：甲型机器人每小时分类40kg垃圾．乙型机器人每小时分类30kg垃圾．
（2）[500﹣（40+30）×2]÷30＝12（小时）．
答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作12小时．
6．（2020·江苏海州·初二期末）某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并
按该书定价20元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书批发价比第一次提高了25％，
他用1800元所购该书数量比第一次多20本，又按定价售出全部图书．
(1)求该书原来每本的批发价；
(2)该老板这两次售书一共赚了多少钱?
【答案】（1）12；
（2）1400.
【解析】解：（1）设该书原来每本的批发价为x元，由题意得：
解得：x=12，
经检验：x=12是原分式方程的解，
答：该书原来每本的批发价为12元；
（2）（1200÷12）×（20-12）+（1200÷12+20）×[20-12×（1+25％）]
=100×8+120×5
=1400（元），
答：该老板这两次售书一共赚了1400元．
7．（2020·浙江杭州·初一期末）商店常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设甲种糖的单
价为a元/千克，乙种糖的单价为b元/千克（a≠b），则m千克甲种糖和n千克乙种糖混合而成的什锦糖单
价为 元/千克．
（1）当a＝25，b＝30时，求20千克的甲种糖和30千克的乙种糖混合而成的什锦糖单价．
（2）在（1）的基础上，要把什锦糖单价降低2元，则需减少乙种糖多少千克？
（3）现有A、B两种混合方案，A方案是由x千克甲种糖和x千克乙种糖混合而成，B方案是由y元甲种糖
和y元乙种糖混合而成，你认为哪一种方案的单价低？请说明理由．
【答案】（1）28元/千克；（2）需减少乙种糖25千克；（3）混合方案B的单价低，理由见解析
【解析】解：（1）当a＝25，b＝30，m＝20，n＝30时， ＝ ＝28．答：当a＝25，b＝30时，用20千克的甲种糖和30千克的乙种糖混合而成的什锦糖单价为28元/千克．
（2）设需减少乙种糖z千克，
依题意，得： ＝28﹣2，
解得：z＝25，
经检验，z＝25是原方程的解，且符合题意．
答：需减少乙种糖25千克．
（3）混合方案B的单价低，理由如下：
混合方案A的单价＝ ＝ ，混合方案B的单价＝ ＝ ．
∵ ﹣ ＝ ＝ ＞0，
∴混合方案B的单价低．
8．（2020·安徽临泉·期末）节能环保的油电混合动力汽车，既可用油做动力行驶，也可用电做动力行驶，
某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力
行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元.
(1)求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？
(2)甲、乙两地的距离是多少千米？
【答案】(1)汽车行驶中每千米用电费用是0.3元；(2)甲、乙两地的距离是100千米.
【解析】解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x+0.5)元，
根据题意可得： ＝ ，
解得：x＝0.3，
经检验得：x＝0.3是原方程的解，
答：汽车行驶中每千米用电费用是0.3元；
(2)甲、乙两地的距离是：30÷0.3＝100(千米).
考点6：分式方程+方程（组）
典例：（2020·甘肃平川区四中初二期末）为迎接省“义务教育均衡发展验收”，某广告公司承担了制作宣
传牌任务，安排甲、乙两名工人制作，由于乙工人采用了新式工具，其工作效率比甲工人提高了20％，同
样制作30个宣传牌，乙工人比甲工人节省了一天时间:
(1)求甲乙两名工人每天各制作多少个宣传牌?
(2)现在需要这两名工人合作完成44个宣传牌制作在务，应如何分配，才能让两名工人同时完成任务?
【答案】(1)甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个；(2)给甲分配制作20个，乙制作24个.
【解析】解：(1)设甲工人每天制作x个宣传牌，则乙工人每天制(1+20%)x=1.2x个，由题意得解得x=5
经检验x=5是原方程的解且符合题意
∴1.2x=6
答:甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个.
(2) 设甲完成a个宣传牌，则乙完成（44-a）个宣传牌，
由题意得： ，
解得：a=20，
44-a=24，
答：给甲分配制作20个，乙制作24个 ，才能让两名工人同时完成任务．
故答案为(1)甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个；(2)给甲分配制作20个，乙制作24个.
方法或规律点拨
本题考查分式方程的实际运用、一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.
巩固练习
1．（2020·福建省福州延安中学期中）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙
品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与
用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
(1)求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
(2)若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙
品牌消毒剂？
【答案】（1）甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）购买了20瓶乙
品牌消毒剂
【解析】（1）解：设甲品牌每瓶x元，则乙品牌每瓶3x-50元，
根据题意得： ，
解得：x=30，
则3x-50=3×30-50=40，
则甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元，乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；
（2）设购买了乙品牌a瓶，则购买了甲品牌40-a瓶，
根据题意得： ，
解得：a=20，
则购买了20瓶乙品牌消毒剂.
2．（2020·贵州织金·初二期末）小明准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本
子的单价比某种笔的单价少 元，且用 元买这种本子的数量与用 元买这种笔的数量相同．（1）求这种笔和本子的单价各是多少？
（2）小明准备用自己的 元压岁钱购买这种笔和本子，计划 元刚好用完，并且笔和本子都买，请列
出所有购买方案．
【答案】（1）这种笔的单价为 元，本子的单价为 元；（2）有三种方案：方案一：购买这种笔 支，
本子 本；方案二：购买这种笔 支，本子 本，方案三:购买这种笔 支，本子 本.
【解析】（1）设这种笔的单价为 元，则本子单价为 元，由题意，
得 ，
解得: ，
经检验: 是原分式方程的解，
则 ，
答:这种笔的单价为 元，本子的单价为 元；
（2）设可购买这种笔 只和本子 本，由题意，
得 ，
整理得 ，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=9，②n=10时，m=6，③n=15，m=3；
∴有三种方案：
①购买这种笔9支，购买本子5本；
②购买这种笔6支，购买本子10本；
③购买这种笔3支，购买本子15本．
3．（2020·四川锦江·学业考试）今年5月以来，四川多地松绑政策，点亮地摊经济．一夜市摊贩购买了
两种布偶玩具，在夜市贩卖．已知每件 布偶比 布偶便宜2元，购买一定数量的布偶 所用资金
为3000元，购买相同数量的布偶 所用资金为3300元．
（1）求 两种布偶的单价分别是多少元？
（2）该摊贩计划将两种布偶混在一起销售，售价均定为每件30元，销售一半后，将售价下降 促销．
要使所有布偶销售完后盈利1800元，求 的值．
【答案】（1）A种布偶的单价是20元，B种布偶的单价是22元；（2）m＝20．
【解析】（1）设A种布偶的单价是x元，则B种布偶的单价是（x＋2）元，
由题意得， ，
解得，x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，∴x＋2＝22，
答：A种布偶的单价是20元，B种布偶的单价是22元；
（2）购买布偶A的件数＝ ＝150＝购买布偶B的件数．
由题意得，30×150＋30（1−m%）×150−（3000＋3300）＝1800，
整理得，1−m%＝ ，
解得m＝20．
故所求m的值为20．
4．（2020·河南初二期末）某班举行演讲比赛，准备购买毛笔和笔记本作为奖品．在商场上了解到要购买
的笔记本的单价比毛笔的单价少4元，且用30元买这种笔记本的数量与用50元买这种毛笔的数量相同
（1）求这种毛笔和笔记本的单价；
（2）该班计划用100元购买这种毛笔和笔记本，毛笔和笔记本都买，且100元刚好用完，请求出所有购买
方案．
【答案】（1）这种毛笔每枝10元，本子每本6元；（2）有三种方案，详见解析．
【解析】解：（1）设这种毛笔每枝x元，则本子每本为（x﹣4）元，由题意得：
＝ ，解得：x＝10，
经检验：x＝10是分式方程的解，则x﹣4＝6．
答：这种毛笔每枝10元，本子每本6元；
（2）设恰好用完100元，可购买这种毛笔m支和购买本子n本，
由题意得：10m+6n＝100，整理得：m＝10﹣ n，
∵m、n都是正整数，
∴n＝5时，m＝7；n＝10时，m＝4；n＝15，m＝1；
∴有三种方案：①购买这种毛笔7支，购买本子5本；
②购买这种毛笔4支，购买本子10本；
③购买这种毛笔1支，购买本子15本．
5．（2020·四川阿坝·初二期末）为响应“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2
期扩建工程一项地基基础加固处理工程由 两个工程公司承担建设，已知 工程公司单独建设完成此项
工程需要180天， 工程公司单独施工45天后， 工程公司参与合作，两个工程公司又共同施工54天后
完成了此项工程．
（1） 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？
（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划分成两部分，要求两个工程公司同
时开工， 工程公司建设其中一部分用了 天完成， 工程公司建设另一部分用了 天完成，其中均为正整数，且 ， ，那么 两个工程公司各施工建设了多少天？
【答案】（1） 工程公司单独建设完成此项工程需要120天；（2）45天，90天
【解析】（1）设 工程公司单独建设完成此项工程需要 天，
根据题意得 ，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，所以 工程公司单独建设完成此项工程需要120天.
（2）根据题意得 ，
整理得 .
因为 ， ，所以 ，
解得 .
因为 为正整数，所以 或44或45.
又因为 为正整数，所以 ， ．
6．（2019·广东郁南·初二期末）为响应稳书记“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不
同足球，购实甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种是球数量是购类乙种足球
数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，购买的足球能够配备多少个班级?
（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为
2：3，求这学校购买这两种足球各多少个?
【答案】（1）甲种足球需50元，乙种足球需70元；（2）20个班级；（3）甲种足球40个，乙种足球60
个．
【解析】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，
可得：
解得：x=50
经检验x=50是原方程的解且符合题意
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；
（2）由（1）可知该校购买甲种足球 = =40个，购买乙种足球20个，
∵每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，
答：购买的足球能够配备20个班级；（3）设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，根据题意得：
2x×50+3x×70=3100
解得：x=20
∴2x=40,3x=60
答：这学校购买甲种足球40个，乙种足球60个．
7．（2020·浙江慈溪·初一期末）为创建省文明卫生城市，某街道将一公园进行绿化改造．计划种植甲、乙
两种花木，甲种花木每棵进价800元，乙种花木每棵进价3000元，共需107万元；每种植一棵甲种花木需
人工费30元，每种植一棵乙种花木需人工费80元，共需人工费32000元．
（1）求计划种植甲、乙两种花木各多少棵？
（2）如果承包植树的老板安排28人同时种植这两种花木，每人每天能种植甲种花木20棵或乙种花木5棵，
应分别安排多少人种植甲种花木和乙种花木，才能确保同时完成各自的任务？
【答案】（1）计划种植甲种花木400棵，乙种花木250棵；（2）应安排种植甲种花木8人和乙种花木的
20人．
【解析】（1）解：设计划种植甲种花木x棵，乙种花木y棵，则
由题意得
解得
答：计划种植甲种花木400棵，乙种花木250棵．
（2）解：设安排种植甲种花木的a人，则种植乙花木的(28-a)人，则
由题意得
解得a=8
经检验，a=8是所列方程的根，且符合题意
∴28-a=20(人)．
答：应安排种植甲种花木8人和乙种花木的20人．
8．（2020·浙江嘉兴·初一期末）某商场经销A，B两款商品，若买20件A商品和10件B商品用了360元；
买30件A商品和5件B商品用了500元．
（1）求A、B两款商品的单价；
（2）若对A、B两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640元购买A商品的数量比用224元购买B
商品的数量少20件，求对A、B两款商品进行了几折销售？
（3）若对A商品进行5折销售，B商品进行8折销售，某顾客同时购买A、B两种商品若干件，正好用完
49.6元，问该顾客同时购买A、B两款商品各几件？
【答案】（1）A商品的单价是16元，B商品的单价是4元；（2）8折；（3）顾客购买A商品1件，B商
品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件
【解析】解：（1）设A商品单价为x元，B商品单价为y元.根据题意，得：
解得
所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.
（2）设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，则
解得a=0.8
经检验，a=0.8为原方程的解且符合题意
所以A、B两款商品进行了8折销售
（3）设顾客购买A商品m件，B商品n件.则
∵m、n都为正整数
∴①m=1,n=13
②m=3,n=8
③m=5,n=3
所以顾客购买A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件.
9．（2020·河北怀安·初二期末）某火车站北广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花
木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵.
（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安
排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
【答案】（1）A 4200棵，B 2400棵；（2）A 14人，B 12人.
【解析】解：（1）设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x-600）棵，由题意得：
x+2x-600=6600，
解得：x=2400，
2x-600=4200，
答：B花木数量为2400棵，则A花木数量是4200棵；
（2）设安排a人种植A花木，由题意得：
，
解得：a=14，
经检验：a=14是原分式方程的解，
26-a=26-14=12，答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．
10．（2020·内蒙古临河·初二期末）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球
的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几
种？
【答案】详见解析
【解析】（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：
，
解得：x=60，
经检验：x=60是原分式方程的解，
则x+40=100，
答：篮球和足球的单价各是100元，60元；
（2）设恰好用完1000元，可购买篮球m个和购买足球n个，
由题意得：100m+60n=1000，
整理得：m=10- n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；
∴有三种方案：
①购买篮球7个，购买足球5个；
②购买篮球4个，购买足球10个；
③购买篮球1个，购买足球15个．
考点7：分式方程+不等式（组）
典例：（2020·广西百色·期末）某单位为美化环境，计划对面积为 平方米的区域进行绿化，现安排甲、
乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 倍，并且在独
立完成面积为 平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用 天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为 元，付给乙队的费用为 元，要使这次的绿化总费用
不超过 元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】（1）乙队每天绿化面积为40平方米，甲队为60平方米；（2）至少安排甲队工作 天．
【解析】解：（1）设乙队每天绿化面积为 平方米，甲队为 平方米，于是得：解得：
经检验， 是原方程的解， ，
答：甲、乙两队每天绿化的面积分别是 平方米、 平方米；
（2）设至少安排甲队工作 天，
于是得：
解得：
答：至少安排甲队工作 天．
方法或规律点拨
本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程以
及根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
巩固练习
1．（2020·广东三模）某儿童品牌专卖店购进了A、B两种童装，其中A种童装的进价比B童装的进价每
个多10元，经调查：用1000元购进A种童装的数量与用800元购进B童装的数量相同．
（1）求A、B两种童装的进价分别是每个多少元？
（2）该专卖店共购进了A、B两种童装共100套，若该店将每个A种童装定价为70元出售，每个B种童
装定价为55元出售，且全部售出后所获得利润不少于1750元，则专卖店至少购进A种童装多少套？
【答案】（1）50元；40元 （2）50套
【解析】（1）解：设A种童装的进价是x元/个，则B种童装的进价是 元/个，
由题意可列方程，
解得，
经检验： 是原分式方程的根．
∴
答：A、B两种童装的进价分别是每套50元和40元．
（2）解：设购进A种童装m套，由题可知，
解得，
又∵m为正整数
∴m的最小值为：50．
答：专卖店至少购进A种童装50套．
2．（2020·辽宁灯塔·期末）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗
让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲
种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时
降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买
多少棵乙种树苗？
【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙
种树苗．
【解析】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，
依题意有 ，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
x+10=30+10=40，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11 ，
∵y为整数，
∴y最大为11，
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
3．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）中秋节前夕，某商家预测某种水果能够畅销，就用6000元购进了一批这
种水果，上市后销售非常好，商家又用14000元购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，
但每千克进价多了5元．
（1）该商家两批共购进这种水果多少千克？
（2）由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能售卖．该商家将两批水果按同一价格全部销
售完毕后获利不低于8000元，求每千克这种水果的售价至少是多少元？
【答案】（1）第一批购进600千克；（2）每千克这种水果售价至少为50元．
【解析】（1）解：设第一批购进x千克，
，x=200，
经检验x=200是原方程的解，
2x=400，200+400=600（千克），
答：第一批购进600千克；
（2）设每千克的售价为a元，
，
，
答：每千克这种水果售价至少为50元．4．（2020·辽宁龙城·一模）某单位在疫情期间用 元购进 两种口罩 个，购买 种口罩与购
买 种口罩的费用相同，且 种口罩的单价是 种口罩单价的 倍.
求 两种口罩的单价各是多少元？
若计划用不超过 元的资金再次购进 两种口罩共 个，已知 两种口罩的进价不变，求
种口罩最多能购买多少个？
【答案】（1）A口罩单价为3元/个，B口罩单价为2.5元/个；（2）A种口罩最多能购进1000个．
【解析】解：（1）设B口罩的单价为x元/个，则A口罩单价为1.2x元/个，
根据题意得：
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，
则1.2x＝3，
答：A口罩单价为3元/个，B口罩单价为2.5元/个；
（2）设购进A口罩m个，则购进B口罩（2600−m）个，
依题意，得：3m＋2.5（2600−m）≤7000，
解得：m≤1000，
答：A种口罩最多能购进1000个．
5．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）安庆外国语为创建书香校园，去年购进一批图书，经了解，科
普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．
（1）文学书和科普书的单价各多少钱？
（2）今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，
问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？
【答案】（1）文学书的单价为8元，科普书的单价为12元；（2）至多还能购进466本科普书
【解析】（1）解：设文学书的单价为x元．
根据题意，得
解得x=8．
经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．
x+4=12，则科普书的单价为12元，
答：文学书的单价为8元，科普书的单价为12元．
（2）设购进文学书550本后还能购进y本科普书．依题意得
550×8+12y≤10000，
解得：
∵y为整数，∴y的最大值为466
∴至多还能购进466本科普书．
6．（2020·陕西横山·期末）为提升青少年的身体素质，深圳市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某学
校为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球，已知用800元购买篮球的个数比购买足球的个数少2
个，足球的单价为篮球单价的 ．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）如果计划用不多于5200元购买篮球、足球共60个，那么至少要购买多少个足球？
【答案】（1）100元/个， 80元/个．（2）40个
【解析】（1）设篮球的单价为x元/个，则足球的单价为0.8x元/个，
根据题意得： ，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，
∴0.8x=80．
答：篮球的单价为100元/个，足球的单价为80元/个．
（2）设购买m个足球，则购买（60﹣m）个篮球，
根据题意得：80m+100（60﹣m）≤5200，
解得：m≥40．
答：至少要购买40个足球．
7．（2020·西藏日喀则·期末）某校为美化校园环境，安排甲、乙两个工程队独立完成面积为400m2的绿化
区域．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校计划对面积为1800m2的区域进行绿化，每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25
万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【答案】（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）至少应安排甲队工作10
天．
【解析】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：
﹣ ＝4，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：0.4y+ ×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
8．（2020·全国初二课时练习）“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司
生产A，B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A种设备，
36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：
（1）A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
（2）若A，B两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后
获利不低于126万元，且A种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案；
（3）在（2）的条件下，销售前公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给“一带一路”沿线的甲国，剩
余设备全部售出，公司仍获利44万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路
运输每次运4台A种设备，航空运输每次运2台B种设备（运输过程中产生的费用由甲国承担）．直接写
出水路运输的次数．
【答案】（1）A种设备每台的成本是4万元，B种设备每台的成本是6万元．（2）该公司有5种生产方
案．（3）水路运输的次数为2次．
【解析】解：（1）设A种设备每台的成本是x万元，B种设备每台的成本是1.5x万元．
根据题意得： ，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
∴1.5x=6．
答：A种设备每台的成本是4万元，B种设备每台的成本是6万元．
（2）设A种设备生产a台，则B种设备生产（60-a）台．
根据题意得： ，
解得：53≤a≤57．
∵a为整数，
∴a=53，54，55，56，57，
∴该公司有5种生产方案．
（3）设水路运输了m次，则航空运输（4-m）次，该公司赠送4m台A种设备，（8-2m）台B种设备，
根据题意得：6（a-4m）+10[60-a-（8-2m）]-4a-6（60-a）=44，
整理得：a+2m-58=0，
解得：m=29- a．
∵53≤a≤57，0＜m＜4，且a、m均为正整数，∴m=1或2．
当m=1时，a=56，
∴60-a=4，8-2m=6．
∵4＜6，
∴m=1不合适，舍去；
当m=2时，a=54，
∴60-a=6，8-2m=4．
∵6＞4，
∴m=2符合题意．
∴水路运输的次数为2次．
9．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）内江某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶
的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种
牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使
销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方
案？
【答案】（1）乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元；（2）共有两种方案：方案一：购进甲
种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【解析】解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，
由题意得： ＝ ，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合实际意义，
故乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，
由题意得 ，
解得23＜y≤25．
∵y为整数，
∴y＝24或25，
∴共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
