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专题5.18 分式方程的增根、无解问题（基础篇）（专项练
习）
一、单选题
1．若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的分式方程 3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
3．关于x的方程 的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
4．关于 的分式方程 有解，则字母 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D． 且
5．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
6．如果关于 的不等式组 无解，且关于 的分式方程 有正
数解，则所有符合条件的整数 的值之和是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
7．若关于x的方程 无解，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
8．若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（ ）
A． 0或3 B． 3 C． 0 D．﹣1
9．若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
10．分式方程 有增根，则 的值为
A．0和3 B．1 C．1和 D．3
11．关于 的方程 可能产生的增根是 ( )
A． =1 B． =2
C． =1或 =2 D． =一1或=2
12．若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于y的分式方程
的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
二、填空题
13．已知关于x的分式方程 有增根，则a=_______．
14．已知关于x的分式方程 的解为正数，则k的取值范围是_______
15．关于 的方程 无解，则 的值为__________．
16．若关于 的分式方程 有增根，则 的值是______．
17．已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是_____．
18．若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，则m的取值范围为__．
19．若关于x的方程 有增根，则a的值是__．
20．若关于x的分式方程 有增根，则 _________．
21．关于 的分式方程 的解为负数，则 的取值范围____．22．若关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围_________．
23．当m=_________时，关于x的分式方程 =1有增根．
24．若关于x的不等式组 无解，分式方程 有正整数解，则整数a
的值为______．
25．若关于 的分式方程 有增根，则 的值为________．
三、解答题
26．已知关于 的分式方程
（1）若分式方程的解为 ，求 的值
（2）若分式方程有正数解，求 的取值范围
27．若关于x的一元一次不等式组 的解集为x＜4，且关于y的分式方程
＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完整．
解：步骤1：由不等式①，解得 ．
由不等式②，解得 ．
又∵该不等式组的解集为x＜4，
∴a的取值范围是 ．步骤2：解这个分式方程 ＝4得，y＝ ．
请继续写出下面的解答过程．
步骤3： ．
28．阅读下列材料：
在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关
于x的分式方程 的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小
亮开始交流解题思路如下：
小明说：解这个关于x的分式方程，得x＝a+5．由题意可得a+5＞0，据此问题解决．
小亮说：你考虑的不全面，还必须保证x≠5，即a+5≠5才行．
（1）请回答： 的说法正确；故a的取值范围是 ．
（2）参考对上述问题的讨论过程，解决下面的问题：若关于x的分式方程
的解为非负数，求m的取值范围．
29．阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师
提出一个问题：若关于 的分式方程 的解为正数，求 的取值范围．经过独立思考
与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：小杰说：解这个关于 的分式方程，得 ． 由题意可得 ，所以 ，问
题解决．
小哲说：你考虑的不全面，还必须保证 ，即 才行．
（1）请回答： 的说法是正确的，并简述正确的理由是 ；
（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于x的方程 的解为非
负数，求 的取值范围．
30．若关于 的一元一次不等式组 的解集是 ，求关于 的分式方程
的非负整数解．参考答案
1．D
【解析】
【分析】
将分式方程转化为2m−1−7x＝5（x−1），根据增根的意义得到x＝1，然后将x＝1代入整
式方程，即可求出m的值．
【详解】
解： ，
方程两边都乘（x−1）得2m−1−7x＝5（x−1），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，2m−1−7＝0，
解得m＝4．
故选：D．
【点拨】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的意义并能把增根代入由分式方
程转化后整式方程求得相关字母的值是解题的关键．
2．B
【解析】
【分析】解分式方程得： 即 ，由题意可知 ，即可得到 .
【详解】
解：
方程两边同时乘以 得： ，
∴ ，
∵分式方程有解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B.
【点拨】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义
的条件是解题的关键.
3．C
【解析】
【分析】
先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.
【详解】
解：分式方程去分母得： ，
解得： ，
根据题意得： ，且 ，
解得： ，且 ．
故选C．
【点拨】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.
4．D
【解析】
【分析】
先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程 有解”，即
x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．【详解】
解： ，
去分母得：5（x-2）=ax，
去括号得：5x-10=ax，
移项，合并同类项得：
（5-a）x=10，
∵关于x的分式方程 有解，
∴5-a≠0，x≠0且x≠2，
即a≠5，
系数化为1得： ，
∴ 且 ，
即a≠5，a≠0，
综上所述：关于x的分式方程 有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，
故选：D．
【点拨】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解
列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视．
5．C
【解析】
【分析】
先解分式方程，然后利用分式方程有增根说明 ，代入即可求出m的值．
【详解】
去分母得， ，
解整式方程得， ．
∵分式方程有增根，
∴ ，即 ，
解得 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查分式方程的增根问题，掌握解分式方程的方法和增根产生的原因是
解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
先根据不等式组无解解出a的取值范围，再解分式方程得 ，根据方程有解和非正
整数解进行综合考虑a的取值，最后把这几个数相加即可．
【详解】
解： ，
解不等式得①： ，
解不等式得②： ，
不等式组 无解，
，
解得 ．
分式方程 ，
两边同时乘 得 ，
解得 ，
分式方程有正数解，
且 ，
解得 且 ，
且 ，又 是整数，
，0，1，2，3，4，
所有符合条件的整数 的值之和是 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查解不等式组、解分式方程的方法，解决此题的关键是理解不等式组
无解的意义，以及分式方程有解的情况．
7．B
【解析】
【分析】
方程两边都乘以x-1，化分式方程为整式方程，再由分式方程无解得出x=1，代入整式方程
求解可得．
【详解】
解：方程两边都乘以x-1，得：x+1+2（x-1）=m，
根据题意知x=1，
将x=1代入整式方程，得：m=2，
故选：B．
【点拨】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程
的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原
分式方程的解．
8．D
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简
公分母x-4=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】
解：
方程两边同乘（x-4）得
∵原方程有增根，
∴最简公分母x-4=0，
解得x=4，把x=4代入 ，得 ，解得m=-1
故选：D
【点拨】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0
确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．D
【解析】
【分析】
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即
可．
【详解】
解：去分母得 ，
解得 ，
由方程的解为正数，得到 ，且 ， ，
则m的范围为 且 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的
范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
10．D
【解析】
【分析】
等式两边同乘以最简公分母后，化简为一元一次方程，因为有增根可能为x=1或x=﹣2分
1 2
别打入一元一次方程后求出m，再验证m取该值时是否有根即可.
【详解】
∵分式方程 -1= 有增根，
∴x﹣1=0，x+2=0，
∴x=1，x=﹣2．
1 2
两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，
当m=0，方程无解，
∴m=3．
故选D．
11．C
【解析】
【详解】
分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，
让最简公分母 根据解方程，可得答案．
详解：由关于x的方程 可能产生的增根，得
(x−1)(x−2)=0.
解得x=1或x=2，
故选C.
点睛：考查分式方程的增根的概念，熟记增根的概念是解题的关键.
12．B
【解析】
【分析】
先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到 解得 ，再解分式方程
得到 ，根据分式方程的解是正整数，得到 ，且 是2的倍数，据此解得
所有符合条件的整数a的值，最后求和．
【详解】
解：
解不等式①得， ，
解不等式②得，
不等式组的解集为：解分式方程 得
整理得 ，
则
分式方程的解是正整数，
，且 是2的倍数，
，且 是2的倍数，
整数a的值为-1, 1, 3, 5,
故选： ．
【点拨】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一
般，掌握相关知识是解题关键．
13．1．
【解析】
【详解】
方程两边都乘以最简公分母（x＋2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的最简
公分母等于0求出方程有增根，然后代入求解即可得到a的值：
方程两边都乘以（x＋2）得，a－1=x＋2．
∵分式方程有增根，∴x＋2=0，即a－1=0，解得a=1．
14． 且
【解析】
【分析】先求解分式方程，用含k的代数式表示x，根据方程的解为正数，得不等式，求解即可．
【详解】
解：去分母，得x-4(x-2)=-k，
解得x= ．
∵分式方程的解为正数，
∴ 且 ．
解得， 且 ．
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式．掌握分式方程、一元一次不等式的
解法是解决本题的关键．本题易错，只关注不等式的解，而忽略了分式方程的分母不为0
条件．
15．k=1或k=
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可
求出k的值．
【详解】
解：去分母得： ，
∴ ，
∵分式方程无解，
∴k-1=0或 ，
∴k=1或k= ，
故答案为：k=1或k= ．
【点拨】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式
方程产生增根．
16．7
【解析】【分析】
增根即为分式方程化为对应整式方程后的解，但不是原分式方程的解，由此可先将原分式
方程化为整式方程，然后代入对应x的值求解即可．
【详解】
在原分式方程左右同乘 得：
，
∵原分式方程有增根，
∴ ，即 ，
根据增根的定义， 是方程 的解，
∴将 代入解得： ，
故答案为：7．
【点拨】本题考查分式方程的增根，理解增根的定义，准确化简方程是解题关键．
17．m≥－6且m≠﹣4
【解析】
【分析】
根据分式方程 的解是非负数可得 ，解出m的取值范围且分子不能为
0．
【详解】
解：∵ ，
解得： ，
∵关于x的分式方程 的解是非负数，
∴ ，
解得： ，
又∵
∴ ，
∴ ，故答案为：m≥－6且m≠﹣4．
【点拨】本题主要考查根据不等式的解求参，解题的关键是根据不等式的解得情况列出关
于参数的不等式，注意容易丢掉分子为0时等式不成立的情况．
18．m＞-10且m≠-6
【解析】
【分析】
先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到 的取值范
围．
【详解】
解： ＝ +5，
3x＝-m+5（x-2），
3x＝-m+5x-10，
3x-5x＝-m-10，
-2x＝-m-10，
x＝ ，
∵x-2≠0，
∴x≠2，
∴ ≠2，
∴m≠-6．
∵方程的解为正数，
∴ ＞0，
∴m＞-10．
∴m的取值范围为：m＞-10且m≠-6．
故答案为：m＞-10且m≠-6．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解
题时注意解分式方程必须检验．
19．1
【解析】
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公
分母为0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出a的值．
【详解】
解：方程两边都乘 ，得
，
解得： ，
∵原方程有增根，
∴ ，
解得： ，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了分式方程的解，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定
增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．3
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【详解】
解：去分母得：3x=m+3+x-2，
由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程得：6=m+3+2-2，
解得：m=3．
【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整
式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
21． 且
【解析】
【分析】
分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，根据分式方程的解为负数
且分式方程分母不为 ，即 且 可得到不等式，解出不等式即可．
【详解】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
系数化为 ： ，
分式方程的解为负数，
，
，
分式的分母不为 ，
且 ，
即 且 ，
且 ，
且 ．
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出不等式的解，考虑分母
不为 是解题的关键．
22．m≤6且m≠0
【解析】
【分析】
先解分式方程，再使 且 ，列出不等式组，即可得出m的取值范围．
【详解】
解：由
解得： ，
∵方程的解为非负数，
∴ ，
解得： ，
故答案为：m≤6且m≠0．【点拨】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程中
分母不能为零．
23．2
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-1=0，求出x的值，代入整式
方程即可求出m的值．
【详解】
解：去分母得整式方程：2x-m=x-1，
由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程中得：2×1-m=1-1，
解得：m=2，
故答案为：2．
【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0
确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
24．-8，0，4
【解析】
【分析】
依据不等式组无解，即可得到a≤4；依据分式方程有正整数解，即可得到a＞-12且a≠-4，
进而得出-12＜a≤4且a≠-4，根据y= +3是正整数，可得a=-8，0，4．
【详解】
解：由不等式组 ，可得 ，
∵不等式组无解，
∴a- ≤ ，
解得a≤4；
由分式方程 ，可得y= +3，
∵分式方程有正整数解，
∴y＞0且y≠2，
即 +3＞0且 +3≠2，
解得a＞-12且a≠-4，
∴-12＜a≤4且a≠-4，
∵ +3是正整数，
∴a=-8，0，4，
故答案为：-8，0，4．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解．分式方程的解，解题的关键是根据不等式组
以及分式方程求出a的范围．
25．7
【解析】
【分析】
根据分式的性质去分母，再把增根x=1代入即可求出m的值.
【详解】
解
∴7+3（x-1）=m
把增根x=1代入得m=7.
【点拨】此题主要考查分式方程的解法，解题的关键是熟知分式的求解.
26．（1） ；（2） 且
【解析】
【分析】
（1）把 代入分式方程求解即可；
（2）先求出分式方程的解，然后根据分式方程的解有正数解求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得： ，
∴（2）去分母：
解得：
∵分式方程有正数解
∴ 且
∴ 且 ．
【点拨】本题主要考查了分式方程的解和分式方程有意义的条件，解题的关键在于能够熟
练掌握相关知识进行求解．
27．x＜4； ； ； ； 且
【解析】
【分析】
化简一元一次不等式组，根据解集为x＜4得到a的取值范围；解分式方程，根据解是正数，
且不是增根，得到a的最终范围即可．
【详解】
解：解：步骤1：由不等式①，解得x＜4．
由不等式②，解得 ．
又∵该不等式组的解集为x＜4，
∴a的取值范围是 ．
步骤2：解这个分式方程 ＝4得，y＝ ，
∵关于y的分式方程 ＝4的解是正数，且 ，
∴ ，且 ，
解得： 且 ，
∴a的取值范围为 且 ．
【点拨】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集．考虑解分式方程可能
产生增根是解题的关键．
28．（1）小亮，a＞﹣5且a≠0；（2）m≥﹣6且m≠﹣3【解析】
【分析】
（1）小亮的说法正确，求出a的范围即可；
（2）方程整理后，去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为非负数确定出m
的范围即可．
【详解】
解：（1）说法正确是小亮，a的取值范围为
a＞﹣5且a≠0，
故答案为：小亮；a＞﹣5且a≠0；
（2）将方程整理，得 ，
去分母得m+x＝2x﹣6，
解得x＝m+6，
由分式方程的解为非负数，得到 ，
即 ，
解得m≥﹣6且m≠﹣3．
【点拨】此题考查了解分式方程，分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算
法则是解本题的关键．
29．（1）小哲；分式方程的解一定要保证最简公分母不为零，否则分式方程中的分式没有
意义；（2） 且
【解析】
【分析】
（1）根据分式方程解为正数，且最简公分母不为0判断即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．
【详解】
解：（1）小哲；理由：分式方程的解一定要保证最简公分母不为零，否则分式方程中的分
式没有意义．
故答案为：小哲；分式方程的解一定要保证最简公分母不为零，否则分式方程中的分式没
有意义．（2）原方程 可化为 ．
去分母得：
解得：
∵原方程的解为非负数，
∴
即： ，
解得 且 ．
【点拨】此题考查了解分式方程，分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握分式
方程的解法是解本题的关键．
30． ，2，3．
【解析】
【分析】
解不等式组中的每个不等式后通过解集是 ，可以确定a的取值范围为a<5；再解关于
y的分式方程，可得a=2y-3，从而转化为关于y的不等式，再结合y的具体取值，就可以求
得符合条件的y的值了．
【详解】
解：
不等式 的解集是 ；
不等式 的解集是x<5．
∵不等式组的解集为 ．
∴a<5．
原分式方程可化为 ．
两边都乘以（y-1）得，（2y-a）-（4-y）=y-1．用含y的式子表示a，得，
a=2y-3．
∴2y-3<5．
解得，y<4．
∵y取非负整数且y≠1，
∴y=0，2，3．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解集、分式方程的特殊解等知识点．确定a的取
值范围是解题的基础；将分式方程转化为用含y的式子表示a是关键．
