文档内容
专题5.10 求解二元一次方程组题型分类专题（知识讲解）
类型一、已知二元一次方程组的解求参数
1．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这
个方程组为“奇妙方程组”．
（1）判断关于 ， 的方程组 是否是“奇妙方程组”，并说明理由；
（2）如果关于 ， 的方程组 是“奇妙方程组”，求 的值．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）4
【分析】
两个未知数的值互为相反数就是它们的和为0，
（1）只需判断x+y的值是否为0即可；
（2）变形用a的式子表示x+y，从而列出a的方程求解．
解：（1）
由①+②得： ，
∴两个未知数的值互为相反数，
∴方程组 是“奇妙方程组”．
（2）由 ，解得
是“奇妙方程组”，
，
．
【点拨】本题主要考查相反数和为0，表示出两个未知数的和列方程即可，没必要一定去表达出每个未知数．
举一反三：
【变式1】若关于x，y的二元一次方程组 的解满足2x+y＝3，求k的值．
【答案】
【分析】先利用加减消元法解含参数的二元一次方程组，再将求出的x，y代入2x+y＝
3可得关于k的方程，解方程即可求解.
解：①-②，得5y＝10k-9，解答y＝2k ，
把y＝2k 代入②，得
，解得x
把x ，y＝2k 代入方程2x+y＝3，得 ，
解得k= .
【点拨】本题主要考查含参数的二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握解含
参数的二元一次方程组的方法.
【变式2】如下是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系，若方程
组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3，…，方程组 ．
方程组集合： ， ， ，
对应方程组解的集合： ， ， ， ．
（1）方程组1的解为______；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出方程组 为______，方程组 的解
______；（3）若方程组 的解是 ，求 的值，并判断该方程组是否符合（2）
中的规律．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）a=5，符合
【分析】
（1）求出方程组1的解即可；
（2）观察一系列方程组的解特征，归纳总结得到一般性规律即可；
（3）利用加减消元法求出方程组的解，验证即可．
解：（1） ，
两式相加得：2x=2，解得：x=1，
两式相减得：2y=0，解得：y=0，
故方程组的解为： ；
（2）通过观察分析，得方程组中第1个方程不变，只是第2个方程中 的系数依次变
为 ， ， ， ， ，第2个方程的常数规律是 ．
它们解的规律是 ，2，3， ， ．
相应的 ， ， ， ，
根据以上规律，可得：
方程组n为 ，它的解是 ；
（3）因为 是方程组 的解，
所以有 ，
解得 ，
即原方程组为 ，所以该方程组符合（2）中的规律．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立
的未知数的值．
类型二、二元一次方程组的特殊解法
2．阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组 小明发现如果用代入消元法或
加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，
把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝
2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为 ，解的 ，把 代入m＝
2x+3y，n＝2x﹣3y，得 解得 所以，原方程组的解为 ．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．解：（1）令 ， ，
原方程组化为 ，
解得： ，
，
解得： ．
原方程组的解为 ．
（2）令 ， ，
原方程组可化为： ，
解得： ，
，
经检验， 是原方程的解．
原方程组的解为 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．举一反三：
【变式1】阅读材料在解方程组 时，明明采用了一种“整体代换”的
解法．
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①，得x＝4，
∴方程组的解为 ．
请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组 ．
【答案】
【分析】将方程②变形为 ，再将 整体代入即可求方程组．
解： 中将②变形，得 ③，
将①代入③得，2×6﹣y＝18，
∴y＝﹣6，
将y＝﹣6代入①得，x＝﹣3，
∴方程组的解为 ．
【点拨】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂题意，
明确整体思想．
【变式2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，
计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
② ①得： ，即 ．③③ 17得： ．④
① ④得： ，代入③得 ．
所以这个方程组的解是 ．
（1）请你运用小明的方法解方程组 ．
（2）猜想关于 、 的方程组 （ ）的解是______；
（3）请你按照上面的规律写一个方程组，使它的解与（2）中方程组的解相同（所写
方程组未知数的系数大于100）．
【答案】（1） ；（2） ；（3） （答案不唯一） ．
【分析】
（1）先用② －①得到一个新方程 即 然后③ ×1997，然后用
① －④进行求解即可得到答案；
（2）根据（1）的原理进行方程的求解即可得到答案；
（3）根据（2）中计算的结果写出一个满足题意的方程组即可.
解：（1）
② ①得： ，即 ．③
③ 1997得： ④
① ④得： ，代入③得
所以这个方程组的解是
（2）猜想方程组的解为把 代入①中得 ，方程左右两边相等
把 代入②中得， 方程左右两边相等
故原方程组的解为 ；
（3）由（2）得方程组的解为
即只要写出一个方程组的解为 所写方程组未知数的系数大于100即可
∴满足题意的方程组为 （答案不唯一） ．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于掌握题目所给的方程组
解法进行正确的计算即可.
类型三、二元一次方程组的错题复原问题
3．小鑫、小童两人同时解方程组 时，小鑫看错了方程②中的a，
解得 ，小童看错了①中的b，解得 ，求原方程组的正确解．
【答案】
【分析】将小鑫解得的 代入 ，将小童解得的 代入中，建立方程组求解出 的值，再代入原方程组中进行求解．
解：根据题意，可得 ，
解得 ，
将a，b代入原方程组，得 ，
由②可得 ③，
将③代入①，可得 ，
解得 ，
把 代入③，解得 ．
故原方程组的正确解是 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的基
本方法．
举一反三：
【变式1】甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的 ，得
到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ．试求出方程
组正确的解．
【答案】
【分析】由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由
于乙看错了b，将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值．
解：将 ， 代入②，得 ， ．将 ， 代入①，得 ， ．
∴原方程组为
① ，得 ．③
②＋③，得 ， ．
将 代入①，得 ．
∴原方程组的解是 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的错解问题，求解的关键是熟练掌握求解方法从
而准确计算得到答案．
【变式2】学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲
同学在解一元一次方程 ，去分母时-1项忘记乘以6，得该方程的解为 ，
乙同学在解方程组 时，看错了第一个方程，得该方程组的解为 ，试求
的值．
【答案】 ．
【分析】甲同学在解方程 ，去分母时-1项忘记乘以6，则所得方程是：
3(x+3)-1=x+a，把x=-3代入即可求得a的值；把乙的结果代入方程3x+2by=3求出b的值，
即可求解．
解：甲同学在解方程 ，去分母时-1项忘记乘以6，
则所得方程是：3(x+3)-1=x+a，
把x=-3代入3(x+3)-1=x+a，得：a=2；乙同学在解方程组 时，看错了第一个方程，得该方程组的解为 ，
把 代入3x+2by=3得：6+6b=3，
解得： ，
则 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解以及一元一次方程的解．注意：方程组的解
即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
类型四、构造二元一次方程组求解
4．在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中 为常数，
且 ），则称 是点 的“ 族衍生点”．例如：点 的“ 族衍生点” 的坐
标为 ，即 ．
（1）点 的“ 族衍生点”的坐标为 ；
（2）若点 的“ 族衍生点” 的坐标是 ，则点 的坐标为
；
（3）若点 （其中 ），点 的“ 族衍生点”为点 ，且 ，求
的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）利用“m族衍生点”的定义可求解；
（2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；
（3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解．
解：（1）点 的“ 族衍生点”的坐标为 ，即 ，故答案为： ；
（2）设点 坐标为 ，
由题意可得：
，
点 坐标为 ，
故答案为： ．
（3） 点 ，
点 的“ 族衍生点”为点 ，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查新定义问题，平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，
二元一次方程组的解法，准确根据题意解题是关键．
举一反三：
【变式1】对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），
其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）
＝（﹣1，﹣5）．
（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝ ．
（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；
（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n
表示a和b）【答案】（1）（2，6）；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据“f运算”的定义计算即可；
（2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题；
（3）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题．
解：（1）∵f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），
∴当a＝2，b＝﹣1时，f（m，n）＝（2m﹣n，2m+n），
∴当m＝2，n＝2时，
2m﹣n＝2×2﹣2＝2，2m+n＝2×2+2＝6，
f（2，2）＝（2，6）．
故答案为：（2，6）；
（2）由题意得 ，
解得： ；
（3）由题意得 ，
解得： ．
【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，点的坐标，理
解“f运算”的定义，列出方程组是解题的关键．
【变式2】在等式 中，当 时， ；当 时， ．
（1）求 ， 的值；
（2）求当 时， 的值．
【答案】（1） ；（2）13
【分析】（1）把x与y的值代入 中，求出 ， 的值；
（2）将x的值代入（1）所求的关系式计算即可求出 的值．
解：（1）由题意得
解得 ，
；
（2）由（1）可得原等式为 ，
当 时， ,
时， 的值为13．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消
元法与加减消元法．
类型五、已知二元一次方程组解的情况求参数
5．在解关于x，y的方程组 时，可以用①×7-②×3消去未知
数 ，也可以用①×2+②×5 消去未知数 ．
（1）求 和 的值：
（2）求原方程组的解
【答案】（1）m=2，n=5；（2）
【分析】（1）根据题意得出 ，求解即可；（2）将（1）中的解代回原
方程求解即可．
解：（1）由题意可得方程组：整理此方程组得：
，
① 得， ③，
② 得， ④，
③-④得， ，
解之得， ，
把 代入②中，得 ，
所以 ；
（2）将 代入原方程组即为，
① 得： ③，
② 得， ④，
③＋④得，
解得： ，
把 代入②中，得 ，
所以原方程的解为 ．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意求出 的值是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知关于 、 的方程组 ．
（1）若 ，求实数a的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据方程组分别用a表示出 、 的值，代入 求解即可；
（2）根据方程组分别用a表示出 、 的值，代入 求解即可
解：（1）由方程组 ，
②-①得： ，
将 代入 得： ，
又∵ ，
∴ ，
解得： ；
（2）由（1）可知 ， ，
又∵ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ．
【点拨】此题考查了二元一次方程和不等式结合的含参数问题，，解题的关键是根据
题意列出关于参数a的方程或不等式．
【变式2】已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：
①当 时，方程组的解也是方程 的解；
②当 时， ；
③不论t取什么实数， 的值始终不变；
④若 ，则z的最小值为 ．
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
【答案】②③④【分析】利用二元一次方程组的解，以及二元一次方程解的定义判断即可．
解：①当 时，方程组的解也是方程 的解，错误；
理由：把 代入方程组得： ，
解得： ，
把 代入 得：左边 右边，不符合题意；
②当 时， ，正确；
理由：由 ，得到 ，
解得： ，符合题意；
③不论 取什么实数， 的值始终不变，正确；
理由： ，
① ②得： ，即 ，
① ②得： ，即 ，
，符合题意；
④若 ，则 的最小值为 ，正确；
理由： ，最小值为 ，符合题意．
∴正确的结论为：②③④．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成
立的未知数的值．
类型六、同解原理
6．已知关于 ， 的方程组 和 的解相同，求的值．
【答案】-1
【分析】把方程组中的两个已知方程组合可得 ，解方程组可得： ，
再代入另外两个方程，求解 从而可得答案.
解：根据题意得：
① ② ：
把 代入①：
把 代入 得
解得：
【点拨】本题考查的是同解方程组，二元一次方程组的解法，利用同解的含义重组方
程组是解题的关键.
举一反三：
【变式1】若方程组 和方程组 有相同的解，求a，b的值．
【答案】a的值为 ，b的值为l
【分析】根据方程组 和 同解可以得到 求出这个方程组
的解，然后代入另外两个方程求出a、b即可.解：∵方程组 和 同解
∴可得
把① -②得：
把 代入①，解得：
∴方程组的解为：
把 ， 代入另外两方程得：
解得：
∴a的值为 ，b的值为l.
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的同解问题，解题的关
键在于能够熟练掌握相关性质求解.
【变式2】已知方程组 和 有相同的解．
（1）求 ， 的值；
（2）若某三角形的三边长为 ， ， ，请求这个三角形的面积．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）解方程组求解即可；（2）根据勾股定理判断三角形为直角三角形，在
计算即可；
解：（1）解方程组 ，得 ，
把 代入第二个方程组得 ，
解得 ；
（2）∵ ， ，
∴以 ， ， 为边的三角形是直角三角形，．
∴ ．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解，结合勾股定理计算是解题的关键．
