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专题5.17 分式方程的增根、无解问题（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解分式方程增根产生的原因；
2. 理解分式方程中增根与无解的区别与联系；
2. 掌握求含参分式方程求取值范围的方法。
【要点梳理】
要点一、分式方程的增根
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方
程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知
数的值；
要点二、分式方程的无解
而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：
（一）原方程化去分母后的整式方程无解；
（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为 0，它是原方程
的增根，从而原方程无解.
【典型例题】
类型一、概念理解
1.分式方程的增根
概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为
0，分式方程无解，这样的根叫做________．
检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就
是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．
【答案】增根
解：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，
分式方程无解，这样的根叫做增根，
故答案为：增根．
2.分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概
念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增
根是去分母后的________方程的根，也是使________方程的分母为0的根．【答案】 整式 分式
分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
故答案为：整式，分式
类型二、含参分式方程的增根
3、 关于 的方程 去分母转化为整式方程后产生增根，求
的值．
【答案】－10或－4
【分析】方程两边同时乘以 将分式方程化为整式方程，再将整式方程的增根代
入整式方程中计算求解即可.
解：方程两边同乘以 ，得 ，
当 时， ，
关于 的方程 的增根为 ，
当 时， ；
当 时， ，
故 的值为 或 ．
【点拨】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解增根产生的原因，并能从
整式方程中代入增根求解对应参数.
举一反三：
【变式1】 如果解关于x的分式方程 出现了增根，求m的值．
【答案】-3
【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0
的未知数的值．
解：由分式方程 去分母，
整理得（m+2）x=-4m-15，
由分母可知，分式方程的增根可能是3或-4，
当x=3时，（m+2）×3=-4m-15，解得m=-3，
当x=-4时，（m+2）×（-4）=-4m-15，此方程无解．
故m的值为-3．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母
为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式2】已知关于x的方程 ．
（1）若m＝﹣3，解这个分式方程；
（2）若原分式方程无解，求m的值．
【答案】（1）x＝5.5；（2）m＝﹣1，m＝2，m＝﹣ ．
【分析】（1）把m＝−3代入原方程得 ，方程两边都乘最简公分
母（x−3）（x＋3），可以把分式方程转化为整式方程求解；
（2）方程两边都乘最简公分母（x−3）（x＋3），分式方程转化为整式方程，m
（x−3）＋（x＋3）＝m＋4，整理得（m＋1）x＝1＋4m，原分式方程无解，m＋1＝0，m＝
−1，然后把x＝3．x＝−3分别代入整式方程求m值．
解：（1）依题意把m＝﹣3代入原方程得 ．
方程两边都乘最简公分母（x﹣3）（x+3）得，
﹣3（x﹣3）+（x+3）＝1，
解得x＝5.5，
检验：把x＝5.5代入（x+3）（x﹣3）≠0．
∴x＝5.5是原方程的解；
（2）当（x+3）（x﹣3）＝0时．x＝±3．
方程两边都乘最简公分母（x﹣3）（x+3），得，
m（x﹣3）+（x+3）＝m+4，
整理得（m+1）x＝1+4m，
∵原分式方程无解．
∴m+1＝0，m＝﹣1．
把x＝±3代入m（x﹣3）+（x+3）＝m+4．
m＝2，m＝﹣ ．
∴m＝﹣1，m＝2，m＝﹣ ．
【点拨】分式方程转化为整式方程求解，最后注意需检验．无解注意整式方程一次项系数带字母系数，字母系数为零，再把增根代入化简的整式方程，这样不漏m的值．
类型三、含参分式方程的有解、无解问题
4、 若关于x的分式方程 无解．求m的值．
【答案】2或－4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x＝1或−1，代入
整式方程即可求出m的值．
解：分式方程两边同乘（x＋1）（x−1），
去分母得：m－（x＋1）＝2（x−1），
整理得：3x＝m＋1，
由分式方程无解得到x−1＝0，或x＋1＝0，即x＝1或−1，
代入整式方程得：m＝2或－4．
【点拨】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分
母为0．
举一反三：
【变式1】 关于 的分式方程 有解，则 该满足什么条件？
【答案】 且 .
【分析】根据分式方程有解的条件进行求解即可；
解：方程去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并得： ，
∵该分式方程有解，
∴ 且 ，即 ，且 ，
解得： 目 ．
【点拨】本题主要考查了分式方程有解的相关计算，准确分析计算是解题的关键．
【变式2】若关于x的方程： 无解，求a的值．
【答案】a＝1或8或﹣6．
【分析】分式的无解分两种情况来解：
（1）是分式有增根，即分母为零；
（2）是分式方程转化成整式方程后，整数方程无解，即未知数系数为0．解：分式方程去分母得：3x+9+ax＝4x﹣12，
（1）由分式方程有增根，得到（x+3）（x﹣3）＝0，即x＝3或x＝﹣3，
把x＝3代入整式方程得：18+3a＝0，即a＝﹣6；
把x＝﹣3代入整式方程得：﹣3a＝﹣24，即a＝8，
综上，a的值为﹣6或8．
（2）整式方程整理得：（a﹣1）x＝﹣21，
由方程无解，得到a﹣1＝0，
即a＝1或8或﹣6．
【点拨】注意区分分式方程无解和有增根两种情况．分式方程无解包括有增根和化成
整数方程后无解的情况，而有增根仅仅是分式分母为0一种情形．
类型四、分式方程的增根和无解综合
5、有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积
的形式；②关于x的分式方程 无解，则m＝1；③关于x、y的方程组
，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，
当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为 ，
其中正确的是____．（填序号）
【答案】②③
【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，
可作出判断．
解：①当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；
②将关于x的分式方程 两边同时乘以（x﹣2）得
3﹣x﹣m＝x﹣2
∴x＝ ，
∵原分式方程无解，∴x＝2，
∴ ＝2，
解得m＝1，
故②正确；
③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得
（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，
（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，
∴ ，
解得：
则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为
，
故③正确．
综上，正确答案为：②③．
【点拨】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理
解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算．
举一反三：
【变式1】 已知关于x的分式方程 ．
(1) 若分式方程的根是 ，求a的值；
(2) 若分式方程有增根，求a的值；
(3) 若分式方程无解；求a的值的．
【答案】(1) 1;(2) -2;(3) 3或-2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，
（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；
（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值
即可；（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
解：(1) 去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），
整理得：
把x=5代入 得，
，
∴a=1；
(2) 由分式方程有增根，得到x（x-2）=0，
解得：x=2或x=0，
把x=2代入整式方程 得：a=-2；
把x=0代入整式方程 得：a的值不存在，
∴分式方程有增根，a=-2
(3) 化简整式方程得：（a-3）x=-10，
当a-3=0时，该方程无解，此时a=3；
当a-3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a=-2，
综上，a的值为3或-2．
【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式
方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式2】已知W＝（ ）÷ ．
(1) 化简W；
(2) 若a，2，4恰好是等腰 ABC的三边长，求W的值．
△
(3) 若 的解为正数，求k的取值范围．
【答案】(1) ；(2)W的值为 ；(3) .
【分析】（1）先算括号里的，再运用完全平方公式进行化简即可得；
（2）根据a，2，4恰好是等腰 ABC的三边长可得a＝4，将a＝4代入即可得；
△
（3）根据题意得 ，解得 ，根据 的解为正数得 ，进行计算即可得．
(1) 解：
=
=
=
(2) 解：∵a，2，4恰好是等腰 ABC的三边长，
∴a＝4， △
．
(3) 解：由题意得， ，
∵ 的解为正数，
∴ ，
．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，等腰三角形，分式方程，解题的关键是掌握这
些知识点．
【变式3】阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 的分式方程
的解为正数，求 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题
思路，小明说：解这个关于 的方程，得到方程的解为 ，由题目可得 ，所
以 ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证 才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围；(3)若关于 的方程 无解，求 的值．
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0； (2) 且 ；(3) 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出 的取
值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者
整式方程无解，即可求出 的范围．
(1) 解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
(2) 解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴ ，即
又∵
∴ ，即
∴ 且
(3) 解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴ 或者
①当 时，得：
②当 时， ，得：
综上：当 或 时原方程无解．
【点拨】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解
分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
