文档内容
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.12第5章分式与分式方程单元测试（培优提升卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021春•南山区校级期中）下列各式从左到右的变形不正确的是（ ）
−y y −y y y y −y y
A． =− B． =− C． =− D． =
6x 6x −6x 6x −6x 6x −6x 6x
【分析】根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，进而分别判断得
出答案．
−y y
【解答】解：A. =− ，正确，故此选项不合题意；
6x 6x
−y y
B. = ，原式不正确，故此选项符合题意；
−6x 6x
y y
C. =− ，正确，故此选项不合题意；
−6x 6x
−y y
D. = ，正确，故此选项不合题意；
−6x 6x
故选：B．
2．（2019秋•陕州区期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． a2−b2 B．m2−n2
a2b+ab2 m+n
C．3(x−y) D． x2−y2
7(x+ y) x2−2xy+ y2
【分析】根据分式的分子分母都不含有公因式的分式是最简分式，可得答案．
【解答】解：A． a2−b2 (a+b)(a−b) a−b，不符合题意；
= =
a2b+ab2 ab(a+b) abm2−n2 (m+n)(m−n)
B． = =m﹣n，不符合题意；
m+n m+n
3(x−y)
C． 是最简分式，符合题意；
7(x+ y)
D． x2−y2 (x+ y)(x−y) x+ y，不符合题意；
= =
x2−2xy+ y2 (x−y) 2 x−y
故选：C．
1 1
3．（2021秋•郧阳区期末）若xy＝x﹣y（xy≠0），则分式 − =（ ）
x y
A．x﹣y B．y﹣x C．﹣1 D．1
【分析】将原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．
y x y−x x−y
【解答】解：原式= − = =− ，
xy xy xy xy
∵xy＝x﹣y（xy≠0），
xy
∴原式=− =−1，
xy
故选：C．
6
4．（2021春•霍邱县期末）若 表示一个整数，则整数x可取值的个数是（ ）
2x+3
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
6
【分析】由 表示一个整数且x为整数，则2x+3＝±1或2x+3＝±2或2x+3＝±3或2x+3＝±6，进而
2x+3
求出x的值．
6
【解答】解：∵ 表示一个整数且x是整数，
2x+3
∴2x+3＝±1或2x+3＝±2或2x+3＝±3或2x+3＝±6．
当2x+3＝1，则x＝﹣1．
当2x+3＝﹣1，则x＝﹣2．
1
当2x+3＝2，则x=− （不合题意，故舍去）．
2
5
当2x+3＝﹣2，则x=− （不合题意，故舍去）．
2
当2x+3＝3，则x＝0．
当2x+3＝﹣3，则x＝﹣3．3
当2x+3＝6，则x= （不合题意，故舍去）．
2
9
当2x+3＝﹣6，则x=− （不合题意，故舍去）．
2
综上，整数x的取值有﹣1、﹣2、0、﹣3．
故选：C．
5．（2020秋•兰山区期末）若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
x x+ y xy 2x
A． B． C． D．
y+1 x+1 x+ y 3x−y
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式
的即是答案．
x 3x
【解答】解：A． ≠ ，不符合题意；
y+1 3 y+1
x+ y 3x+3 y
B． ≠ ，不符合题意；
x+1 3x+1
xy 9xy
C． ≠ ，不符合题意；
x+ y 3x+3 y
2x 6x
D． = ，符合题意；
3x−y 9x−3 y
故选：D．
2a+b 1 a
6．（2020•东城区校级模拟）若a+2b＝0，则分式（ + ）÷ 的值为（ ）
a2−ab a a2−b2
3 9 3b
A． B． C．− D．﹣3b
2 2 2
【分析】先化简分式，然后根据a+2b＝0，代入求值．
2a+b a−b a
【解答】解：原式＝[ + ]÷
a(a−b) a(a−b) (a+b)(a−b)
3a (a+b)(a−b)
= •
a(a−b) a
3a+3b
= ，
a
∵a+2b＝0，
∴a＝﹣2b，
3×(−2b)+3b 3
∴原式= = ．
−2b 2故选：A．
7．（2021•无为市三模）市政府为美化城市环境，计划在市区种植树木20万棵，由于青年志愿者的加入，
实际每天植树比原计划多15%，结果提前4天完成任务，设实际每天种植x万棵，则根据题意可得方程
为（ ）
20(1+15%) 20 20 20
A． − =4 B． − =4
x x 15%x x
20 20 20 20
C． − =4 D． − =4
(1+15%)x x x (1+15%)x
【分析】设实际每天种植x万棵，则原计划每天种植x÷（1+15%）万棵，根据题意列出方程即可．
【解答】解：实际每天种植x万棵，则原计划每天种植x÷（1+15%）万棵，
20 20
由题意得： − =4，
x÷(1+15%) x
20(1+15%) 20
整理得： − =4，
x x
故选：A．
8．（2021春•安徽月考）已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，
且两人每小时共阅读60页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课
外读物x页，则可列方程为（ ）
150 200 150 200
A． = B． =
x 60−x 60−x x
150 200
C． + =60 D．150x＝200（60﹣x）
x x
【分析】设甲同学每小时阅读课外读物 x页，则乙每小时读（60﹣x）页，根据“已知甲同学阅读150
页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同”即可列出方程．
【解答】解：设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读（60﹣x）页，
150 200
那么甲读150页所用的时间为： ，乙读200页所用的时间： ．
x 60−x
根据“已知甲同学阅读 150 页课外读物与乙同学阅读 200 页课外读物所用的时间相同”得：
150 200
= ．
x 60−x
故选：A．
1 1 2a−5ab+4b
9．（2015春•茅箭区月考）已知 + =3，则代数式 的值为（ ）
a 2b 4ab−3a−6b1 1
A．3 B．﹣2 C．− D．−
3 2
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理得到 a+2b＝6ab，代入原式计算即
可得到结果．
1 1 a+2b
【解答】解： + = =3，即a+2b＝6ab，
a 2b 2ab
2(a+2b)−5ab 12ab−5ab 1
则原式= = =− ，
−3(a+2b)+4ab −18ab+4ab 2
故选：D．
3−a 1 {x＞a
10．（2021秋•沂源县期末）已知a满足方程 −a= ，且关于x的不等式组 只有4个整数
a−4 4−a x≤b
解，那么b的取值范围是（ ）
A．3≤b＜4 B．2＜b≤3 C．﹣1＜b≤3 D．8≤b＜9
【分析】先解分式方程求a，再根据不等式组的解求b．
3−a 1
【解答】解： −a= ．
a−4 4−a
∴3﹣a﹣a2+4a＝﹣1．
∴a2﹣3a﹣4＝0．
∴a＝4或a＝﹣1．
经检验：a＝4是增根，舍去．
∴a＝﹣1．
{x＞−1
∵ 有4个整数解0，1，2，3，
x≤b
∴3≤b＜4．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
(x−1)(x+2)
11．（2011春•广州校级月考）当x＝ 1 时，分式 的值为0．
(x+2)(x−3)
【分析】根据分式的值为0的条件得出关于x的不等式组，求出x的值即可．
(x−1)(x+2)
【解答】解：∵分式 的值为0，
(x+2)(x−3)
∴{(x−1)(x+2)=0①，由①得，x＝1或x＝﹣2；
(x+2)(x−3)≠0②由②得，x≠﹣2，x≠3，
∴此不等式组的解集为：x＝1．
故答案为：1．
−a
12．（2021秋•昌乐县期中）根据分式的基本性质，分式 可变形为 A 、 D ．
a−b
a
A．−
a−b
a
B.
a+b
a
C.
−a−b
a
D.
b−a
【分析】根据分式的基本性质进行分析判断．
a a a
【解答】解：原式=− = = ，
a+b −a+b b−a
故A和D的变形符合题意，B和C的变形不符合题意，
故答案为：A、D．
2y y
13．如果把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么这个分式的值 ．
2x2−3 y2 2x2−3 y2
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
4 y
【解答】解：原式=
8x2−12y2
y
=
2x2−3 y2
y
故答案为：
2x2−3 y2
a+2b 1 4a+8b 3ab
14．（2018秋•锦江区校级期中）已知 = ，则代数式 − 的值为 ﹣ 1 ．
ab 2 ab 2a+4b
【分析】变形已知，整体代入求出结果．
a+2b 1
【解答】解：∵ = ，
ab 2
∴ab＝2（a+2b）＝2a+4b，
4a+8b 3ab
∴ −
ab 2a+4b2(2a+4b) 3ab
= −
2a+4b ab
＝2﹣3
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（2021•襄阳模拟）我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二
百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽
的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价
6210
钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买x株椽，根据题意可列方程为 3 （ x ﹣ 1 ） = ．
x
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关
于x的分式方程，此题得解．
6210
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）= ．
x
6210
故答案是：3（x﹣1）= ．
x
2x m
16．（2021•凉山州）若关于x的分式方程 −3= 的解为正数，则m的取值范围是 m ＞﹣ 3 且
x−1 1−x
m ≠﹣ 2 ．
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）得，2x﹣3（x﹣1）＝﹣m，
解得x＝m+3．
∵x为正数，
∴m+3＞0，解得m＞﹣3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠﹣2．
∴m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2．
故答案为：m＞﹣3且m≠﹣2．
m−2x 1
17．（2021春•桐城市期末）已知关于x的分式方程 = ．
x−2 3
（1）若该方程有增根，则增根是 2 ．
5
（2）若该方程的解大于1，则m的取值范围是 m ＞ ，且 m ≠ 4 ． ．
3【分析】（1）根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出m的范围即可．
【解答】解：（1）∵这个方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2．
故答案为：2；
（2）分式方程去分母得：3（m﹣2x）＝x﹣2，
3m+2
去括号合并得：7x﹣2＝3m，即x= ，
7
3m+2 3m+2
根据题意得： ＞1，且 ≠2，
7 7
5
解得：m＞ ，且m≠4．
3
5
故答案为：m＞ ，且m≠4．
3
18．（2020秋•潜山市期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值，
2x+1
如：min{1，2}＝1，按照这个规定，方程min{x，﹣x}= 的解为 1−√2 ．
x
【分析】分类讨论x与﹣x的大小，分别求出方程的解，检验即可．
2x+1
【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形得：﹣x= ，
x
整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，
解得：x ＝x ＝﹣1，不符合题意，舍去；
1 2
2x+1
当x＜﹣x，即x＜0时，方程变形得：x= ，
x
方程整理得：x2﹣2x＝1，即（x﹣1）2＝2，
解得：x ＝1+√2（不符合题意，舍去），x ＝1−√2，
1 2
经检验x＝1−√2是分式方程的解，
综上，方程的解为x＝1−√2．
三．解答题（共6小题）
19．（2021秋•肇源县期末）解分式方程：
2 3
（1） =
x+1 x1−x 1
（2） = −2
x−2 2−x
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式
方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2x＝3x+3，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项合并得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
3 x2−4x+4
20．（2021秋•林州市期末）先化简，再求值：（ −x+1）÷ ，从﹣1，2，﹣3中选一个值，
x+1 x+1
代入求值．
【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
3 x2−4x+4
【解答】解：（ −x+1）÷
x+1 x+1
3−(x+1)(x−1) x+1
= •
x+1 (x−2) 2
4−x2 x+1
= •
x+1 (x−2) 2
−(x+2)(x−2) x+1
= •
x+1 (x−2) 2
x+2
=− ，
x−2
∵x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，x≠2，
取x＝﹣3，
−3+2 1
当x＝﹣3时，原式=− =− ．
−3−2 5
21．（2020春•揭阳期末）已知下面一列等式：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1× =1− ； × = − ； × = − ； × = − ；…．
2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5
（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：（2）验证一下你写出的等式是否成立；
1 1 1 1
（3）利用等式计算： + + + ．
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4)
【分析】（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算．（3）根据前两部结论进行
计算．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【解答】解：（1）由1× =1− ； × = − ； × = − ； × = − ；…．可知它的一
2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5
1 1 1
般性等式为 = − ；
n(n+1) n n+1
1 1 n+1 n 1 1 1
（2）∵ − = − = = • ，
n n+1 n(n+1) n(n+1) n(n+1) n n+1
∴原式成立；
1 1 1 1
（3） + + +
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4)
1 1 1 1 1 1 1 1
= − + − + − + −
x x+1 x+1 x+2 x+2 x+3 x+3 x+4
1 1
= −
x x+4
4
= ．
x2+4x
a b−x
22．（2021•广东模拟）已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即
可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【解答】解：
a b−x
（1）把a＝1，b＝0代入分式方程 − =1中，得
2x+3 x−5
1 −x
− =1
2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）+x（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
x﹣5+2x2+3x＝2x2﹣7x﹣15
10
x=−
11
10 10
检验：把x=− 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x=− ．
11 11
10
答：分式方程的解是x=− ．
11
a b−x
（2）把a＝1代入分式方程 − =1得
2x+3 x−5
1 b−x
− =1
2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15
（11﹣2b）x＝3b﹣10
11
①当11﹣2b＝0时，即b= ，方程无解；
2
3b−10
②当11﹣2b≠0时，x=
11−2b
3 3b−10 3
x=− 时，分式方程无解，即 =− ，b不存在；
2 11−2b 2
3b−10
x＝5时，分式方程无解，即 =5，b＝5．
11−2b
11 a b−x
综上所述，b= 或b＝5时，分式方程 − =1无解．
2 2x+3 x−5
a b−x
（3）把a＝3b代入分式方程 − =1，得：
2x+3 x−53b x−b
+ =1
2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
整理得：（10+b）x＝18b﹣15
18b−15
∴x=
10+b
18b−15 18(b+10)−195 195
∵ = =18− ，且b为正整数，x为整数
10+b 10+b 10+b
∴10+b必为195的因数，10+b≥11
∵195＝3×5×13
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
23．（2021秋•双辽市期末）学校田径队的小勇同学参加了两次有氧耐力训练，每一次训练内容都是在400
米环形跑道上慢跑10圈．若第二次慢跑速度比第一次慢跑速度提高了20%，则第二次比第一次提前5
分钟跑完．
（1）小勇同学一次有氧耐力训练慢跑多少米？
（2）小勇同学两次慢跑的速度各是多少？
【分析】（1）根据“在400米环形跑道上慢跑10圈”可得答案；
（2）设第一次慢跑速度为x米/分，则第二次慢跑速度为1.2x米/分，利用关键语句“第二次比第一次提
前5分钟跑完”列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）400×10＝4000（米），
答：小勇同学一次有氧耐力训练慢跑4000米；
（2）设第一次慢跑速度为x米/分，则第二次慢跑速度为1.2x米/分，由题意得：
4000 4000
− =5，
x 1.2x400
解得：x= ，
3
400
经检验：x= 是原分式方程的解，且符合题意，
3
400
1.2× =160（米/分），
3
400
答：第一次慢跑速度为 米/分，则第二次慢跑速度为160米/分．
3
24．（2019秋•渝北区期末）为了“迎国庆，向祖国母亲献礼”，某建筑公司承建了修筑一段公路的任务，
指派甲、乙两队合作，18天可以完成，共需施工费126000元；如果甲、乙两队单独完成此项工程，乙
队所用时间是甲队的1.5倍，乙队每天的施工费比甲队每天的施工费少1000元．
（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？
（2）为了尽快完成这项工程任务，甲、乙两队通过技术革新提高了速度，同时，甲队每天的施工费提
高了a%，乙队每天的施工费提高了2a%，已知两队合作12天后，由甲队再单独做2天就完成了这项工
程任务，且所需施工费比计划少了21200元．
①分别求出甲、乙两队每天的施工费用；
②求a的值．
【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，直接利用甲、乙两公司合做，18天可以完成，利用
1
两公司合作每天完成总量的 ，进而列出方程求出答案；
18
（2）①设甲公司技术革新前每天的施工费用是y元，那么乙公司技术革新前每天的施工费用是（y﹣
1000）元，可列出方程，解方程即可；
②根据①可分别表示甲、乙公司技术革后每天的施工费用，于是可列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，
1 1 1
根据题意可得： + = ，
x 1.5x 18
解得：x＝30，
检验，知x＝30符合题意，
∴1.5x＝45，
答：甲公司单独完成此项工程需30天，乙公司单独完成此项工程需45天；
（2）①设甲公司技术革新前每天的施工费用是y元，那么乙公司技术革新前每天的施工费用是（y﹣
1000）元，则由题意可得：（y+y﹣1000）×18＝126000，
解得：y＝4000，
∴y﹣1000＝3000，
答：技术革新前，甲公司每天的施工费用是4000元，乙公司每天的施工费用是3000元；
②4000×14×（1+a%）+3000×12×（1+2a%）＝126000﹣21200，
解得：a＝10．
答：a的值是10．
