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专题5.15 分式方程（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
【知识点一】分式方程的定义
1．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程 的根为2；③方程
的最简公分母为 ；④ 是分式方程．其中正确的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列结论正确的是（ ）
A． 是分式方程 B．方程 ＝1无解
C．方程 的根为x＝0 D．解分式方程时，一定会出现增根
3．在下列方程组中，（ ）是分式方程．
A． ＝1 B．
C． D．
【知识点二】解分式方程
4．如果关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且关于y的分式方程
的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．分式方程 解是（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
6．已知 ，则方程 ＝ 的解是（ ）A． B． C． D．
【知识点三】根据分式方程解的情况求值
7．若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于y的分式方程
的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．－15 B．－13 C．－7 D．－5
8．若整数a使关于x的分式方程 ﹣2＝ 有整数解，则符合条件的所有a之和为
（ ）
A．7 B．11 C．12 D．13
9．若关于 的方程 的解为负数，且关于 的不等式组 无解．
则所有满足条件的整数 的值之积是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【知识点四】分式方程无解问题
10．若数 使关于 的方程 无解，且使关于 的不等式组
有整数解且至多有 个整数解，则符合条件的 之和为（ ）
A． B． C． D．
11．已知关于x的分式方程 无解，实数m的值为 （ ）
A．－4 B．－10 C．－4或－10 D．±1
12．若关于x的分式方程 无解，则m的值为（ ）A．﹣3或 B． 或
C．﹣3或 或 D．﹣3或
【知识点五】列分式方程
13．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，平均每人每天比
原来多投递5件，公司投递快件的能力由每天320件提高到480件，若快递公司的快递员
人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根
据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产3件，因此提前2
天完成计划，列方程为( )
A． B． C． D．
15．东京奥运会测试赛中，中国女排在对日本女排的8局比赛中一局不失，双杀对手．某
公司为迎接女排姑娘回国，计划制作1000面小国旗，由于提前结束赛事，实际每天比计划
多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x面小国旗，可列方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【知识点六】分式方程的实际应用
16．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载
了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与
一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3
文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株
椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽的数量为 株，则符合题意的方
程是（ ）A． B．
C． D．
17．某工程队经过招标，中标200千米的修路任务，但在实际开工时……，求实际每天修
路多少千米？在这个题目中，若设实际每天修路 千米，可得方程 ．则题
目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修5千米的路，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修5千米的路，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修5千米的路，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修5千米的路，结果提前10天完成
18．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车，已知小王家距上班
地点 ，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多 ，
他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的 ，小王乘公交车上班
平均每小时行驶（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【知识点一】分式方程的定义
19．阅读下列材料：① 的解为x＝1，② 的解为
x＝2，③ 的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反
映上述方程一般规律的方程 ___，这个方程的解为 ___．
20．在下列方程：① 、② 、③ 、④ 、⑤ 中，分
式方程的个数有__________．21．下列关于x的方程① ，② ，③ 1，④ 中，是分式
方程的是 ( )（填序号）
【知识点二】解分式方程
22．方程 的解为______．
23．解方程 ，若设 ，则原方程可化为关于y的整式方程是 __
24．使分式 与 的值相等的x的值为 _____．
【知识点三】根据分式方程解的情况求值
25．从－2、－1、－ 、0、1这五个数中随机地取一个记为数 ，则关于 的不等式组
有三个整数解，且使得关于 的方程 的解为非负数的概率是
_________ ．
26．关于x的方程 的解是负数，则m的取值范围是______．
27．若实数a使关于x的分式方程 的解为正数，且使关于y的不等式组
的解集为y>a，求符合条件的所有整数a的和为______．
【知识点四】分式方程无解问题
28．若关于x的分式方程 无解，则m=___________．
29．若分式方程 有增根，则k=____________．
30．若关于x的方程 ＋3＝ 无解，则k＝________．
【知识点五】列分式方程31．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量
生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂．为了
应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成
的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．设该厂当前参加生产的工人有x人，根据
题意可列方程为：________．
32．在课外活动跳绳时，小林跳90下所需时间比小群跳160下所需时间少半分钟.已知小群
每分钟跳的次数比小林每分钟所跳次数多 倍，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方
程为_______．
33．数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的
长度，如三根琴弦长度之比为15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它
们就能发出很和谐的乐音，研究这三个数的倒数发现： ，因此我们称15，
12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为
__________．
【知识点六】分式方程的实际应用
34．如图，有两只大小不等的圆柱形无盖空水杯（壁厚忽略不计），将小水杯放在大水杯
中，并将底部固定在大水杯的底部，现沿着大水杯杯壁匀速向杯中注水，直至将大水杯注
满，大水杯中水的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则图中字
母a的值为_________．
35．甲种原料与乙种原料的单价比为2：3，将价值2000元的甲种原料与价值1000元的乙
种原料混合后．单价为9元，则乙种原料的单价为_____元．
36．为参加无锡2021马拉松比赛，小林与小雨两名同学，在学校运动场400米环形跑道上
进行训练，两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，小雨每秒钟比小林少跑3米，小林
每圈花费的时间比小雨少30秒，则小林跑步的速度为每秒 _____米．三、解答题
37．学习了分式方程的解法后，老师布置了解方程 ．小强同学的解法如下
解：方程两边同乘 ，得：
……①
……②
……③
检验：当 时， ……④
∴原分式方程的解为 ……⑤
同桌把答案代入原方程，发现这个解有误．
(1)小强解方程的过程中，第______，______步出现错误．原因是：______．
(2)请你写出正确的解答．
38．解方程：
(1) ； (2) ．
39．已知：x满足 ，求 的值．
40．若关于x的不等式组 有解，且使得关于y的分式方程
有非负整数解，求所有的整数m的和．41．请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：
（1）已知关于x的方程 的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程 无解．求n的取值范围．
42．为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”登陆某市中心城区，某公司拟在甲、
乙两个街道社区投放一批“共享单车”，这批自行车包括A，B两种不同款型．请解决下
列问题：
(1)该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两型自行车各50辆，投放成本共计
20500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，求A，B两型自行车的成本单价各是
多少？
(2)该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“共享单车”，乙街区每
1500人投放2a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投
放1200辆，如果两个街区共有12万人，试求a的值．
43．“高山云雾出名茶”，得天独厚的自然地理环境，宜人的亚热带季风气候，冬不寒冷，
夏不炎热，造就了云南丰富茶树品种资源．某茶叶专卖店准备购买A、 两种茶叶进行销
售，如果分别用1600元购买A、 两种茶叶，购买A种茶叶的数量比购买 种茶叶的数量
少2千克，已知 种茶叶的单价为A种茶叶单价的 ．
(1)求A、 两种茶叶的单价分别为多少元？
(2)茶叶专卖店计划购买A、 两种茶叶共60千克，总费用不多于10400元，并且要求A种
茶叶数量不能低于15千克，那么应如何安排购买方案才能使总费用最少，最少费用应为多
少元？参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【详解】
解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；
方程 的根为x=2，故②正确；方程 的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；
是分式方程，故④正确；
故选：B．
【点睛】
此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及
正确解方程是解题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义和分式方程的增根的意义即可判断．
【详解】
解：A．原方程中分母不含未知数，不是分式方程，
所以A选项不符合题意；
B．解方程，得x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是原方程的增根，
所以原方程无解，
所以B选项符合题意；
C．解方程，得x＝0，
经检验x＝0是原方程的增根，
所以原方程无解，
所以C选项不符合题意；
D．解分式方程时，不一定会出现增根，
只有使分式方程分母的值为0的根是增根，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根、分式方程的定义，解决本题的关键是掌握分式方程的相关知
识．
3．A
【解析】【分析】
根据分式方程定义进行解答即可．
【详解】
A、是分式方程，故此选项符合题意；
B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；
C、不是分式方程，故此选项不符合题意；
D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了分式方程，关键是掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
4．A
【解析】
【分析】
解不等式组，得到不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分
式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值．
【详解】
解：不等式组 ，
解①得，x≤6，
解②得，x＞ ，
∴不等式组的解集为 ＜x≤6；
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴2≤ ＜3，
解得，6≤a＜10；
解分式方程 得，y= ；
∵方程的解为非负数，
∴8-a＞0且即a＜8且 ；
综上可知：6≤a＜8且 ；
∵a是整数，
∴a=6，即符合条件的所有整数 的个数是1．
故选：A．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
先去分母，再求出整式方程的解，将所求的解进行检验，最后得出结论．
【详解】
去分母得 x+3=1
解得 x=-2 ，
经检验，x=-2是方程的解，
故选：B．
【点睛】
本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对分式方程的根进行检验是解题的
关键．
6．B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用即可求出t的值，将t的值代入该分式方程，
根据解分式方程得步骤，解出x，再检验即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴原方程为： ，
整理得： ，去分母，得： ，
解得： ．
经检验 是原方程的解，
所以原方程的解为 ．
故选B．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用，解分式方程．掌握幂的运算法则和解
分式方程的步骤是解题关键，注意解分式方程要验根．
7．B
【解析】
【分析】
由不等式组的解求出a的取值范围，再根据分式方程的解验证a的取值即可；
【详解】
解：由 可得： ，
由 可得： ，
∴ ， ，
解分式方程可得： （y≠-1），
∵分式方程的解为负整数，
∴a=-8或-5，
∵-8-5=-13，
故选： B．
【点睛】
本题考查了根据不等式组和分式方程的解的情况求参数，注意分式方程的分母不能为零．
8．D
【解析】
【分析】
根据分式方程的解为整数解，即可得出a=-1，1，2，4，7，据此计算即可．【详解】
解分式方程 ﹣2＝ ，得： ，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，
∴a=-1，1，2，4，7．
故符合条件的所有a之和为：-1+1+2+4+7=13．
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
9．B
【解析】
【分析】
分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足
条件的整数a的值之积．
【详解】
解：将分式方程去分母得：a(x－1)＋(x＋1)(x－1) = (x＋a)(x＋1)，
解得：x=－2a－1，
∵解为负数，
∴－2a－1<0，
解得： ，
∵当x=1时，a=－1；x=－1时，a=0，此时分式的分母为0，无意义，
∴ ；
将不等式组整理得： ，
∵此不等式组无解，
∴ ，
∴a的取值范围为： ，
∴所有满足条件的整数a的值为：1，2．
∴所有满足条件的整数a的值之积是： ．故选：B
【点睛】
本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根
的情况及熟练掌握不等式组解集的求解方法是解题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
让最简公分母y（y+1）（y-1）=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，
得到m的值，解不等式组，根据题意确定m的范围，即可确定m的值，根据题意计算即可．
【详解】
，
方程两边同乘 ，得 ，
原分式方程无解，
最简公分母 ，
解得 或 或 ，
当 时， ，
．
当 时， ，
．
当 时， ，
．
解不等式组 得 ，
关于 的不等式组 有整数解且至多有 个整数解，
，
，则符合条件的所有整数为： 、 ，
所有满足条件的整数 的值之和为： ，
故选： ．
【点睛】
本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不
等式组的一般步骤是解题的关键．
11．C
【解析】
【分析】
由分式方程有意义有 ，方程无解即系分式方程求得的解刚好是 ，进而求得m的值．
【详解】
解：分式方程两边同乘以 ，得： ；
解得： ，
由分式方程有意义，有：
，即 ；
∵分式方程无解，
∴ ；
解得 或 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程的求解，明白方程无解即方程的解刚好使得分式方程无意义是解题的关
键．
12．C
【解析】
【分析】
首先最简公分母为0，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字
母系数为0，满足这两个条件求出m的值．【详解】
解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x＝3或x＝﹣3，
1 2
原分式方程可化为： 1 ，
去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2），
整理得（3+m）x＝﹣7，
∵分式方程无解，
∴3+m＝0，
∴m＝﹣3，
把x＝3或x＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7，
1 2
得m 或m ，
综上所述：m的值为m 或m 或m＝﹣3，
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次
项系数为0，最简公分母为0．
13．B
【解析】
【分析】
设原来平均每人每天投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每天投递快件
（x+5）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
解：设原来平均每人每天投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每天投递快
件（x+5）件，依题意得：
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
14．B【解析】
【分析】
根据相等关系：现在每天生产的零件数=原计划每天生产的零件数+3，即可列出方程．
【详解】
由题意，原计划每天生产的零件数为： 个，采用新技术后每天生产的零件数为：
个，根据等量关系得方程：
故选：B
【点睛】
本题考查了列分式方程，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
15．D
【解析】
【分析】
设原计划每天制作x面小国旗，则实际每天制作为（1+20%）x，根据结果比原计划提前2
天完成任务，列出方程即可．
【详解】
解：设原计划每天制作x面小国旗，可列方程为：
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量
关系，列出方程．
16．C
【解析】
【分析】
根据单价=总价÷数量，结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得
出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得：故选：C
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出的分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关
键．
17．D
【解析】
【分析】
根据分式方程以及题意，求解即可．
【详解】
解：由题意可得，实际每天修路 千米， 表示计划每天修路的长，
则实际每天比原计划多修5千米的路，
表示计划工期， 表示实际工期
则表示实际工期比计划工期少10天，即结果提前10天完成，
故选：D
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解分式方程中每个式子的含义是解题的关键．
18．C
【解析】
【分析】
设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 ，则乘公交车平均每小时行驶 ，
求出自驾所花时间，和乘公交车所需时间，利用乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的
，列等量关系式求解即可．
【详解】
解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 ，则乘公交车平均每小时行驶
，
由题意得： ，
解得： ，经检验， 是原方程的解，
则 ，
即小王乘公交车上班平均每小时行驶 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出等量关系：乘公交车所用的时间是自驾车所
用时间的 ，列方程求解．
19．
【解析】
【分析】
根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案．
【详解】
解：方程为： ，解为 ，
故填： ， ．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
20．3
【解析】
【分析】
根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可．
【详解】
解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程；
方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；
故答案为3．
【点睛】
本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
21．②
【解析】
【分析】
分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，
等号两边至少有一个分母含有未知数．
【详解】
根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.
【点睛】
本题考查的是分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义.
22．
【解析】
【分析】
先去分母，整理成整式方程，求解即可．
【详解】
解：两边同乘以 去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：当 时 ，
∴方程的解为 ．
【点睛】
本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母变成整式方程再进行
求解．
23．
【解析】
【分析】
把 代入原方程，去分母化简即可．
【详解】解：把 ，代入原方程得， ，
去分母，得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了换元法解方程，解题关键是熟练运用代入法进行换元，准确化简方程．
24．9
【解析】
【分析】
根据题意得到方程 ，解出即可求解．
【详解】
解：根据题意得： ，
去分母得：3(x+1)=2(2x−3)，
解得：x=9，
检验：当x=9时，(2x-3)(x+1)≠0，
∴原方程的解为x=9，
即使分式 与 的值相等的x的值为9．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
25．
【解析】
【分析】
首先求得关于 的方程 的解为非负数时 的值，满足关于 的不等式组
有三个整数解时 的值，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解： 关于 的方程 的解为非负数，
，
，即
当 时，x=3有增根，舍去，
、 、0，
满足关于 的不等式组 有三个整数解，即不等式组有解，
且 有三个整数解，
，
使得关于 的方程 的解为非负数，且满足关于 的不等式组 有三个
整数解的有1个，
使关于 的不等式组 有三个整数解，且使得关于 的方程 的解为非
负数的概率是： ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用、分式方程解的情况以及不等式组的解集，解题的关键是掌握
并理解：概率是所求结果数与总结果数之比．
26． 且
【解析】
【分析】
由分式方程有意义可知 ，由方程的解是负数可知 ，表示出方程的解代入其满足的
条件即可确定m的取值范围.
【详解】
解：方程两边同乘以 得 ，
解得 ，
由分式方程有意义可知 ，即 ，
可得 ，即 ，
由方程的解是负数可知 ，
可得 ，即 ，
所以m的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题考查了分式方程，已知解的情况求参数，灵活的表示出分式方程的解是解题的关键，
解题过程中不要忽视分母不等于0这一条件．
27．13
【解析】
【分析】
先解分式方程得x= ，再由题意可得 ＞0，且 ≠1，可求得a＜6且a≠2；再解
不等式组，结合题意可得a＞1，则可得所有满足条件的整数为1，3，4，5，求和即可．
【详解】
解： ，
2-a=4（x-1），
2-a=4x-4，
4x=6-a，
x= ，
∵方程的解为正数，
∴6-a＞0，
∴a＜6，
∵x≠1，
∴ ≠1，
∴a≠2，
∴a＜6且a≠2，，
由①得y≥1，
由②得y＞a，
∵不等式组的解集为y＞a，
∴a≥1，
∴符合条件a的整数有1，3，4，5，
∴符合条件的所有整数a的和为13，
故答案为：13．
【点睛】
本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集取
法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
28．3
【解析】
【分析】
首先根据最简公分母为0，求出增根，再把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，
或字母系数为0，根据这两个条件分别求出m的值即可．
【详解】
解：当x-2=0时，x=2，
去分母：3x=m+3+(x-2)，
去括号：3x=m+3+x-2，
移项：3x-x=m+1，
合并同类项：2x=m+1，
系数化为1：x= ，
∴ =2，
解得m=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一 次项系数为0，最简公分母为0．
29．0
【解析】
【分析】
根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让
最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．
【详解】
解：方程两边都乘以x﹣2，得：
2（x﹣2）+（1﹣kx）＝1．
由分式方程有增根，得x＝2是分式方程的增根．
当x＝2时，1-2k=1,
k=0．
故答案为0．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
30．1或-3## -3或1
【解析】
【分析】
去分母，化分式方程为整式方程，分k＝-3和k≠-3两种情形解答：k＝-3时，整式方程无解；
k≠-3时，分式方程产生增根x＝3时，分式方程无解．
【详解】
解：去分母，得：
，
移项，合并同类项，得：
当k＝-3时，此整式方程无解；
当k≠-3时，
∵x＝3是原方程的增根，∴ ，
解得： ．
综上，k的值为：1或-3．
故答案为：1或-3．
【点睛】
本题考查了解分式方程，分式方程的增根，分类讨论是解题的关键．
31．
【解析】
【分析】
设当前参加生产的工人有x人，然后根据计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，
有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时
增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂，列出方
程即可．
【详解】
解：设当前参加生产的工人有x人，
依题意得： ．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程．
32．
【解析】
【分析】
设小林每分钟跳x下，那么小群每分钟跳 下．根据等量关系：小林跳90下所用的
时间=小群跳160下所用的时间- 分，可列出方程．
【详解】解：设小林每分钟跳x下，那么小群每分钟跳 下．
根据题意得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键．
33．15或 或
【解析】
【分析】
根据题意分3种情况讨论，然后分别列出方程求解即可．
【详解】
解：当 时，x，5，3，这三个数为一组调和数，
∴ ，解得∶ ，
经检验， 是原方程的根；
当 时，5，x，3，这三个数为一组调和数，
∴ ，解得∶ ，
经检验， 是原方程的根；
当 时，5，3，x，这三个数为一组调和数，
∴ ，解得∶ ，
经检验， 是原方程的根；
综上所述，若要组成一组调和数，则x的值为15或 或 ．
故答案为：15或 或 ．
【点睛】本题考查了数学常识，解分式方程，理解已知中的调和数是解题的关键，同时渗透了分类
讨论的数学思想．
34．80
【解析】
【分析】
不难发现，从60到a秒是向小杯中注入水的时间，然后根据a秒后注入水的升高速度与整
个过程的注入水的平均升高速度相等列出方程求解即可．
【详解】
解：a秒后小杯注满水，根据水在大杯中的平均升高速度相等可得：
解得： ，
经检验得出： 是原方程的根，
故a的值为80．
故答案为：80．
【点睛】
本题考查一次函数的应用．理解注水过程，根据注入水在大水杯中的升高速度相同列出方
程是解题的关键，也是本题的难点．
35．12
【解析】
【分析】
设乙种原料的单价为x元，则由已知得乙种原料的单价为 元，分别表示出甲乙原料的重
量相加等于混合后的重量列方程求解．
【详解】
设乙种原料的单价为x元，则由已知得乙种原料的单价为 元，根据题意得：
，
解得：x=12，
经检验：x=12是原方程的根．
故答案为：12．【点睛】
此题需用分式方程解决，应注意的是分式方程需验根．
36．8
【解析】
【分析】
设小林跑步的速度为x米/秒，由路程÷速度＝时间，结合小林每圈花费的时间比小雨少30
秒，列出分式方程，解方程即可．
【详解】
解：设小林跑步的速度为x米/秒，则小雨跑步的速度为（x﹣3）米/秒，
依题意，得： 30，
解得：x＝8，
经检验，x＝8为原分式方程的解，且符合题意，
即小林跑步的速度为每秒8米，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
37．(1)①；②；利用等式的性质漏乘；，分子分母是互为相反数直接约分了；
(2)见解析
【解析】
【分析】
检查小强同学的解题过程，找出出错的步骤，以及错误的原因，写出正确的解题过程即可．
(1)
第①、②步出现错误，错误的原因是利用等式的性质漏乘，分子分母是互为相反数直接约
分了；
故答案为：①；②；利用等式的性质漏乘；，分子分母是互为相反数直接约分了；
(2)
解：方程两边同乘 ，得：检验：当 时，
∴原分式方程的解为
【点睛】
此题考查了解分式方程，解方程去分母时注意各项都乘以各项的最简公分母．
38．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）方程的两边都乘以x（x+3），得出x+3=5x，求出这个整式方程的解，再代入x
（x+3）进行检验即可；
（2）方程的两边都乘以（2x+5）（2x-5），得出2x（2x+5）-2（2x-5）=（2x+5）
（2x-5），求出这个整式方程的解，再代入（2x+5）（2x-5）进行检验即可．
(1)
方程的两边都乘以x（x+3），去分母，得：
化简，得
解得
经检验 是原方程的解
所以，方程的解为 ；
(2)
方程的两边都乘以（2x+5）（2x-5），去分母，得：
化简，得
解得经检验， 是原方程的解
所以，方程的解为
【点睛】
本题考查了分式方程的解法．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
39． ， ．
【解析】
【分析】
根据分式方程的解法求x的值；结合平方差公式化简分式再求值；
【详解】
解：
去分母得： ．
解得： ．
经检验 是原方程的解．
原式
当 时，原式 ．
【点睛】
本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式
方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解；分式的化简求值；熟练掌握因式
分解的方法是解题关键．
40．-7
【解析】
【分析】解不等式组中的不等式，根据不等式组有解，确定m的取值范围．解分式方程，用含m的
代数式表示出y，根据方程有非负数解结合m的取值范围确定符合条件的m即可求解．
【详解】
解： ，
解①，得 ，
解②，得 ，
因为关于x的不等式有解，
，
，
解分式方程 ，
得 ，
由于分式方程有非负整数解
∴y≥0
∴ ≥0
解得m≥-5
∴m的取值范围为-5≤m≤1
又∵y是整数
∴m=-5，-2，1
又∵y≠2（y=2是分式方程的增根）
∴m≠1
∴所有的整数m的和是 ．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法、分式方程的解法及非负数的意义．解决本题的关键
是确定m的取值范围．
41．（1） 且 ；（2） 或n=1．
【解析】
【分析】（1）先求出分式方程的解，然后根据方程的解为负数可得关于m的不等式组，解不等式
组即可求出答案；
（2）先把分式方程转化为整式方程，然后由方程无解分整式方程无解和分式方程有增根两
种情况解答即可．
【详解】
解：（1）去分母，得 ，
当 时，解得： ，
∵ 方程有解，且解为负数，
∴ ，解得 且 ；
（2）方程两边同时乘以（x－3），约去分母得： ，
整理得： ，
当n－1=0时，方程无解，此时n=1；
当 时， ，
要使方程无解，则有 ，解得： ；
综上， 或n=1．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法和分式方程无解问题，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解
法是解题的关键．
42．(1)A，B两型自行车的单价分别是200元和210元；
(2)a的值为20．
【解析】
【分析】
（1）设A型车的成本单价为x元，B型车的成本单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据等量关系，列关于a的方程求解即可．
(1)解：解：设A型车的成本单价为x元，B型车的成本单价为y元.
依题意得
解得 ， ，
∴A，B两型自行车的单价分别是200元和210元；
(2)
解：由题意得： ，
解得 ，
经检验： 是所列方程的解，
∴a的值为20
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是找出等量关系，根
据等量关系列方程（组）．
43．(1)A种茶叶的单价为200元 ， 种茶叶的单价为160元
(2)当A种茶叶购买15千克， 种茶叶购买45千克时，费用最少，最少为10200元
【解析】
【分析】
(1)设A种茶叶单价 元 ，则 种茶叶单价为 元 ，根据题意得到分式方程，解方
程即可得出结论；
(2)设购买 种茶叶 千克，总费用为 元，则购买 种茶叶 千克，可得一次函数
的解析式，再由 可得m的取值范围，最后根据一次函数的性质，即
可解答．
(1)
解：设A种茶叶单价 元 ，则 种茶叶单价为 元 ，根据题意得： ，
解得： ，
经检验 是原分式方程的解且符合题意，
∴ （元），
答：A种茶叶的单价为200元 ，则 种茶叶的单价为160元 ；
(2)
解：设购买 种茶叶 千克，总费用为 元，则购买A种茶叶 千克，
，
由题意可得
解得， ，
∵ ， ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， 取得最小值，此时 元，其中 ，
答：当A种茶叶购买15千克， 种茶叶购买45千克时，费用最少，最少为10200元．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用及一元一次不等式组的应用，解决本题
的关键是读懂题意，找到符合题意的相应的关系式是解决问题的关键，注意第二问应求得
整数解．
