文档内容
第 04 讲 解题技巧专题：分式的混合运算及规律和新定义问题
(7 类热点题型讲练)
目录
【考点一 分式的混合运算问题】............................................................................................................................1
【考点二 分式的混合运算错解复原问题】............................................................................................................6
【考点三 分式的混合运算先化简求值问题】......................................................................................................11
【考点四 分式的混合运算规律探究问题】..........................................................................................................14
【考点五 分式的混合运算“倒数法”求值问题】..............................................................................................17
【考点六 分式的混合运算新定义型问题】..........................................................................................................19
【考点七 分式的混合运算假分数问题】..............................................................................................................24
【考点一 分式的混合运算问题】
例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）化简：
(1) ； (2) ．
2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算：
(1) ；
(2) ．3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6)
(7) ；
(8) ．
【考点二 分式的混合运算错解复原问题】
例题：（23-24八年级上·河南商丘·期末）以下是某同学化简分式 的部分运算过程：
解：原式 ①
②
③
……
解：
(1)上面的运算过程中第 步出现了错误；
(2)选择一个你喜欢的x的值代入求值．【变式训练】
1．（2023·贵州遵义·一模）以下是小明化简分式 的过程．
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
(1)小明的解答过程在第______ 步开始出错；
(2)请写出正确的解答过程．
2．（2023·贵州遵义·一模）下列是某同学化简分式 的部分过程：
解：原式 第一步；
第二步；
第三步；
(1)上面的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
3．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下面是亮亮进行分式化简 的过程：
解：原式 第一步
第二步第三步
第四步
第五步
． 第六步
(1)第二步的依据是______；
(2)亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；
(3)请写出正确的化简过程；
(4)在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．
4．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【考点三 分式的混合运算先化简求值问题】例题：（23-24八年级上·四川广元·期末）先化简，再求值： ，其中
．
【变式训练】
1．（2024·新疆克孜勒苏·二模） 先化简再求值： ，其中 ．
2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）先化简 ，再从 四个数中，选取一个
恰当的数进行求值．
3．（23-24八年级上·山东德州·期末）先化简，再求值： ，其中
．
4．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）先化简，再求值， ，其中 满足
．
【考点四 分式的混合运算规律探究问题】
例题：（2023七年级上·福建·专题练习）观察下列计算
， ， ， ，
(1)第5个式子是 ；第 个式子是 ．
(2)从计算结果中找规律，利用规律计算 ．(3)计算 ．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·安徽·开学考试）观察以下等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_________；
(2)写出你猜想的第 个等式：_________用含 的等式表示），并证明．
2．（2023·安徽合肥·三模）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2－个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________________；
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明．
3．（2023·安徽·一模）观察下列等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；第3个等式： ；
第4个等式： ；第5个等式： ；……按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________
(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．【考点五 分式的混合运算“倒数法”求值问题】
例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运
用约分化简，以达到计算目的．
例：若 ，求代数式 的值．
解：∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
任务：已知 ．
(1)求 的值．
(2)求 的值．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知 ，求 的值．
解：由 知 ，所以 ，即 ．
因此 ，所以 的值为 ．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知 ，求 的值．
【考点六 分式的混合运算新定义型问题】
例题：（23-24八年级上·山东德州·期末）定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即 ，则
称分式P与分式Q互为“关联分式”．如 与 ，因为，所以 与 互为“关联分式”，其中一个分式是另
外一个分式的“关联分式”．
(1)请通过计算判断分式 是不是分式 的“关联分式”．
(2)求分式 的“关联分式”．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分
式”，如分式 ，则A是B的“最友好分式”．
(1)已知分式 ，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由；
(2)已知分式 ，且E是F的“最友好分式”．
①求P（用含x的式子表示）；
②若 为定值，求m与n之间的数量关系．
2．（23-24八年级上·河南信阳·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分
式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ．
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)应用：先化简 ，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？3．（23-24八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如： ，则 是“美好分
式”．
(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）
① ； ② ； ③ ； ④ ．
(2)将“美好分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断 的结果是否为“美好分式”，并说明理由．
【考点七 分式的混合运算假分数问题】
例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真
分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含
有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于
分母的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样
的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如： ；
解决下列问题：
(1)分式 是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式 化为带分式；
(3)如果x为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的x的值．【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，
而假分数都可化为带分数．如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，
当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们
称之为“真分式”．
如 ， 这样的分式就是假分式； ， 这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为
带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如： ．
解决下列问题：
(1)分式 是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式 化为带分式；
(3)求所有符合条件的整数x的值，使得 的值为整数．
2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，
变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．
【阅读材料】在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实
际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和
（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除
问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：
，这样，分式就拆分成一个整数1与一个分式 的和的形式；又如： ，这样，分式就拆分成一个整式 与一个
分式 的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【理解知识】（1）把分式 拆分成一个整数与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______；
【掌握知识】（2）请你把分式 拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式；
【运用知识】（3）若分式 的值为正整数，求整数 的值．
