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专题5.14 分式方程（基础篇）（专项练习）
一、单选题
【知识点一】分式方程的定义
1．下列说法正确的是（ ）．
A． 是分式方程 B． 是无理方程
C． 是二元二次方程组 D． 是二项方程
2．下列各式中属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于 的方程，其中不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【知识点二】解分式方程
4．方程 的解为（ ）．
A． B． C． D．
5．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D． ．
6．解分式方程 时，去分母这一步方程两边不能同时乘以（ ）
A． B． C． D．
【知识点三】根据分式方程解的情况求值
7．若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A． B． 且 C． D． 且
8．已知关于x的分式方程 的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤19．关于x的方程 有增根，则m的值是（ ）
A．0 B．2或3 C．2 D．3
【知识点四】分式方程无解问题
10．已知关于 的分式方程 － ＝1无解，则 ＝（ ）
A．－3 B．1 C．2 D．3
11．关于 的方程 有增根，则 的值及增根 的值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
12．关于x的分式方程 无解，则m的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【知识点五】列分式方程
13．2021年3月12日，为了配合创建文明、宜居的北京城市副中心，某学校甲，乙两班学
生参加城市公园的植树造林活动，已知甲班每小时比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用
时间与乙班植70棵树所用时间相同，如果设甲班每小时植树x棵，那么根据题意列出方程
正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实
际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工
程，设实际每天修建盲道x米，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
15．八年级学生去距学校 的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 后，
其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑
车学生的速度为 ，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【知识点六】分式方程的实际应用16．某工程队在西城路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，
施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程 ，根据已有信
息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（ ）
A．每天比原计划少铺设10米，结果延迟15天完成
B．每天比原计划多铺设10米，结果延迟15天完成
C．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成
D．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成
17．甲队修路400m与乙队修路600m所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20m，求甲队
每天修路的长度．为了解决上述问题，佳佳列出了两个方程： ，
．方程中的x和y表示的意义，其中说法正确的是（ ）
A．x表示甲队修400m所用的时间 B．x表示甲队每天修路的长度
C．y表示乙队每天修路的长度 D．y表示乙队修400m所用的时间
18．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三
十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝
米…” ．问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米
为（ ）
A．1.8升 B．1.6升 C．18升 D．16升
二、填空题
【知识点一】分式方程的定义
19．在方程 中，分式方程有______个．
20．下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ ．
21．请写出一个只含有未知数 且根是 的分式方程__________．【知识点二】解分式方程
22．方程 的解是______．
23．对于实数a，b定义一种新运算“ ”为 ，这里等式右边是实数运算．
例如 ，则方程 的解是__．
24．用换元法解方程 ，如果设 ，那么原方程可以化为关于y的
整式方程是________．
【知识点三】根据分式方程解的情况求值
25．已知关于x的方程 的解大于1，则m的取值范围为________．
26．已知x＝2是分式方程 的解，则a的值为______．
27．已知关于x的方程 无解，则a的值为________．
【知识点四】分式方程无解问题
28．若关于x的分式方程 有增根时，则m的值为 _____．
29．若关于x的分式方程 有增根 ，则k的值为____.
30．方程 无解，那么 的值为________．
【知识点五】列分式方程
31．疫情无情人有情，某制药厂要为抗击疫情第一线捐赠一种急救药品，有两种包装，大
瓶比小瓶可多装20克该药品，已知120克这一药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶瓶
数的1.5倍．设小瓶每个可装这一药品x克，则可列方程为_______．
32．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较
拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比
走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，列方程
为 _____．
33．某工厂现在平均每天比原计划多生产35台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意可列出方程
为_____．
【知识点六】分式方程的实际应用
34．在一个不透明的口袋中装有10个白球和 个红球，它们除颜色外完全相同.若从中随
机摸出一球；摸到红球的概率为 ，则 的值为______________.
35．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统
习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉
粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．则豆沙粽每盒的进价______．
36．为落实“美丽科技城新区”的工作部署，市政府计划对新区道路进行改造，现安排甲、
乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造720米的道路
比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付
费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工
作______天．
三、解答题
37．解方程：
(1) (2)
38．计算或解方程：
(1)计算： ； (2)解方程： ．
39．解分式方程：(1) ； (2) ．
40．已知关于 的分式方程
（1）若分式方程的解为 ，求 的值
（2）若分式方程有正数解，求 的取值范围
41．已知：关于x的分式方程
（1）若方程有增根，求a的值．
（2）若方程无解，求a的值．
42．抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每
天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个
口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少万个口罩?
43．2021年是建党100周年，各种红色书籍在网上热销．某网店购进了相同数量的甲、乙
两种红色书籍，其中甲种书籍共用了1600元，乙种书籍共用了2000元，已知乙种书籍每
本进价比甲种书籍贵4元．
(1)甲、乙两种书籍每本进价各是多少元?
(2)这批商品上市后很快销售一空．该网店计划按原进价再次购进这两种商品共100件，将
新购进的商品按照表格中的售价销售．设新购进甲种书籍数量不低于乙种书籍的数量（不
计其他成本）．种类 甲 乙
售价（元/件） 24 30
问：网店怎样安排进货方案，才能使销售完这批商品获得的利润最大?最大利润是多少？
44．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，
用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售
价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不
低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？请设计出销售这40件商品获得总利润
最大的进货方案．
45．接种疫苗是阻断病毒传播的有效途径，为了保障人民群众的身体健康，我国目前正在
开展新冠疫苗大规模接种工作．某区现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲接种点每小
时接种疫苗的支数是乙接种点的1.2倍，接种600支疫苗，甲接种点比乙接种点少用2小时
完成，问甲接种点每小时接种多少支疫苗？
46．甲、乙两支工程队修一条公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多
20m，甲队修路500m与乙队修路300m用的天数相同．
(1)求：甲、乙两支工程队每天各修路多少米？(2)计划修建长2400m的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条路的修建．若
甲队每天需要费用为1.2万元，乙队每天需要费用为0.6万元，在总费用不超过54万元的
情况下，至少安排乙队施工多少天？
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据分式方程、无理方程、二元二次方程组、二项方程的定义，即可一一判定．
【详解】
解：A选项： 是一元一次方程，故错误；
B选项： 是分式方程，故错误；
C选项： 是二元二次方程组，故正确；
D选项： 是不是二项方程，故错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程、无理方程、二元二次方程组、二项方程的定义，掌握各方程的定义
是解决本题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义即可求出答案．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式
方程．
【详解】
解：A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；
B、是一元二次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；C、是分式方程，故本选项符合题意；
D、不是方程，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫
做分式方程．
3．C
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义即可求出答案．
【详解】
分式方程是分母含有未知数的等式．
A、 分母含未知数，是分式方程，不符合题意；
B、 分母含未知数，是分式方程，不符合题意；
C、 分母不含未知数，不是分式方程，符合题意；
D、 分母含未知数，是分式方程，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就
是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
4．D
【解析】
【分析】
去分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，验根即可．
【详解】
解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得 ，经检验 是该方程的解，
故选：D．
【点睛】
本题考查解分式方程，熟知解分式方程的方法以及注意解分式方程一定要验证根是解题的
关键．
5．B
【解析】
【分析】
利用偶次方的非负性可对A选项进行判断；通过解分式方程可对B选项、C选项进行判断；
通过算术平方根的非负性可对D选项进行判断．
【详解】
解：A、x2≥0，x2+16＞0，方程x2+16=0没有实数解，故此选项不符合题意；；
B、 ，去分母，得x2=x2-6x+9，解得x= ，经检验，x= 是原分式方程的解，
所以原分式方程有实数解x= ，故此选项符合题意；
C、 ，去分母，得3x-9=x2-3x，解得：x=x=3，经检验，x=3不是原分式方程的
1 2
根，是增根，故原分式方程无解，故此选项不符合题意；
D、∵ ≥0，∴ =-1无实数根，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了偶次方的非负性，算术平方根的非负性，解分式方程，解分式方程的基本思想
是把分式方程转化为整式方程来解，在变形时往往会产生增根，应注意验根．
6．D
【解析】
【分析】
利用解分式方程中的去分母求解即可．
【详解】
解：将 转化成 ，∴A. ，能同时乘以，故不符合题意；
B. ，能同时乘以，故不符合题意；
C. ，能同时乘以，故不符合题意；
D. ，不能同时乘以，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查解分式方程，最简公分母，解题的关键是找出分式的最简公分母．
7．B
【解析】
【分析】
先解分式方程，再根据该方程解为整数及有意义的条件即可得m的不等式，进一步即可得
m的取值范围．
【详解】
解：解方程 得，x=m-2，
∵该方程的解是正数，且x-1≠0，
∴m-2>0，且m-2-1≠0，
∴m>2且m≠3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据分式方程的解法用参数表示x，再根据分式方程解的情况和分式方程有意义的条件列
出不等式组并求解即可．
【详解】
解：∵关于x的分式方程 的解是非负数，∴解该方式方程得 ．
∴
∴a≥1，且a≠9．
故选：C．
【点睛】
本题考查根据分式方程解的情况求值，熟练掌握该知识点是解题关键．
9．D
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x－2=0，求出x的值，代入整
式方程即可求出m的值．
【详解】
解：去分母得： ，
∴ ，
∵关于x的方程 有增根，
∴x－2=0，
解得：x＝2
∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查根据分式方程根的情况求参数的值．根据分式方程有增根求出x的值，并代
入去分母后转化的整式方程中求m的值是解题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
先化成整式方程，把x=2代入整式方程，确定k值即可．
【详解】∵ － ＝1，
∴k+3=x-2，
∵关于 的分式方程 － ＝1无解，
∴x-2=0，
∴k= -3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式方程的无解，熟练掌握分式方程的无解的意义是解题的关键．
11．A
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以先确定增根的可能值，让最简公
分母 ，得到 ，然后代入化为整式方程的方程求出m的值．
【详解】
解：原分式方程两边都乘以 ，得： ，
原方程有增根，
∵最简公分母 ，
∴解得： ，
将 代入 ，得： ，
解得： ，
的值及增根 的值分别为 ， ，
∴故选：A．
【点睛】
本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0；化分式方程
为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关未知数的值．
12．C
【解析】
【分析】
分式方程去分母得x+2（x-1）=-m，再由方程无解可得x=1，代入求出m即可．
【详解】解：分式方程 去分母得，
2-x=m+x，
∵方程无解，
∴x=1，
∴2-1=m+1，
∴m=0，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，根据题意求出x的值后再代入整式方程中进行计算是解题的关
键．
13．A
【解析】
【分析】
设甲班每小时植树 棵，则乙班每小时植树 棵，根据工作时间 工作总量 工作效率，
结合甲班植60棵树所用时间与乙班植70棵树所用时间相同，即可得出关于 的分式方程，
此题得解．
【详解】
解：设甲班每小时植树 棵，则乙班每小时植树 棵，
依题意得： ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，解题的关键是正确列出分式方程．
14．A
【解析】
【分析】
本题属于工程问题，未知量是工作效率：实际每天修建盲道x米．题目告诉了工作总量：
3000米，那么根据工作时间来列等量关系．等量关系为：原计划工作时间 现在工作时间
=2天，据此列出方程．
【详解】
解：实际每天修建盲道x米，则原计划每天修 米．由题意，知原计划用的时间为 天，实际用的时间为： 天，
故所列方程为： ．
故选A．
【点睛】
本题考查用分式方程解决工程问题，工程问题的基本关系式为：工作时间 工作总量 工
作效率．找到关键描述语，得到等量关系是解决问题的关键．
15．C
【解析】
【分析】
根据题目中的等量关系列出分式方程即可．
【详解】
解：由题意可得，
- = ，
故选：C．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，
列出相应的方程．
16．D
【解析】
【分析】
由x表示的意义，可找出（x－10）表示的意义，利用工作时间=工作总量÷工作效率，可找
出 和 表示的意义，再结合所列分式方程，即可找出缺失的条件．
【详解】
解：∵实际每天改造人行道x米，
∴（x－10）表示原计划每天改造人行道的长度，
∴ 表示原计划改造人行道所需时间， 表示实际改造人行道所需时间．
又∵ ，∴每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，理解方程中每个式子代表
的意义．
17．B
【解析】
【分析】
根据两种方程思路，可得出：x表示甲队每天修路的长度；y表示甲队修路400米所需时间
或乙队修路600米所需时间；即可求解．
【详解】
解：∵第一个方程是根据时间相等列出的分式方程，
∴x表示甲队每天修路的长度；
∵第二个方程是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
∴y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间，
故选：B．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18．C
【解析】
【分析】
先将单位换成升，根据“50单位的粟，可换得30单位的粝米”列分式方程，求解即可．
【详解】
由题意得，3斗=30升，
设可以换得的粝米为x升，则
，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
答：可以换得的粝米为18升．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解题意，找准等量关系是解题的关键．
19．3
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】
解：在方程 中，分式方程有 ，
一共3个．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，
也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
20．④⑤⑥⑦⑨
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】
① 是整式方程，故①不符合题意；
② 是整式方程，故②不符合题意；
③ 是整式方程，故③不符合题意；
④ 是分式方程，故④符合题意；
⑤ 是分式方程，故⑤符合题意；
⑥ 是分式方程，故⑥符合题意；⑦ 是分式方程，故⑦符合题意；
⑧ 是整式方程，故⑧不符合题意；
⑨ 是分式方程，故⑨符合题意；
故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
【点睛】
本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．
21．
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义即可得出结论．
【详解】
解：根据题意，得 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解答此题的关键．
22．x=8
【解析】
【分析】
先去分母，把分式方程化为整式方程，然后解这个整式方程即可得到答案．
【详解】
解：方程两边同时乘以 得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的根．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤和检验是解题的关键．
23．x=10
【解析】【分析】
根据新定义的运算求出 ，即得出关于x的分式方程，再解方程即可．
【详解】
解： ，
∴ ，
等式两边同时乘 ，得： ，
解得： ．
经检验 是原分式方程的解．
∴方程 的解是 ．
故答案为：x=10．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算，解分式方程．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关
键．
24．
【解析】
【分析】
由 得到 ，代入原方程整理即可．
【详解】
原方程可变形为
整理得
故答案为： ．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，
根据方程特点设出相应未知数，将分式方程能够转化为整式方程．
25．m＞−5且m≠−4
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解大于1确定出m的范围即可．
【详解】
解：去分母得：2x＋m＝3x−6，
解得x＝m＋6，
由分式方程的解大于1，
得到m＋6＞1，且m＋6≠2，
解得m＞−5且m≠−4
故答案为：m＞−5且m≠−4．
【点睛】
本题考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．
26．
【解析】
【分析】
直接将未知数的值代入方程求解即可．
【详解】
解：将 代入方程，得：
，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，将未知数的值代入方程求出a的值是解题的关键．
27．－5
【解析】
【分析】根据题意可得x＝5，然后把x的值代入 去分母后得到的整式方程中进行计
算即可解答．
【详解】
解： ，
两边同乘以（x﹣5）得
x＝3（x﹣5）﹣a，
∵关于x的方程 无解，
∴x﹣5＝0，
即x＝5
把x＝5代入x＝3（x﹣5）﹣a中可得：
5＝﹣a，
∴a＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点睛】
本题考查了分式方程，把x的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．
28．2
【解析】
【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式
方程的方程即可求出m的值．
【详解】
解： ，
方程两边都乘（x﹣3）得x﹣5＝﹣m，
方程化简得m＝﹣x+5，
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程得m＝2．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了分式方程增根的含义，解题的关键是掌握分式方程增根的含义．29．
【解析】
【分析】
化分式方程为整式方程，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【详解】
解：去分母，得 ，
∴ ，
∵原方程 ＝ 有增根 ，
∴当 时， ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查分式方程的增根，熟练掌握方程的增根的定义，并利用增根定义进行解题求出参
数的值是本题解题的关键．
30．3
【解析】
【分析】
先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得 ，进而求得 的值．
【详解】
解： ，
，
，
，
方程无解，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的计算是解题的关键．
31．
【解析】
【分析】
设小瓶每个可装这一药品x克，则大瓶每个可装这一药品(x＋20)克，根据“120克这一药
品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶瓶数的1.5倍”即可列出方程．
【详解】
解：设小瓶每个可装这一药品x克，则大瓶每个可装这一药品(x＋20)克，
由题意得： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，找到合适的等量关系列方程是解
决问题的关键．
32．
【解析】
【分析】
若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，则走路线二时的平均速度为 ，根据
走路线一用的时间-走线路二用的时间=10分钟，可列出方程．
【详解】
解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，则走路线二时的平均速度为 ，根
据题意得：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列分式方程解解应用题，根据条件找到等量关系是解题的关键．
33．
【解析】
【分析】
设原计划每天生产x台机器，则现在每天生产（x+35）台机器，利用工作时间＝工作总量÷
工作效率，结合现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，
即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
解：设原计划每天生产x台机器，则现在每天生产（x+35）台机器，
依题意得：
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
34．15
【解析】
【分析】
根据摸到红球的概率为 ，列出方程求解即可.
【详解】
解：∵在一个不透明的口袋中装有10个白球和 个红球，
∴共有(10+m)个球，
根据概率公式知：P(红球)＝ ，
解得m＝15.
经检验，m=15是方程的解
故答案为：15.
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．解题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．注意方
程思想的应用．
35．30【解析】
【分析】
设豆沙粽每盒的进价为x元，则猪肉粽每盒的进价为（x+10）元，根据“用8000元购进的
猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同”列出方程，即可求解．
【详解】
解：设豆沙粽每盒的进价为x元，则猪肉粽每盒的进价为（x+10）元，根据题意得：
，
解得：x=30，
经检验： x=30是原方程的解，且符合题意，
答：豆沙粽每盒的进价为30元．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
36．10
【解析】
【分析】
先由甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天，甲队的工作效率是乙队工
作效率的1.5倍，列方程组求出两队的改造速度；再根据费用“不超过”195万列不等式求
解即可；
【详解】
解：设甲队每天改造x米，乙队每天改造y米，甲队工作a天，由题意得：
，解得： ，（经检验符合题意）
∴ ，解得： ，
∴甲队至少工作10天，
故答案为：10
【点睛】
本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题中的等量关系和不等关系列方
程是解题关键．
37．(1)x=6(2)
【解析】
【分析】
按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解分式方程即可．
(1)
3(x-2)=2x，
3x-6=2x，
3x-2x=6，
x=6
经检验，x=6是原方程的解．
(2)
2x-5=3(2x-1)，
2x-6x=5-3
-4x=2，
．
经检验， 是原方程的解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，正确的去分母是解题的关键．
38．(1)1
(2)无解
【解析】
【分析】
（1）先变除为乘，然后因式分解，约分即可；
（2）方程两边都乘（2-x）约去分母，化为一元一次方程，解方程求出x，检验即可．
(1)解：原式
；
(2)
解：去分母得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入最简公分母 中，
，
∴原方程无解．
【点睛】
本题考查分式乘除混合运算，可化为一元一次方程的分式方程，掌握分式乘除混合运算，
可化为一元一次方程的分式方程是解题关键．
39．(1) 是原方程的解
(2)原方程无解
【解析】
【分析】
（1）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可；
（2）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可．
(1)
解： ，
去分母得： ，
移项得： ，
合并得： ，
系数化为1得： ，
经检验 是原方程的解；
(2)
解： ，
去分母得： ，去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
系数化为1得： ，
检验当 时， ，
是原方程的增根；
∴原方程无解．
【点睛】
本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
40．（1） ；（2） 且
【解析】
【分析】
（1）把 代入分式方程求解即可；
（2）先求出分式方程的解，然后根据分式方程的解有正数解求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得： ，
∴
（2）去分母：
解得：
∵分式方程有正数解
∴ 且
∴ 且 ．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解和分式方程有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相
关知识进行求解．
41．（1）-6或8；（2）1或-6或8
【解析】【分析】
（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到 ，然后代入整
式方程，即可求解；
（2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解．
【详解】
（1）方程两边同乘
整理可得：
∵原方程有增根
∴ ，即
当 时，
当 时，
∴ 或 时，方程有增根；
（2）由（1）知：a取-6或8时，原方程无解
当 ，方程 无解
∴ 时，原方程无解
综上所述，a的值为1或-6或8．
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方
程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．
42．口罩厂现在每天生产10万个口罩
【解析】
【分析】
设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产(x + 4)万个口罩，根据工作时间=工作总量
工作效率，结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，
即可得出关于x的分式方程，解方程，即可得出答案．
【详解】
解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，
依题意，得： ，
解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
则x+4＝10，
答：口罩厂现在每天生产10万个口罩
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
43．(1)甲种商品每件进价是16元，则乙种商品每件进价为20元
(2)购进甲种商品50件，乙种商品50件，利润最大，最大利润为900元
【解析】
【分析】
（1）设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价 元，找出等量关系，根据题
意列出分式方程即可求解；
（2）设新购甲种商品m件，则乙种商品为 件，根据题意即可得到y与x之间的函
数关系式；再根据m的取值与一次函数的性质即可求解．
(1)
设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价 元，
由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，当 时， ．
答：甲种商品每件进价是16元，则乙种商品每件进价为20元．
(2)
设新购甲种商品m件，则乙种商品为 件，
由题意可得： ，解得
∴
．
∴y随m得增大而减小，且 ，
∴当 时， ，此时 ．
答：购进甲种商品50件，乙种商品50件，利润最大，最大利润为900元．【点睛】
本题主要考查了列分式方程解决实际问题、一次函数的应用，解题的关键是找到数量关系
列出方程或函数关系式．
44．(1)A种商品进价50元，B种商品进价30元；
(2)共有5种进货方案，购买A种商品18件，B种22件，获得利润最大．
【解析】
【分析】
（1）设A种每件进价为x元，则B种每件（x−20）元，根据题意列分式方程，解方程求解
即可；
（2）设购A种商品m件，则购B种商品（40−m）件，根据题意列一元一次不等式组，根
据不等式组的解集可得进货方案，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案．
(1)
解：设A种每件进价为x元，则B种每件（x−20）元，根据题意，得
解得
经检验 是原方程的解，
答：A种商品进价50元，B种商品进价30元；
(2)
设购A种商品m件，则购B种商品（40−m）件，根据题意，得
解得
共有5种进货方案，
设商店共获利润为y元，则y＝（80−50）x＋（45−30）（40−x）＝15x＋600，
∵15＞0，
∴y随x增大而增大，
∴当x＝18时，y最大＝870（元），
此时，A种商品18件，B种22件．
答：购买A种商品18件，B种22件，获得利润最大．【点睛】
本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方
程、不等式和函数关系式．
45．甲接种点每小时接种60支疫苗
【解析】
【分析】
设未知数列出方程，求解方程即可得到答案．
【详解】
解：设甲接种点每小时接种x支疫苗，则乙接种点每小时接种 支疫苗，依题意有：
解得
经检验x=60是原方程的解，并符合实际，
答：甲接种点每小时接种60支疫苗．
【点睛】
本题考查可化为一元一次方程的分式方程应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
46．(1)甲工程队每天修路50米，乙工程队每天修路30米；
(2)至少安排乙工程队施工30天
【解析】
【分析】
（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x＋20）米，根据题意可得出关于x
的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排乙工程队施工m天，依题意可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的
最小值即可得出结论．
(1)
解：设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（ ）米，
依题意，得：
解得： ，经检验， 是原方程的解，且符合题意
∴
答：甲工程队每天修路50米，乙工程队每天修路30米．
(2)
设安排乙工程队施工m天
依题意得：
解得：
即：至少安排乙工程队施工30天．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
