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第 08 讲 分式与分式方程单元提升卷
（范围：全章，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．在下列各式中： 、 、 、 ，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，理解“分母含有字母的式子叫做分式”是解题的关键．
【详解】解： 、 是分式， 、 是整式；
故分式有 个；
故选：B．
2．当 时，下列式子没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、分式无意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
根据分式的分母不能为0、二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】A、当 时， ，此式子有意义，此项不符题意；
B、当 时， 的分母 ，此式子没有意义，此项符合题意；
C、当 时， ，此式子有意义，此项不符题意；
D、当 时， 的分母 ，此式子有意义，此项不符题意．
故选：B．
3．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案．
【详解】解： ，
故选：C．
4．对下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变，据此逐
项分析，即可作答．
【详解】A. ，不正确；
B. ，不正确；
C. ，不正确；
D. ，正确．
故选：D．
5．下列说法中，错误的是（ ）
A．不论 为何值，分式 总有意义
B．当 时，分式 的值为1
C．若分式 的值为零，则
D．把分式 中 的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍
【答案】D
【知识点】分式值为零的条件、利用分式的基本性质判断分式值的变化、分式有意义的条件、分式的求值
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据
分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A、∵ ，∴不论 为何值，分式 总有意义，说法正确，故选项不符合题意；
B、当 时，分式 ，说法正确，故选项不符合题意；
C、分式 的值为零，
∴ 且 ，
∴ ，说法正确，故选项不符合题意；
D、分式 中的x，y都扩大为原来的2倍，得到 ，
∴把分式 中 的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意；
故选：D．
6．如果 ， ，那么代数式 与 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异分母分式加减法
【分析】此题考查了异分母分式的加减运算，首先求出 ，然后相加求解即可．
【详解】∵
∴ ．
故选：B．
7．解分式方程 时，去分母后变形正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查解分式方程，方程两边同时乘以最简公分母，将方程转化为整式方程进行判断即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，得： ；
故选：D．
8．在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得
建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多 千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木
材为x千克，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为
千克，结合30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，再建立方程即可．
【详解】解：设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为 千克，则
，
故选：A
9．若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的解法，分式方程无解的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
两边同乘 ，得 ，由原分式方程无解得 ，求出 的值代入
中即可求得 的值．
【详解】解：两边同乘 ，得 ，
原分式方程无解，
，
，
将 代入 ，得 ，
，
故选：A．
10．已知实数x，y，z，a满足 ， ， ，且 ，则代数式
的值等于（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】分式化简求值、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据 ，可以先将
所求式子化简，然后根据 ，可以得到∶ ， ，
，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解∶ ∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．当 时，分式 无意义．
【答案】
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式 无意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．化简：
【答案】【知识点】分式加减混合运算
【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得 ，将结果化为最简分式或整式，
即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
13．若式子 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】 且 ．
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据题意得出 且 ，即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
14．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的求值
【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据题意求出 ，再根据 进行求
解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
故答案为： ．
15．如果关于x的分式方程 的解是非负数，那么m的取值范围为 ．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用 表示出 的值是解题的关键．
先解分式方程，利用 表示出 的值，再由 为正数求出 的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 得：
，
解得： ，
∵x为非负数，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴m的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
16．若关于 的不等式组 有解且最多有4个整数解，且关于 的分式方程 的
解为整数，则所有满足条件的整数 的和为 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，
不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出 的范围，再由分式方程解为
整数，确定出满足题意整数 的值，求出之和即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∵关于 的不等式组 有解，∴ ，
不等式组有解且最多有4个整数解，
，
解得： ，
∵ ，
分式方程去分母得： ，
解得： ，且 ，
分式方程的解为整数，
或 或1或 ，
则满足题意整数 之和为 ．
故答案为：
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式除法、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．
（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可；
（2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行乘除法计算即可．
【详解】（1）解：（2）
=
18．解下列分式方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验”即可求解；
（2）根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验”即可求解．
【详解】（1）解：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∴原方程的解为： ；
（2）解：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∴原方程的解为： ．
19．先化简再求值： ，其中 是从 ，0，2中选取的一个合适的数．【答案】 ；0
【知识点】分式化简求值
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同
分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取合适的值代入计算即可求
出值．
【详解】解：原式 ，
，
，
且 ，
当 时，原式 ，
20．数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图1，小颖将问题转化为图2，※为运
算符号， 为一个代数式．
(1)小颖猜测※为“ ”，求 ；
(2)数学老师告诉小颖※为“ ”，用 表示出 ，并求 时 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】异分母分式加减法、解分式方程（化为一元一次）、分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式混合运算，解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先理解题意得 ，再化简运算，即可作答．
（2）先整理得 ，再结合 ，故 ，最后验根，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得；
（2）解：若※为“ ”
；
当 时，即 ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．有 四张卡片，正面分别写有 ．四张卡片除正面的代数式不同外，其余
均相同（如图）．
(1)将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是 ．
(2)请将 卡片上写的代数式化简；
(3)用（2）中化简后的代数式减去 卡片上写的代数式，若差为3，请求出此时 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】约分、解分式方程（化为一元一次）、根据概率公式计算概率
【分析】本题考查概率的计算，分式的约分及解分式方程，理解概率的概念，掌握分式的基本性质是解题
关键；
（1）利用概率公式进行计算；（2）根据分式的基本性质进行约分化简；
（3）将分式方程化为整式方程计算求解，注意结果要进行检验．
【详解】（1）解：共4种等可能结果，其中符合题意的有2种，
∴将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解： ；
（3）解：由题意可知： ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
∴ ．
22．观察以下等式：
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第 个等式：______；
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ；证明见解析
【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、
计算、归纳进行求解．
根据前 个等式的规律可知，第 个等式应是 ，可得等式： ；
由 中的规律可知，第 个等式应是 ，分别把等式左边、右边的分式化简，可得
结果都为 ，即可证明等式成立．
【详解】（1）解： 第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
根据规律可得，第6个等式： ；
故答案为： ；
（2）解：猜想：第 个等式为 ，
证明：左边 ，
，
左边 右边，
故猜想成立．
23．关于 的方程： ．
(1)若方程有增根，求 的取值；
(2)若方程无解，求 的取值；
(3)若方程的解为整数，求整数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2) 或 或
(3) 或【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
（ ）根据分式方程的解法得出 ，然后将增根 代入求解即可；
（ ）分当 时原分式方程无解，当 或 时方程有增根，从而求解；
（ ）由 ，得 ，然后根据方程的解为整数得出 ， ，最后求解并检
验即可．
【详解】（1）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
当 时，得 ，
解得 ；
当 时，得 ，
解得 ，
∴若方程有增根， 的取值为 或 ；
（2）解：∵ ，
∴当 时原分式方程无解，
∴ ，
∵当 或 时方程有增根，
∴若方程无解， 的取值为 或 或 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵方程的解为整数，
∴ ， ，
当 时， （舍去）；
当 时， （舍去）；
当 时， ；
当 时， ；
∴ 或 ．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．2024年9月27日，第十四届全国运动会在西安圆满落幕，全运会期间，吉祥物秦岭四宝深受全国人
民的欢迎．某商店购进A，B两种型号的秦岭四宝的手办，已知A型号手办的单价比B型号手办的单价高
100元．用6000元购进A型号手办的数量和用4000元购进B型号手办的数量相同．(1)求A，B两种型号手办的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买A，B型号手办共400件，且A型号手办的数量不少于B型号手办数量的2倍，若总费用
不超过110000元，如何购买这两种型号手办使总费用最少？
【答案】(1)A型号手办的单价为300元，B型号手办的单价为200元
(2)购买A型号手办267件，B型号手办133件，才能使总费用最少，最少费用为106700元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分
析题目中的等量关系．
（1）设B型号手办的单价为m元，则A型号手办的单价为 元，，利用数量 总价 单价，结合
“用6000元购进A型号手办的数量和用4000元购进B型号手办的数量相同”，可得出关于x的分式方程，
解之即可；
（2）设总费用为w元，计划购买A型号手办t件，则B型号手办 件，利用总价 单价 数量，可
得出关于a的一次函数，利用“A型号手办的数量不少于B型号手办数量的2倍”求出a的取值范围，根
据函数的增减性解题即可．
【详解】（1）解：设B型号手办的单价为m元，则A型号手办的单价为 元，
根据题意，得 ，解得 ，
经检验 是原方程的根且符合题意，
∴ ，
答：A型号手办的单价为300元，B型号手办的单价为200元；
（2）解：设总费用为w元，计划购买A型号手办t件，则B型号手办 件，
根据题意，得 ，
∴w与t的函数关系式为 ．
∵A型号手办的数量不少于B型号手办数量的2倍，
∴ ，
解得 ，
∵t为整数，
∴t最小值取267．
在 中，w随t的增大而增大，
∴当 时，w取最小值，最小值为 （元），
∵ ，符合题意，
此时 ，
∴购买A型号手办267件，B型号手办133件，才能使总费用最少，最少费用为106700元．25．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即 ，则称分式B是分式A的“友好分式”．
如 与 ．因为 ， ．所以 是 的“友好
分式”．
(1)填空：分式 ______分式 的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式 是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式 是关于x的分式 的“友好分式”，求 的最小值．
【答案】(1)是
(2)① ；②A的值为1或3或4
(3)
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式除法、异分母分式加减法、分式化简求值
【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可；
（2）①根据分式 是分式A的“友好分式”，得出 ，利用分式混合运算法则求出A
即可；
②根据整除的定义进行求解即可；
（3）设关于 的分式 的“友好分式”为M，求出 ，根据关于 的分式
是关于 的分式 的“友好分式”，得出 ，求出 ，
代入 ，求出分式的最小值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
∴ ，∴分式 是分式 的“友好分式”；
故答案为：不是．
（2）解：①∵分式 是分式A的“友好分式”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
．
②∵ ，
∵整数x使得分式A的值是正整数，
∴ ， ，2，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上分析可知：A的值为1或3或4．
（3）解：设M是关于 的分式 的“友好分式”，则：
，
∴
，∵关于x的分式 是关于x的分式 的“友好分式”，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
即 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练
掌握分式混合运算法则，准确计算．
