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专题5.13 分式方程（知识讲解）
【学习目标】
1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2. 会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
特别指出：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最
简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种
根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项
式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这个解是原分式
方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式
子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无
意义，所以这个根是原分式方程的增根.
特别指出：
（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程
的
两边都乘以（或除以）同一个不为 0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方
程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根
就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是
否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进
行的.
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【典型例题】
【类型一】分式方程的定义
1．下列方程哪些是分式方程？
(1) ；(2) ；（3） ；（4） （a是常数）．
【答案】(1)(2)是分式方程
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判
断．
解：(1) 是分式方程；(2) 是分式方程；（3） 不是分式方程；
（4） （a是常数）不是分式方程，
故(1)(2)是分式方程．
【点拨】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式
方程．举一反三.
【变式】下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？
（1） (2)
（3） （4）
【答案】(1)、(2)、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．
【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，
去分母后再来判断是否能化成一元二次方程．
(1) 是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程，
(2) 是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程，
（3） 是分式，不是分式方程，
（4） 是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分
式方程，
∴(1)、(2)、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．
【点拨】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练
掌握分式方程的定义是解题的关键．
【类型二】解分式方程
2.(1)解方程：
(2) ；
【答案】(1)x＝9；(2)
【分析】(1)两边都乘以x（x﹣1），化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即
可求解；
(2)两边都乘以2x﹣1，化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
(1)解：两边都乘以x（x﹣1），得9（x﹣1）=8x，
解得：x＝9
检验：当x＝9时，x﹣1＝8≠0所以分式方程的解为x＝9
(2)解：两边都乘以2x﹣1，得：2x﹣5＝3（2x﹣1），
解得：
检验：当 时，2x﹣1＝﹣2≠0，
所以分式方程的解为 ．
【点拨】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验
是解题的关键．
举一反三.
【变式1】解方程：
(1) (2)
【答案】(1)x=6； (2)
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解分式方程即
可．
解：(1)
3(x-2)=2x，
3x-6=2x，
3x-2x=6，
x=6
经检验，x=6是原方程的解．
(2)
2x-5=3(2x-1)，
2x-6x=5-3
-4x=2，
．
经检验， 是原方程的解．【点拨】本题考查了解分式方程，正确的去分母是解题的关键．
【变式2】计算或解方程：
(1)计算： ； (2)解方程： ．
【答案】(1)1； (2)无解
【分析】(1)先变除为乘，然后因式分解，约分即可；
(2)方程两边都乘（2-x）约去分母，化为一元一次方程，解方程求出x，检验即可．
解：（1）原式
；
(2) 去分母得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入最简公分母 中，
，
∴原方程无解．
【点拨】本题考查分式乘除混合运算，可化为一元一次方程的分式方程，掌握分式乘
除混合运算，可化为一元一次方程的分式方程是解题关键．
【类型三】根据分式方程解的情况求值
3.若关于x的一元一次不等式组 的解集为x＜4，且关于y的分
式方程 ＝4的解是正数，求a的取值范围．请认真阅读以下解答过程并补充完
整．
解：步骤1：由不等式①，解得 ．
由不等式②，解得 ．
又∵该不等式组的解集为x＜4，
∴a的取值范围是 ．步骤2：解这个分式方程 ＝4得，y＝ ．
请继续写出下面的解答过程．
步骤3： ．
【答案】x＜4； ； ； ； 且
【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为x＜4得到a的取值范围；解分式方程，
根据解是正数，且不是增根，得到a的最终范围即可．
解：步骤1：由不等式①，解得x＜4．
由不等式②，解得 ．
又∵该不等式组的解集为x＜4，
∴a的取值范围是 ．
步骤2：解这个分式方程 ＝4得，y＝ ，
∵关于y的分式方程 ＝4的解是正数，且 ，
∴ ，且 ，
解得： 且 ，
∴a的取值范围为 且 ．
【点拨】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集．考虑解分式方程
可能产生增根是解题的关键．
举一反三.
【变式1】若关于x的方程 的解为非负数，则实数m的取值范围．
【答案】 且
【分析】先求解分式方程，利用含m代数式表示该方程的解，然后根据题意建立含m
的不等式，进而问题可求解．
解：由 可得： ，
∵关于x的方程 的解为非负数，∴ ，且 ，
解得： 且 ；
【点拨】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程
的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
【变式2】关于x的分式方程： ．
(1)当m＝3时，求此时方程的根；
(2)若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
【答案】(1)x=-5；(2)-4或6
【分析】(1)把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x
的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计
算即可求出m的值．
解：（1）把m=3代入方程得： ，
去分母得：3x+2x+4=3x-6，
解得：x=-5，
检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，
∴分式方程的解为x=-5；
（2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，
∵这个关于x的分式方程会产生增根，
∴x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，
解得：m=-4；
把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，
解得：m=6．
【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程
为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【类型四】分式方程无解问题
4.已知关于x的分式方程 ．
(1)若分式方程的根是 ，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；
(3)若分式方程无解；求a的值的．
【答案】(1)1 (2)-2 (3)3或-2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，
(1)把x=5代入整式方程求出a的值即可；
(2)由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即
可；
（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
解：(1) 去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），
整理得：
把x=5代入 得，
，
∴a=1；
(2) 由分式方程有增根，得到x（x-2）=0，
解得：x=2或x=0，
把x=2代入整式方程 得：a=-2；
把x=0代入整式方程 得：a的值不存在，
∴分式方程有增根，a=-2
(3)化简整式方程得：（a-3）x=-10，
当a-3=0时，该方程无解，此时a=3；
当a-3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由(2)得：a=-2，
综上，a的值为3或-2．
【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式
方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
举一反三.
【变式1】(1)解分式方程： ；(2)只改变分式方程 方框中的一个数字，使该分式方程无解．请直接写
出一个改编后的分式方程：______．
【答案】(1) ；(2) （或 ，或 ，或
）
【分析】
(1)去分母，再解整式方程即可；
(2)把要确定的数字设为a，化为整式方程后，把使分母为0的未知数的值代入即可求
出改编的方程．
(1)解：方程两边同时乘以 ，得 ，
解得
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解．
(2)设改编后的方程为 ，
去分母得， ，
把 代入得， ，解得 ，
所以，改编后的方程为 ；
故答案为：
（或 ，或 ，或 ）
【点拨】本题考查了解分式方程和方法方程的解，解题关键是熟练运用解方法方程的
方法求解，明确分式方程无解的条件．
【变式2】已知关于 的方程 无解，求 的值．
【答案】 或 或【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案．
解：方程两边同乘以 ，得：
，
化简得： ，
当 时，原方程无解，
可能的增根是 或 ，
当 时， ，当 时， ，
当 或 时，原方程唯一的实根是增根，原方程无解，
或 或 时原方程无解．
【点拨】本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键．
【类型五】列分式方程
5.文具店王老板用180元购进一批文具，很快售完；王老板又用600元购进第二
批文具，所购套数是第一批的3倍，但进价比第一批每套多了2元．
(1)第二批文具每套进价多少元？
(2)王老板以每本25元的价格销售第二批文具，售出 后，为了尽快售完，决定打
折促销，要使第二批文具的销售总利润不少于60元，剩余的文具每套售价最低打几折？
【答案】(1)20元 (2)七折
【分析】(1)设第二批文具每套进价为 元，则第一批每套进价为 元，由题意得
列出分式方程，求解即可；
(2)设剩余的文具每套打 折，由题意得一元一次不等式，进行计算即可．
(1) 解：设第二批文具每套进价为 元，则第一批每套进价为 元，由题意得：
解得： ，
经检验， 为原分式方程的解．
答：第二批文具每套进价为20元．
(2)解：第二批文具的套数为： （套）
设剩余的文具每套打 折，由题意得：解得： ，
答：剩余的文具每套最低打七折．
【点拨】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，是准确找到题目中的
数量关系是解题的关键．
举一反三.
【变式1】小王计划从某批发市场批量购买A、B两种仿古秦兵马俑工艺品摆件，已知
A种摆件的批发价比B种摆件的批发价每个少5元，且用400元购买的A种摆件数量与用
500元购买的B种摆件数量相同．
(1)求A、B两种摆件的单价各是多少？
(2)凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为50元，若小王购
买会员卡并用此卡按需购买100个仿古秦兵马俑工艺品摆件，共用了y元，设A种摆件购
买了x个，请求出y与x之间的函数关系式．若小王共用了1930元，则他购买A、B两种摆
件各多少个？
【答案】(1)A种摆件的单价为20元，B种摆件的单价为25元
(2)他购买A摆件30个，B种摆件70个
【分析】(1)设A种摆件的单价为x元，则B种摆件的单价为（x+5）元，根据题中的
等量关系列方程，求解即可；
(2)设A种摆件购买了x个，则B种摆件购买了（100-x）个，根据单价、会员
卡折扣、会员卡费用情况可直接写出y与x之间的函数关系式，将y=1930代入函数关系式，
求出对应x值即可．
(1)解：设A种摆件的单价为x元，则B种摆件的单价为（x+5）元，
依题意，得： ，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝25．
答：A种摆件的单价为20元，B种摆件的单价为25元．
(2)解：根据题意，y＝20×0.8x+25×0.8（100﹣x）+50＝﹣4x+2050，
当y＝1930时，﹣4x+2050＝1930，
解得：x＝30，
100﹣30＝70（个），答：他购买A摆件30个，B种摆件70个．
【点拨】本题考查了分式方程、一元一次函数的实际应用，根据题中已知条件列出等
式是解题关键，注意解分式方程时求得的解要进行检验．
【变式2】一艘轮船在静水中的最大航速为 ，它以最大航速沿江顺流航行
所用的时间，与以最大航速沿江逆流航行 所用的时间相等，江水的流速是多少？
【答案】6km/h
【分析】设水流速度为vkm/h，则顺流速度为（30＋v）km/h，逆流速度为（30－v）
km/h，根据时间关系列方程求解即可；
解：设水流速度为vkm/h，则由题意得 ，
90（30－v）=60（30＋v），
解得v=6，
经检验，v=6是原方程的解，
答：江水的流速是6km/h
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题
目中等量关系列出方程．
【类型六】分式方程的实际应用
6.神舟十三号飞船即将荣耀归来，为激发同学们对航天事业的兴趣，学校组织进
行了一场以“飞天”为主题的文艺晚会，学校打算购买一些“飞天”装饰挂件与专属航天
印章送给学生留作纪念．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且都只能整盒购买，
每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；用200元购买挂件的盒数与用150元购买印章
的盒数相同．
(1)求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元？
(2)如果给每位学生分发2个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能
配套分发，请用含α的代数式表示b；
(3)累计购买超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠．学校以(2)中的配套方式
购买，共需要花费w元，求w关于a的函数关系式．该校有750名学生，需要购买挂件与
印章各多少盒？共需要多少费用？
【答案】(1)每盒挂件为40元，每盒印章为30元； (2)b＝ a(3) ，需要购买50盒挂件与75盒印章，共需要2890元
【分析】(1) 设每盒挂件的价格为x元，则每盒印章为(x－10)元，根据题意即可列出
分式方程，解分式方程即可求得；
(2)根据配套问题，a盒挂件与b盒印章恰好分发配套，列出用含a的代数式表示b即
可；
(3)根据累计购买超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠，分段可求得解析式，
据此即可解答．
解：(1)设每盒挂件的价格为x元，则每盒印章为(x－10)元．
根据题意，得 ，
解得x＝40．
经检验x＝40是分式方程的解，
∴x－10＝40－10＝30(元)．
答：每盒挂件为40元，每盒印章为30元；
(2)∵a盒挂件与b盒印章恰好分发配套，
∴30a÷2＝20b÷2
∴b＝ a；
（3）当w≤850，即a≤10时， ；
当w＞850，即a>10时，w＝850＋0.6(85a－850)＝51a＋340．
∴ ．
∵挂件需要750×2＝1500个，印章需要750×2＝1500个．
∴需要购买挂件1500÷30＝50盒，印章1500÷20＝75盒．
∴总费用w＝51×50＋340＝2890元．
答：需要购买50盒，挂件与75盒印章，共需要2890元．
【点拨】本题考查了分式方程的应用，分段函数及一次函数的应用；能够根据题意列
出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．
举一反三.【变式1】某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶
洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是
购买洗手液瓶数的一半．
(1)求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；
(2)经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要
洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过
670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
【答案】(1)购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．
(2)该学校最多可购买21个测温枪．
【分析】(1)设购买一瓶洗手液需要 元，则购买一个测温枪需要 元，根据“用
400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一
半．”，可列出方程，解出即可；
(2)设该学校购买 个测温枪，则购买 瓶洗手液，根据“购买测温枪和
洗手液的总费用不超过670元，”可列出不等式，即可求解．
解：(1)设购买一瓶洗手液需要 元，则购买一个测温枪需要 元，
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．
(2) 设该学校购买 个测温枪，则购买 瓶洗手液，因为购买一个测温枪赠送一
瓶洗手液的优惠，
依题意，得： ，
解得： ．
答：该学校最多可购买21个测温枪．
【点拨】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，明确题意，准确
得到数量关系是解题的关键．
【变式2】在新冠疫情爆发初期，某单位准备为一线防疫人员购买口罩，已知购买一
个95N口罩比购买一个普通口罩多用20元．若用5000元购买95N口罩和用2000元购买普
通口罩，则购买95N口罩的个数是购买普通口罩个数的一半．(1)求购买一个95N口罩、一个普通口罩各需要多少元？
(2)若该单位准备一次性购买两种口罩共1000个，要求购买的总费用不超过10000元，
则该单位最多购买95N口罩多少个？
【答案】(1)购买一个95N口罩需要25元，购买一个普通口罩需要5元,
(2)该单位最多购买95N口罩250个
【分析】(1)、设购买一个普通口罩需要x元，则购买一个95N口罩需要x+20元，然后
根据用5000元购买95N口罩和用2000元购买普通口罩，则购买95N口罩的个数是购买普
通口罩个数的一半，列出分式方程，求解即可．
(2)、设购买95N口罩y个，则购买普通口罩1000-y个，用购买的总费用不超过10000
元列出不等式，即可求出．
解：(1)设购买一个普通口罩需要x元，则购买一个95N口罩需要x+20元，
根据题意可得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
，
答：购买一个95N口罩需要25元，购买一个普通口罩需要5元；
(2) 设购买95N口罩y个，则购买普通口罩1000-y个，
根据题意可得： ，
解得： ，
∵y为整数，
∴y的最大整数值为250，
∴该单位最多购买95N口罩250个．
【点拨】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题目，找出相应
的等量关系和不等关系是解题的关键．
